当前课程知识点:线性代数(2) > 第十讲:Fourier级数 > 10.5 关于Fourier变换的注记 > 10.5 关于Fourier变换的注记
刚才我们说了傅里叶级数
跟周期函数的展开形式
一个周期为2L的函数
我们考虑它的傅里叶展开
那么
如果在实数轴上一个非周期函数
它有傅里叶级数展开吗
这个问题的回答呢
就导致了傅里叶变换的引入
给定一个足够大的L
那么我们可以把我们这个f(t)呢
这个非周期的函数f(t)
截取它在-L到L这一段
这一段得到的一个函数f_L(t)
那么它在-L到L之间就是f(t)
其他地方取0
那么当L趋于正无穷的时候
f_L(t)就趋近于f(t)
那f_L(t)能够被周期延拓
也就是说我们按照-L到L
作为一个周期 这样进行延拓
那么从L到3L这一段
就是把这个f_L(t)的图象
进行复制一下
不断地向下 向左和向右延伸
也就是我们得到一个函数F_L(t)
它满足F_L(t)等于F_L(t+2L)
那么对于这样一个周期函数呢
我们可以考虑
它的傅里叶级数展开
这样我们就得到了
在-L到L之间呢
这时候f(t)跟f_L(t)
跟F_L(t)是一样的
也就是可以写成
这样一个无穷和的形式
那么我们知道
当L趋于正无穷的时候
f_L(t)是趋近于f(t)的
但是右边这个形式呢
我们无法直接叫L趋于正无穷
因为这个表达式呢
当L趋于正无穷的时候
它是不确定的
因为k也在变大
所以我们无法确定这个和的形式
极限的状态
所以我们可以作一个变量替换
首先f_L(t)是等于0的
当t在-L到L之外
那么c_k呢
我们就可以把它写成一个
从负无穷到正无穷的一个形式
因为在-L到L之外呢
它都是0
所以我们可以把c_k写成这样一个
标准形式
这样就把L这个变量给去掉了
在这一块去掉了
那么现在呢还有这一个
当L趋于正无穷的时候
1/L趋于0
那么上面有k
这样又会影响到它的极限状态
不确定
所以一个办法呢
就是令k除以L
整体看作一个新的变量 ω_k
那么如果把这个看作一个整体
看作一个新变量
那这块就变成了1/2L
负无穷到无穷
f_L(t)乘上e^-iω_kt dt
我们把这个称作f~_L(ω)
也就是说ω_k的不同呢
有不同的f~
这样得到一个函数了
这个呢
当这个ω取ω_k的时候
就是这个表达式
利用这样一个变量替换以后呢
我们c_k就可以写成f~(ω_k)取值
然后呢乘1/2L
那么我们可以写成ω_k+1减去ω_k
我们总结一下
我们就得到了f_L(t)可以写成
这样一个无穷和的形式
那么大家可以看到
这时候通过变换替换
有这个无穷和呢
实际可以理解为一个黎曼和
这一个是区间
这个是函数的取值
关于ω的
好 那么这时候呢
我们f~_L
刚才我们定义是这样设定的
那么我们把这个函数称作为
f_L(t)这个函数的傅里叶变换
那么真正的定义呢
是当L趋于正无穷的时候
那么这时候这个Δω让它趋于0
因为Δω实际上就是1/L
趋于0
那么这时候f_L(t)趋近于f(t)
那么这面呢
右边就趋近于一个积分形式
那么f~(ω)就等于负无穷到正无穷
f(t)乘上e^iωt dt
就把这个式子里面的
让L趋于正无穷
f_L(t)趋近于f(t)
那么f(t)和f~(ω)互为傅里叶变换
那么我们可以理解一下
f(t)实际上是
我们刚才说了
它的傅里叶级数展开呢
实际上是关于时间函数的
与sin cos之间叠加出来的
那么f~(ω)是关于这些频率
叠加出来的
所以它是频率的函数
我们在讲最后一讲的时候
提到复矩阵的时候呢
我们将会回到这个傅里叶变换
在那里我们会考虑
傅里叶变换的离散形式
傅里叶变换的离散形式呢
那么f(x)或者f(t)
就被一个向量替换
f~(ω)也被一个向量替换
那么
它们之间互逆的这种傅里叶变换
或者逆傅里叶变换的关系
实际上就是通过一个傅里叶矩阵
进行互相转换的
在那里我们还会讨论
快速的傅里叶变换
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正(负)定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲:正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲:相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲:奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲:线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲:线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲:伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲:工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲:图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲:Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲:Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲:计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲:复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语