当前课程知识点：线性代数(2) > 第十二讲：复数与复矩阵 > 12.2 复矩阵 > 12.2 复矩阵
好 下面我们来看
复矩阵的共轭转置
设A是n乘n的矩阵
aij等于是复数里面的一个元素
那么A＾H就是把A转置
然后每个元素取共轭
或者A的每个元素取共轭再转置
比如说Z等于1+i i
那么我们可以先把Z取转置
那么变成1+i i
然后再共轭
每个元素取共轭
就是1-i -i
那么我们也可以先把
这个元素取共轭
变成1-i -i 然后再转置
那么结果是一样的
比如说A等于1 i 0 1+i
那么A＾H就是把每个元素
共轭一下
然后再转置整个矩阵
那么这个取共轭转置
是复矩阵特有的
对于实矩阵只谈转置
那么我们看一个矩阵的共轭转置
然后再取共轭转置等于A自己
这类比于
实矩阵的转置的转置等于A
跟这是类比的
两个矩阵乘积的共轭转置
等于倒过来
先把B共轭转置
然后再乘上A的共轭转置
我们在傅里叶级数那块
我们谈到了内积
那么我们现在作一下
C＾n上的内积呢
我们在这一块也定义了
就是u跟v的内积
实际上就是u的共轭转置
再乘上v
那么这样的好处在于
我们能不能保证u＾H乘u
它是个实的
而且是大于等于0的
如果我们只取转置
那么就不能保证这点
我们看u＾Hv等于v＾Hu
再取共轭
我们看在复矩阵里面
类比与实矩阵中的对称
和正交这些矩阵呢
在复矩阵里面有相同的类比
我们来看厄米特矩阵
这样一种矩阵
它实际上就是实对称矩阵的
在复矩阵中的类比
一个A是厄米特矩阵
当且仅当A跟A＾H一样
也就是说把A转置再共轭
和A是一样的
比如这样一个矩阵
那么这样一个矩阵的特点
大家可以看到
一个厄米特矩阵
它这个对角线元素必须是实数
因为它要跟它的共轭是一样的
一个复数跟共轭相等呢
那么这个复数只能是实数
它的对角线以上和以下
这个对称位置呢
两个数是共轭的
这就是厄米特矩阵的结构
第二个性质我们看
如果z是一个复数
A是厄米特矩阵
则z＾HAz是一个实数
这个呢我们可以看一下
我们说它是个实数呢
只要看
首先我们看这是一个数
A乘上一个向量 列向量
这个是C＾n
那么这个共轭就等于
我们可以考虑它的共轭
那么就等于
或者说取它的共轭转置
也就是说Z＾HAz的H
那么这个呢我们可以等于Z＾H
倒过来
A＾H再乘Z＾H的H 还是z
所以我们看到
这样一个数跟它的共轭
是相同的
那么我们可以看到
所以Z＾HAz是个实数
设A和B是厄米特阵
则A+B也是厄米特矩阵
这个使用厄米特矩阵的性质
A+B它的共轭转置
那么应该是等于A的共轭转置
加上B的共轭转置
但是A B都是厄米特阵
所以这个等于A+B
所以我们看到A+B的共轭转置
跟它自己一样
所以它也是厄米特阵
那么对于A乘B呢
就像A是实对称 B是实对称
A乘B不一定实对称
原因呢是因为A乘B呢
它和B乘A一般来说不交
如果假设它们交换的
那么这个情况也一样
AB是厄米特阵
特别地
如果B等于A
那么也就是说
A的n次方或者A＾2 A＾3
它们都是厄米特阵
性质4
设A是n阶复矩阵
则A乘A＾H
大家可以把这个跟A＾TA
A乘A＾T的实矩阵的时候
这种来类比一下
那么现在情况一样
A＾HA
把T都改成H
和AA＾H A+A＾H都是厄米特阵
那么在实对称阵的时候
我们看到
实对称阵的特征值是实数
那么一个厄米特阵呢
它也是相似的
一个厄米特阵A
它的特征值也是实数
虽然厄米特阵本身可能是复矩阵
我们看一下证明
假设Az等于λ0z
随便取这个特征值λ0
和一个特征向量z
那么我们两边
从左边同时乘上一个z＾H
刚才我们已经说了
如果A是厄米特阵
这个实际上是个实数
那么z＾h乘z也是个实数
那么由此我们看到
这个λ0必须是实数
当然前提是z不等于0
因为z在这块
我们取特征向量不等于0
在实对称阵的时候呢
不同特征值的特征向量
是互相正交的
那么现在的情况也是一样的
一个厄米特阵
它不同特征值的特征向量
也是相互正交的
那我们来看看证明
设z1是属于λ1的特征向量
就是Az1等于λ1z1
z2是属于λ2的特征向量
也就是说
属于两个不同特征值的特征向量
那么现在我们来看一下
我们要在λ1不等于λ2的时候
我们想说明z1和z2是垂直的
那么在实的时候
我们说两个向量垂直
实际上就是证明z1z2的转置
乘z2等于0
那么现在复的呢
我们就要把这个T改成H
所以我们需要证明z1＾z2等于0
好 我们来确切看一下
z2＾HAz1等于
注意 因为这是Az1
所以这个等于λ1z2＾Hz1
但是我们同时又可以看到
这个A是一个厄米特阵
所以我们可以把这个
写成这个形式
那么我们现在来关心一下
前面这一部分
这一部分
正好是Az2得到共轭转置
那么z2是属于λ2的特征值
所以我们代进去
就可以得到这样一个式子
因为λ2呢
A的特征值都是实的
所以这个取共轭跟没取一样
好 那么我们做什么呢
我们给出了这样一个数
这个数
我们现在只能说它是个复数
那么我们这样一个数我们看到
根据不同的结合律
就是z2＾HAz1
那么我们既可以这样结合
也可以这样结合
那不同的结合
得到了不同的结果
这个和这个
那么由此我们看到λ1-λ2
z2＾Hz1等于0
因为λ1不等于λ2
所以z2＾Hz1等于0
这就证出了它们是正交的关系
好 下面我们来看酉矩阵
酉矩阵是我们实矩阵中
正交矩阵的类比
U是酉矩阵
就是U＾HU等于In
那大家回忆一下
正交矩阵是Q＾TQ等于In
那么在复的里面我们说了
把所有的凡是关于T的
我们都要改成H
那么这是酉矩阵的定义
那么换句话说
也就是说U的每一列之间互相是
标准正交的
我们设u1到un是U的每一列
那么我们看到ui＾Huj
如果i不等于j是等于0
i等于j是1
就是表示它的长度是1
U＾HU等于In
那么注意
我们这块是m乘n阶的
那么这种我们叫
类似于列正交矩阵的类比
那么这个酉矩阵呢
我们要求U是个方阵
但是一般地
我们可以只要求U的每一列
互相正交
所以这个就是在正交矩阵中
列正交矩阵和正交矩阵的区别
就是一个是方阵
一个可以不是方阵
那么在这块呢
我们也有同样的这个类比
如果U是个酉矩阵
那么跟正交阵类似
正交阵我们可以说是保长度的
也就是说
一个向量用正交阵去乘一下
得到的新向量
跟原来的向量长度是一样的
那么酉矩阵也有相同的性质
Uz的长度和z的长度是一样的
只不过现在这个长度的定义
要用我们复空间里面的内积
也就是说
一个向量的长度的平方
等于这个向量长度
这块取的是这个向量的共轭转置
再乘上α
所以大家注意这个跟实的
有非常相似之处
我们看U是酉矩阵
则U的特征值模长等于1
这个跟我们那个正交阵类似
正交阵我们可以看到
它的特征值的长度等于1
或者-1
特征值的长度只能取1
但是特征值我们这块
可以取复数
但是它的长度只能是1
又是酉矩阵
例如我们看这样一个矩阵
这是个酉矩阵
它的每一列的长度等于1
然后列和列之间相互正交的
因为酉矩阵
它的特征值的模长等于1
所以它的行列式
实际上就是特征值的长度相乘
那么行列式的长度呢
也就是行列式它的长度
也是等于1的
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
