当前课程知识点：线性代数(2) > 第五讲：线性变换 II > 5.6 不变子空间 > 5.6 不变子空间
我们对V到V的线性变换𝛔
它的像和核具有特别的性质
在像里面的任何一个元素α
被𝛔 作用之后
还在是像集里头
也就是说你像被𝛔 作用之后
在像里
那核中的任何一个元素α
被𝛔 一作用等于零
零仍然是包含在𝛔 的核里
也就是说𝛔 作用在核上面
等于𝛔 作用在核上面
还仍然包含在核空间里
那么这样的子空间称为
是线性变换𝛔 的不变子空间
也就是说
对于V到V的线性变换𝛔
如果W是V的子空间
W中的任何一个向量α ，𝛔(α)
仍然在W里
那我们就称W是线性变换𝛔
的不变子空间
那么线性变换𝛔 的作用
限制在不变子空间W上
我们用这个记号来表示
称为是𝛔 在W上的限制
因为𝛔 作用在W上
仍然包含在W里
所以𝛔 在W的限制
是从W到W的一个线性变换
那么因为由零向量构成的这个空间
和由V构成的这个空间
它都是𝛔 的不变子空间
它们称为是𝛔 的平凡不变子空间
那么我们关心𝛔
的非平凡不变子空间
对于非平凡不变子空间W
它的维数要小于大空间V的维数
大于零
那么这时候𝛔 对于一个
非平凡的不变子空间W上的限制
它要比𝛔 来得要容易
那么不变子空间的好处是什么呢
我们先来看好情形
对于线性变换𝛔
它有一个非平凡不变子空间
好情形是这样
如果存在着𝛔
的另一个不变子空间U
U恰好是W的补空间
也就是说大空间V
可以写成两个不变子空间W
和U的直和
那在这种情况下我们来看𝛔
这个线性变换
它的矩阵表示会有特别的形式
怎么样特别的形式呢
我们对V来取基底v_1到v_n
使得前部分的基v_1到v_k
是不变子空间W的一组基
后部分从v_｛k+1｝到v_n
是不变子空间U的基
那么在这样的一组基下
线性变换𝛔 它的矩阵表示
就是对角块的形状
这是为什么呢
因为v_1到v_k是W的基
而W是V的不变子空间
也就是说𝛔 作用在W里头
是落在W里头的
那么也就是𝛔 作用在v_1到v_k上
可以用v_1到v_k去线性表示
A_1在这里
那么同样𝛔 作用在
不变子空间U上 是落在U里
那样特别地𝛔 作用在U的基底
v_｛k+1｝到v_n上
是用v_｛k+1｝到v_n去表示出来
因此它的矩阵表示是这种形状
当大空间可以写成
不变子空间的直和的时候
线性变换的矩阵表示
会写成对角块的样子
那注意到这个A_1
是𝛔 在不变子空间W上的限制
关于W的基v_1到v_k下的矩阵而A_2呢
是𝛔 在不变子空间U上的限制
在U的基v_｛k+1｝到v_n下的矩阵
而一般情况下
不变子空间W没有不变补空间
大空间不能够写成
不变子空间的直和
这个时候我们仍然可以取基
V的基使得它的前半部分的基
是不变子空间W的基
那么在这样的一组基下𝛔
的矩阵表示就变成
上三角块的样子
其中这个A_1是𝛔 在W的限制
在W的基下的矩阵的表示
那从这里头我们看到
我们希望把大空间
分解成不变子空间的直和
从而能够取出合适的基底
从而使得线性变换
在这组基底下的矩阵表示
能够成为对角块的形状
那么对于线性变换的研究
就转化成
它限制在不变子空间上的研究
我们以此为基础
我们来看一下幂零变换的结构
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
