10.5 关于Fourier变换的注记慕课视频播放-线性代数(2)-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

刚才我们说了傅里叶级数

跟周期函数的展开形式

一个周期为2L的函数

我们考虑它的傅里叶展开

那么

如果在实数轴上一个非周期函数

它有傅里叶级数展开吗

这个问题的回答呢

就导致了傅里叶变换的引入

给定一个足够大的L

那么我们可以把我们这个f(t)呢

这个非周期的函数f(t)

截取它在-L到L这一段

这一段得到的一个函数f_L(t)

那么它在-L到L之间就是f(t)

其他地方取0

那么当L趋于正无穷的时候

f_L(t)就趋近于f(t)

那f_L(t)能够被周期延拓

也就是说我们按照-L到L

作为一个周期这样进行延拓

那么从L到3L这一段

就是把这个f_L(t)的图象

进行复制一下

不断地向下向左和向右延伸

也就是我们得到一个函数F_L(t)

它满足F_L(t)等于F_L(t+2L)

那么对于这样一个周期函数呢

我们可以考虑

它的傅里叶级数展开

这样我们就得到了

在-L到L之间呢

这时候f(t)跟f_L(t)

跟F_L(t)是一样的

也就是可以写成

这样一个无穷和的形式

那么我们知道

当L趋于正无穷的时候

f_L(t)是趋近于f(t)的

但是右边这个形式呢

我们无法直接叫L趋于正无穷

因为这个表达式呢

当L趋于正无穷的时候

它是不确定的

因为k也在变大

所以我们无法确定这个和的形式

极限的状态

所以我们可以作一个变量替换

首先f_L(t)是等于0的

当t在-L到L之外

那么c_k呢

我们就可以把它写成一个

从负无穷到正无穷的一个形式

因为在-L到L之外呢

它都是0

所以我们可以把c_k写成这样一个

标准形式

这样就把L这个变量给去掉了

在这一块去掉了

那么现在呢还有这一个

当L趋于正无穷的时候

1/L趋于0

那么上面有k

这样又会影响到它的极限状态

不确定

所以一个办法呢

就是令k除以L

整体看作一个新的变量 ω_k

那么如果把这个看作一个整体

看作一个新变量

那这块就变成了1/2L

负无穷到无穷

f_L(t)乘上e^-iω_kt dt

我们把这个称作f~_L(ω)

也就是说ω_k的不同呢

有不同的f~

这样得到一个函数了

这个呢

当这个ω取ω_k的时候

就是这个表达式

利用这样一个变量替换以后呢

我们c_k就可以写成f~(ω_k)取值

然后呢乘1/2L

那么我们可以写成ω_k+1减去ω_k

我们总结一下

我们就得到了f_L(t)可以写成

这样一个无穷和的形式

那么大家可以看到

这时候通过变换替换

有这个无穷和呢

实际可以理解为一个黎曼和

这一个是区间

这个是函数的取值

关于ω的

好那么这时候呢

我们f~_L

刚才我们定义是这样设定的

那么我们把这个函数称作为

f_L(t)这个函数的傅里叶变换

那么真正的定义呢

是当L趋于正无穷的时候

那么这时候这个Δω让它趋于0

因为Δω实际上就是1/L

趋于0

那么这时候f_L(t)趋近于f(t)

那么这面呢

右边就趋近于一个积分形式

那么f~(ω)就等于负无穷到正无穷

f(t)乘上e^iωt dt

就把这个式子里面的

让L趋于正无穷

f_L(t)趋近于f(t)

那么f(t)和f~(ω)互为傅里叶变换

那么我们可以理解一下

f(t)实际上是

我们刚才说了

它的傅里叶级数展开呢

实际上是关于时间函数的

与sin cos之间叠加出来的

那么f~(ω)是关于这些频率

叠加出来的

所以它是频率的函数

我们在讲最后一讲的时候

提到复矩阵的时候呢

我们将会回到这个傅里叶变换

在那里我们会考虑

傅里叶变换的离散形式

傅里叶变换的离散形式呢

那么f(x)或者f(t)

就被一个向量替换

f~(ω)也被一个向量替换

那么

它们之间互逆的这种傅里叶变换

或者逆傅里叶变换的关系

实际上就是通过一个傅里叶矩阵

进行互相转换的

在那里我们还会讨论

快速的傅里叶变换

线性代数(2)课程列表：

第一讲：正定矩阵

-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件

-1.2 典型例题

-1.3 半正定矩阵及其判别条件

-1.4 二次型

-1.5* 有心二次曲线(central conic)

--1.5* 有心二次曲线(central conic)

-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面

--1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面

-1.7 二次型的分类

--1.7 二次型的分类

-1.8 矩阵的合同

--1.8 矩阵的合同

-1.9* 惯性定理的证明

--1.9* 惯性定理的证明

-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号

--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号

-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用

--1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用

-第一讲讲义

-第一讲：正定矩阵--课后习题

第二讲：相似矩阵

-2.1 引言

-2.2 相似矩阵的性质

-2.3 Jordan标准形

-2.4 定理的证明

-2.5 Jordan标准形的应用

-第二讲：相似矩阵--课后习题

第三讲：奇异值分解

-3.1 引言

--3.1 引言

-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

-3.3 例题

--3.3 例题

-3.4 奇异值分解的应用

--3.4 奇异值分解的应用

-第三讲讲义

-第三讲：奇异值分解--课后习题

第四讲：线性变换 I

-4.1 线性变换的定义和性质

-4.2 线性变换的运算

-4.3 线性变换的矩阵表示

-4.4 线性变换与矩阵之间的关系

-第四讲：线性变换 I--课后习题

第五讲：线性变换 II

-5.1 恒同变换与基变换

-5.2 图像压缩——基变换的应用

-5.3 线性变换在不同基下的矩阵

-5.4 矩阵分解与基变换

-5.5 线性变换的核与像

-5.6 不变子空间

-5.7* 幂零变换

-5.8* Jordan标准形

-第五讲：线性变换 II--课后习题

第六讲：伪逆

-6.1 伪逆

--6.1 伪逆

-6.2 Moore – Penrose 伪逆

--6.2 Moore – Penrose 伪逆

-6.3 最小二乘法

--6.3 最小二乘法

-第六讲讲义

-第六讲：伪逆--课后习题

第七讲：工程中的矩阵

-7.1 简介

-7.2 弹簧模型

-7.3 变量的线性关系

-7.4 刚度矩阵

-7.5 从离散到连续

-第七讲：工程中的矩阵--课后习题

第八讲：图与网络

-8.1 简介

--8.1 简介

-8.2 图和矩阵

--8.2 图和矩阵

-8.3 网络和加权Laplacian矩阵

--8.3 网络和加权Laplacian矩阵

-8.4 关联矩阵的四个基本子空间

--8.4 关联矩阵的四个基本子空间

-8.5 注记

--8.5 注记

-第八讲讲义

-第八讲：图与网络--课后习题

第九讲：Markov矩阵和正矩阵

-9.1 问题引入

-9.2 Markov矩阵

-9.3 正Markov矩阵

-9.4 正矩阵

-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题

第十讲：Fourier级数

-10.1 引言

-10.2 内积空间

-10.3 傅里叶级数

-10.4 投影

-10.5 关于Fourier变换的注记

--10.5 关于Fourier变换的注记

-第十讲讲义

-第十讲：Fourier级数--课后习题

第十一讲：计算机图像

-11.1 引言

-11.2 平移

-11.3 伸缩

-11.4 旋转

-11.5 投影和反射

-第十一讲：计算机图像--课后习题

第十二讲：复数与复矩阵

-12.1 引言

-12.2 复矩阵

-12.3 复正规阵

-12.4 离散Fourier变换

-12.5 快速Fourier变换

-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题

结课寄语

-结课寄语

--结课寄语

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