当前课程知识点：线性代数(2) > 第二讲：相似矩阵 > 2.5 Jordan标准形的应用 > 2.5 Jordan标准形的应用
这一小节我们来看一下
Jordan标准形的应用
我们之前已经讲过
对于一个n阶的矩阵A
我们可以定义它的指数函数
就是把原来指数函数的定义部分
X给改成矩阵A
那么这是一个无穷幂级数的和
它具有很多好的性质
当AB相乘可以交换的时候
e的A+B次幂等于e的A次幂
去乘以e的B次幂
如果A可以写成一个
对角块矩阵的样子
那么e的A次幂
也是一个对角块矩阵
分别是eA1 eA2来作为对角块
那么对于Jordan块
它的指数函数
我们说可以有下面这样一个
漂亮的形式
注意到说在对角线上是1
它的斜上方这儿第一层是t
然后再一上层是2的t方
一直到最后这个元素
是k-1的阶乘分之t的k-1次幂
前两条性质
可以由定义直接验证
我们来看一下第三条性质
我们说这个k阶的Jordan块
它总可以写成入去乘以单位阵
再加上这样的一个k阶矩阵
N的和
这个矩阵A
它主对角线上是0
在上面有一溜1
它的平方
一层一层往上移
然后N的k次幂等于0
它是一个幂零矩阵
我们并且注意到说
N和单位阵Ik是可交换的
那当然这个入是一个数
跟这个数乘矩阵可交换
因此我们用第一条性质
e的Jkt次幂
Jk是可以写成入去乘以单位阵
再加上幂零矩阵N
那么乘以t
因此可以写成e的入tIk再加上Nt
由于这两个矩阵可以交换
所以就等于e的入tIk
再去乘以e的Nt次幂
而由定义e的入tIk次幂
根据定义它等于单位阵
加上入tIk
加上入Ik的平方除以2的阶乘
这样加下去
那么单位阵的任何次幂
都还是单位阵
而前面的这些部分
恰好就是
指数函数e入t的幂级数展开
因此我们可以求出来
e入tIk是等于e入t
乘以k阶的单位阵 Ik
而e的Nt次幂
因为N是一个幂零矩阵
N的k次幂等于0
因此它的指数函数
变成有限项的和
那把这有限的和写出来
我们说就是这样这个矩阵
回到我们之前e的Jt次幂
等于e的入It加上Nt
等于e的入It乘以e的Nt
而这一个是等于e的入t
去乘以单位阵
那么这个呢就等于这个矩阵
这样我们就证明了第三条性质
我们会计算
Jordan块矩阵的指数函数
好 假设A是一个n阶的矩阵
我们说微分方程du/dt等于Au的解
总可以写成e的At次幂
去乘以初始的u（0）这个向量
那么如果A可以相似与对角阵
也就是说存在着可逆矩阵使得
P逆AP等于入为对角阵的情况下
我们会计算e的At次幂
e的At次幂就是Pe入tP逆
转化成去求e入t
那么因为入是一个对角矩阵
所以它的指数函数
还是一个对角矩阵
对角线上的元素是e入It
我们把P的列向量
去记成x1 xn
把P^{-1}u（0）这个向量
我们记成c1 cn
那它表示的意思就是
u0被xi这n个线性无关的向量
线性表示的组合系数
于是这个矩阵形式就可以写成
c1 e入1 tx1一直加到
cn e入n txn的形式
这样我们去求出了方程
du/dt等于Au的解
当A可以相似于对角阵的情况
这是在线性代数1里头学的内容
那一般情况下
A不见得能够相似于对角阵
我们来看说
它总可以存在着可逆矩阵
使得P逆AP等于J
是它的Jordan标准形
我们来求eAt
就转化成是求PeJtP^{-1}
转化成去求eJt
那因为Jordan标准形
是由若干个Jordan块给构成的
有S个Jordan块
那么它的指数函数
还是一个对角块矩阵
在每一个块上是Jordan的指数
我们在性质3里头
我们会计算Jordan块的指数函数
因此我们就会去求
在这种情况下的u（t）是什么
我们来通过一个简单的例子
看一下
求下面的初值问题
du/dt等于Au
这个A是这样的一个3乘3的矩阵
给定u0是2 1 -2/3
这样的一个向量
由前面的讨论我们知道
对于A存在一个可逆矩阵P
使得P逆AP
等于这样的一个Jordan标准形
它有两个Jordan块
特征2对应的1阶Jordan块
特征值0对应的2阶的Jordan块
这是A的Jordan标准形
那么初值问题的解
ut等于Atu（0）
eAt又等于PeJtP^{-1}
那因为J刚才是等于2 0 0 1
所以eJt是一个对角块
e2t e 0 1 0 0
那因为0 1 0 0这个矩阵
乘以t
因为这个矩阵是一个幂零矩阵
它的指数函数
只有两项等于单位阵
0 1 0 0 t
那么因此呢
e 0 1 0 0 t
就等于主对角线上是1
在这个位置上
是t的一个2乘2的矩阵
那合在一起就得到eJt
我们把P写在这里
P逆是1 0 1
表示u（0）被x1 x2 x3线性表示
刚才给的u（0）
它特别的是第一列和第三列的和
因此它的组合系数是1 0 1
那我们把它乘出来就得到u（t）
我们再来看下面一个
常系数的2阶线性常微方程的
初始问题
y两撇减掉2倍的y撇加y等于0
已知y0等于c1 y’0等于c2
这个给定的二阶奇次线性方程
可以改成方程组的样子
我们把y’ y作为一个向量
那么刚才可以写成是y‘ y
这个向量的导数
如果我们叫它u的话
这就是du/dt等于Au
我们对这个矩阵A
存在着一个可逆矩阵P
使得P^{-1}AP等于这个矩阵
这是A的Jordan标准形
那么向量y‘ y
就等于eAt去乘以它在零点的值
y’0等于c2 y0等于c1
那么eAt等于PeJtP^{-1}
由于J等于1 1 0 1
我们可以把它写成单位阵
再加上0 1 0 0的和
那么eJt就等于et
再去乘以这个矩阵的指数
那是1 1 t 0 这是eJt
那把P矩阵 eJtP^{-1}给代入进去
我们就得到这个向量y‘ y
那取它第二个分量就得到yt
那你注意到说
其实它是et和tet的线性组合
组合系数现在是c1加上c2减c1
组合系数由初始条件决定的
我们再来看一道例题
A是这样的一个3乘3的矩阵
我们去求它的特征多项式
入I减掉A的行列式
很容易计算得
入3次方减掉2倍的入平方
这是一个多项式
如果我们把这个多项式里头的入
给换成矩阵A
我们就得到一个矩阵
A的3次方减掉2A的平方
我们说这个矩阵一定是等于0矩阵
我们来验证这件事情
我们已经对矩阵A
求得P逆AP
等于它的Jordan标准形
它有两个Jordan块
构成一个一个一阶的
以2为特征值的Jordan块
还有一个2阶的
以0为特征值的Jordan块
我们叫J1和J2
那我们说P^{-1}f（A）P
就等于f（J）
因此我们要验证f（A）等于0
只要看f（J）等于0
f（J）等于J-2I 再乘以J的平方
其中J-2I是这样的一个3阶矩阵
那么在J1的部分变成了0
在J2的部分现在是J2
减掉2乘一个2阶的单位阵
那么J的平方呢
在J1的地方变J1的平方等于4
在J2的原来的部分平方以后
变成一个0矩阵
因为那部分是0 0 1这种样子
它的平方是等于0
好 这样f（J）
回到原来的表达式里头
J减掉2I再去乘以J的平方
就等于这样的两个对角块矩阵
去相乘 它等于0矩阵
很容易可以看得出来
我们说
这样我们就验证了f（J）等于0
从而f（A）等于零矩阵
那一般的情况下
如果给一个矩阵
它的特征多项式
我们说是入减入1的n1次幂
入减入S的ns次幂
它有特征值入1入s
代数重数分别是n1 ns
假设J入l是关于特征值
入的l阶Jordan块
那这个Jordan块减掉入
乘以单位阵
n入次幂是等于0的
它是一个幂零矩阵
其中n入是入的代数重数
利用这条性质
类似地我们可以说明
f（A）是等于0的
那么也就是有下面
所谓的Hamilton-Caylay定理
假设A是复数域上的一个n阶矩阵
它的特征多项式我们叫做f（入）
当你把入换成矩阵A的话
那f（A）是等于零矩阵
这是Hamilton-Caylay定理
我们可以用Jordan标准形
来证明这一点
这一节我们讨论了如何复矩阵
都相似于其Jordan标准形
讨论了Jordan标准形的计算方法
和应用
Jordan标准形
具有重要的理论意义
希望大家认真体会
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
