2.5 Jordan标准形的应用在线视频

这一小节我们来看一下

Jordan标准形的应用

我们之前已经讲过

对于一个n阶的矩阵A

我们可以定义它的指数函数

就是把原来指数函数的定义部分

X给改成矩阵A

那么这是一个无穷幂级数的和

它具有很多好的性质

当AB相乘可以交换的时候

e的A+B次幂等于e的A次幂

去乘以e的B次幂

如果A可以写成一个

对角块矩阵的样子

那么e的A次幂

也是一个对角块矩阵

分别是eA1 eA2来作为对角块

那么对于Jordan块

它的指数函数

我们说可以有下面这样一个

漂亮的形式

注意到说在对角线上是1

它的斜上方这儿第一层是t

然后再一上层是2的t方

一直到最后这个元素

是k-1的阶乘分之t的k-1次幂

前两条性质

可以由定义直接验证

我们来看一下第三条性质

我们说这个k阶的Jordan块

它总可以写成入去乘以单位阵

再加上这样的一个k阶矩阵

N的和

这个矩阵A

它主对角线上是0

在上面有一溜1

它的平方

一层一层往上移

然后N的k次幂等于0

它是一个幂零矩阵

我们并且注意到说

N和单位阵Ik是可交换的

那当然这个入是一个数

跟这个数乘矩阵可交换

因此我们用第一条性质

e的Jkt次幂

Jk是可以写成入去乘以单位阵

再加上幂零矩阵N

那么乘以t

因此可以写成e的入tIk再加上Nt

由于这两个矩阵可以交换

所以就等于e的入tIk

再去乘以e的Nt次幂

而由定义e的入tIk次幂

根据定义它等于单位阵

加上入tIk

加上入Ik的平方除以2的阶乘

这样加下去

那么单位阵的任何次幂

都还是单位阵

而前面的这些部分

恰好就是

指数函数e入t的幂级数展开

因此我们可以求出来

e入tIk是等于e入t

乘以k阶的单位阵 Ik

而e的Nt次幂

因为N是一个幂零矩阵

N的k次幂等于0

因此它的指数函数

变成有限项的和

那把这有限的和写出来

我们说就是这样这个矩阵

回到我们之前e的Jt次幂

等于e的入It加上Nt

等于e的入It乘以e的Nt

而这一个是等于e的入t

去乘以单位阵

那么这个呢就等于这个矩阵

这样我们就证明了第三条性质

我们会计算

Jordan块矩阵的指数函数

好 假设A是一个n阶的矩阵

我们说微分方程du/dt等于Au的解

总可以写成e的At次幂

去乘以初始的u（0）这个向量

那么如果A可以相似与对角阵

也就是说存在着可逆矩阵使得

P逆AP等于入为对角阵的情况下

我们会计算e的At次幂

e的At次幂就是Pe入tP逆

转化成去求e入t

那么因为入是一个对角矩阵

所以它的指数函数

还是一个对角矩阵

对角线上的元素是e入It

我们把P的列向量

去记成x1 xn

把P^{-1}u（0）这个向量

我们记成c1 cn

那它表示的意思就是

u0被xi这n个线性无关的向量

线性表示的组合系数

于是这个矩阵形式就可以写成

c1 e入1 tx1一直加到

cn e入n txn的形式

这样我们去求出了方程

du/dt等于Au的解

当A可以相似于对角阵的情况

这是在线性代数1里头学的内容

那一般情况下

A不见得能够相似于对角阵

我们来看说

它总可以存在着可逆矩阵

使得P逆AP等于J

是它的Jordan标准形

我们来求eAt

就转化成是求PeJtP^{-1}

转化成去求eJt

那因为Jordan标准形

是由若干个Jordan块给构成的

有S个Jordan块

那么它的指数函数

还是一个对角块矩阵

在每一个块上是Jordan的指数

我们在性质3里头

我们会计算Jordan块的指数函数

因此我们就会去求

在这种情况下的u（t）是什么

我们来通过一个简单的例子

看一下

求下面的初值问题

du/dt等于Au

这个A是这样的一个3乘3的矩阵

给定u0是2 1 -2/3

这样的一个向量

由前面的讨论我们知道

对于A存在一个可逆矩阵P

使得P逆AP

等于这样的一个Jordan标准形

它有两个Jordan块

特征2对应的1阶Jordan块

特征值0对应的2阶的Jordan块

这是A的Jordan标准形

那么初值问题的解

ut等于Atu（0）

eAt又等于PeJtP^{-1}

那因为J刚才是等于2 0 0 1

所以eJt是一个对角块

e2t e 0 1 0 0

那因为0 1 0 0这个矩阵

乘以t

因为这个矩阵是一个幂零矩阵

它的指数函数

只有两项等于单位阵

0 1 0 0 t

那么因此呢

e 0 1 0 0 t

就等于主对角线上是1

在这个位置上

是t的一个2乘2的矩阵

那合在一起就得到eJt

我们把P写在这里

P逆是1 0 1

表示u（0）被x1 x2 x3线性表示

刚才给的u（0）

它特别的是第一列和第三列的和

因此它的组合系数是1 0 1

那我们把它乘出来就得到u（t）

我们再来看下面一个

常系数的2阶线性常微方程的

初始问题

y两撇减掉2倍的y撇加y等于0

已知y0等于c1 y’0等于c2

这个给定的二阶奇次线性方程

可以改成方程组的样子

我们把y’ y作为一个向量

那么刚才可以写成是y‘ y

这个向量的导数

如果我们叫它u的话

这就是du/dt等于Au

我们对这个矩阵A

存在着一个可逆矩阵P

使得P^{-1}AP等于这个矩阵

这是A的Jordan标准形

那么向量y‘ y

就等于eAt去乘以它在零点的值

y’0等于c2 y0等于c1

那么eAt等于PeJtP^{-1}

由于J等于1 1 0 1

我们可以把它写成单位阵

再加上0 1 0 0的和

那么eJt就等于et

再去乘以这个矩阵的指数

那是1 1 t 0 这是eJt

那把P矩阵 eJtP^{-1}给代入进去

我们就得到这个向量y‘ y

那取它第二个分量就得到yt

那你注意到说

其实它是et和tet的线性组合

组合系数现在是c1加上c2减c1

组合系数由初始条件决定的

我们再来看一道例题

A是这样的一个3乘3的矩阵

我们去求它的特征多项式

入I减掉A的行列式

很容易计算得

入3次方减掉2倍的入平方

这是一个多项式

如果我们把这个多项式里头的入

给换成矩阵A

我们就得到一个矩阵

A的3次方减掉2A的平方

我们说这个矩阵一定是等于0矩阵

我们来验证这件事情

我们已经对矩阵A

求得P逆AP

等于它的Jordan标准形

它有两个Jordan块

构成一个一个一阶的

以2为特征值的Jordan块

还有一个2阶的

以0为特征值的Jordan块

我们叫J1和J2

那我们说P^{-1}f（A）P

就等于f（J）

因此我们要验证f（A）等于0

只要看f（J）等于0

f（J）等于J-2I 再乘以J的平方

其中J-2I是这样的一个3阶矩阵

那么在J1的部分变成了0

在J2的部分现在是J2

减掉2乘一个2阶的单位阵

那么J的平方呢

在J1的地方变J1的平方等于4

在J2的原来的部分平方以后

变成一个0矩阵

因为那部分是0 0 1这种样子

它的平方是等于0

好 这样f（J）

回到原来的表达式里头

J减掉2I再去乘以J的平方

就等于这样的两个对角块矩阵

去相乘 它等于0矩阵

很容易可以看得出来

我们说

这样我们就验证了f（J）等于0

从而f（A）等于零矩阵

那一般的情况下

如果给一个矩阵

它的特征多项式

我们说是入减入1的n1次幂

入减入S的ns次幂

它有特征值入1入s

代数重数分别是n1 ns

假设J入l是关于特征值

入的l阶Jordan块

那这个Jordan块减掉入

乘以单位阵

n入次幂是等于0的

它是一个幂零矩阵

其中n入是入的代数重数

利用这条性质

类似地我们可以说明

f（A）是等于0的

那么也就是有下面

所谓的Hamilton-Caylay定理

假设A是复数域上的一个n阶矩阵

它的特征多项式我们叫做f（入）

当你把入换成矩阵A的话

那f（A）是等于零矩阵

这是Hamilton-Caylay定理

我们可以用Jordan标准形

来证明这一点

这一节我们讨论了如何复矩阵

都相似于其Jordan标准形

讨论了Jordan标准形的计算方法

和应用

Jordan标准形

具有重要的理论意义

希望大家认真体会