当前课程知识点：线性代数(2) > 第四讲：线性变换 I > 4.3 线性变换的矩阵表示 > 4.3 线性变换的矩阵表示
前面有例子中
我们用一个矩阵
可以定义一个线性变换
给了一个矩阵A
我们用x变到Ax
可以定义出来一个线性变换
那事实上呢
有限维向量空间之间线性变换
总可以有矩阵表示
这一节
我们来谈线性变换的矩阵表示
假设V和W分别是
数域上的n维和m维的向量空间
T是向量空间V到W的线性变换
在V中我们可以任意取一组基
v_1到v_n
那么V中的任何向量v
就可以表示成
这组基底的线性组合
我们记成是V等于c_1v_1
一直加到c_nv_n
我们把向量(c_1,...,c_n)叫做是
v在基底v_1...v_n下的坐标
那么T（v）就等于c_1T（v_1）
加c_nT（v_n）
这是我们线性变换
它保持线性结构
我们知道一定有这个表达式
那如果想要来表述T（v）
我们只要来描述
T在基底v_1到v_n上的像是什么
我们就可以来确定T（v）
那我们注意到说
T（v_1） T（v_n）
它们落在W里头
我们要来描述它们
我们可以在W里头取出一组基
因为W是m维的
所以我们可以把这组基
记成w_1到w_m
那么线性变换T在基底
v_1 v_n下的像
可以由w_1 w_m这组基
线性表示出来
我们记成是T(v_1)等于
a_{11} w_1+a_{21} w_2+…+a_{m1}w_m
T（v_2）等于
a_{12}w1+a_{22}w2+…+a_{m2}w_m
T（v_n）等于
a_{1n}w1+a_{2n}w2+a_{mn}w_m
那么这件事情
用矩阵的语言来表述
我们说可以记成T
作用在v1...vn上它等于
那这是一个记号
它表示的意思呢是T（v_1）
T（v_n）这n个向量作为列向量
构成的这个矩阵
那么因为T（v_1）呢
它可以写成是
w_1 a_{11} w_2 a_{21} w_m a_{m1}
所以我们可以表示成
形式上的这个w_1,…,w_m去乘以
这个列向量
同样T（v_2）等于w_1a_{12}
+w_2 a_{22}+…+w_m a_{m2}
所以我们可以表示成是
w_1,...,w_m去乘以这个列向量等等
那这样我们就得到了一个
m×n的一个矩阵A
我们就把这个矩阵叫做
线性变换T
在V中给定的基底v1到vn
和W中给定的基底
w_1,…,w_m下的矩阵表示
我们还可以注意到说
A这个矩阵里头的第一列
它是T（v_1）在基底w_1,…,w_m
下的坐标
那么一般地呢
说A中的第j列是T（v_j）
在基底w_1,…,w_m下的坐标
我们来看一个简单的例子
那假设P_3是次数小于等于3的
一元实系数的多项式的集合
我们可以把它的基底
取得1,x,x＾2,x＾3
那P_2呢是所有次数小于等于2的
一元实系数多项式的集合
我们可以把它的基底取成
1,x,x＾2
那么求导变换p(x)变成p(x)的导数
它一定是把1求导以后变成0
x求导变成1
x＾2求导变成2x
x＾3次方求导变成3X＾2
那么T作用在P_3的基底
1 x x＾2 x＾3上
可以用P2中的基底1 x x＾2
表示成0 0 0
这是T（1）的坐标
然后T（x）等于1
它的坐标是1 0 0
T（x＾2）等于2x
那么它在1 x x＾2
这组基底下的这个坐标是0 2x
T（x＾3）是3x＾2
那么在1 x x＾2这组基底下
它的坐标是0 0 3
那这样我们就得到了一个
三行四列的矩阵
这个矩阵就是求导变换T
在给定基底下的矩阵
那假设P_3和P_2以及基的定义呢
和上例相同
我们来看不定积分变换
它把P_2给映成P_3
那么对于P_2中的基1 x x＾2
求这个不定积分变换之后
1去求积分变换我们等于x
x求积分变换等于x＾2/2
x＾2求积分变换等于x＾3/3
这样P作用在P_2的这个基底
1 x x＾2下面就可以被
P3的基底 1 x x＾2 x＾3
表示成这个矩阵
这个矩阵是四行三列
这是不定积分变换
在给定基底下的矩阵表示
那么再来看一个例子
假设M_2(R)它表示的是
所有的二阶实矩阵的集合
我们这个变换呢
把A给映成A的转置
我们说这是一个线性变换
转置变换是一个线性变换
我们想写出这个线性变换
在下面这组基底下的矩阵
那么
我们取全体二阶实矩阵集合的
这个是一个向量空间
它的基底取成
E_{11} E_{12} E_{21} E_{22}
分别是说在E_{11}这个位置上是1
其他位置上是0
E_{12}这个位置上是1
其他位置是0等等
这样得到的四个矩阵
它们线性无关
构成这个向量空间的一组基底
那么在这组基底下
我们知道这个转置变换
把E_{11}变成E_{11}自己
把E_{12}变成E_{21} E_{21}变成E_{12}
E_{22}变成E_{22}自己
那么T在这组基底下的像
可以由这组基底线性表示
表示的坐标分别是
这是1 0 0 0
这是说E_{11}它可以写成
1去乘以E_{11}加上0乘以E_{12}
再加上0去乘以E_{21}
再加上0去乘以E_{22}
因此它的坐标是1 0 0 0
而同样地T（E_{12}）
它的坐标是 0 0 1 0
T（E_{21}）的坐标是0 1 0 0
T（E_{22}）的坐标是0 0 0 1
那这个矩阵就是转置变换
在给定的这组基下的矩阵表示
那我们再
不厌其烦地给出一个例子
这个变换是从R＾3到R＾3
我们假设它在R＾3中的一组基α
1 α2 α3下的矩阵
是这样的一个3阶的矩阵A
我们求T在基α
3 α2 α1下的矩阵
那么由已知的这个条件说
这个线性变换在给定基α
1 α2 α3下的矩阵是A
我们就知道说T（α1）是等于α
1减α2
T（α2）是等于2α1加2α2
加4倍的α3
T（α3）是等于α2加上2倍的α3
那么我们把基底的次序变
就假设
把它理解成是一组新的基底
那么T（α3 α2 α1）
这是一个记号
它表示是
T（α3）T（α2）T（α1）
那我们可以把这个相应的
它们在α3 α2 α1
这组基底下的坐标给写进来
那么T（α3）刚才说它等于α
2加2倍的α3
那是2倍的α3再加上1倍的α2
所以它的坐标是2 1 0
T（α2）等于2倍的α1
加2倍的α2加4倍的α3
所以在这组新次序的基底下
它是等于4倍的α3
加2倍的α2 加2倍数α1
所以它的坐标是4 2 2
那么同样地T（α1）
它等于α1减α2
在新基底下是0乘以α3
减掉1去乘以α2
再加上1去乘以α1
所以它的坐标是0 -1 1
那么这个呢
就是我们这个线性变换
它在α3 α2 α1
这组基底下的矩阵表示
我们下节课会讲同一个线性变换
在不同的两组基下
矩阵表示之间的关系
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
