当前课程知识点：线性代数(2) > 第十讲：Fourier级数 > 10.3 傅里叶级数 > 10.3 傅里叶级数
下面我们来看一个
周期函数的傅里叶级数展开
设V等于f(x)
f(x)是周期为T的
等于2L的实函数
并且f(x)在-L到L上
在一个周期上是piecewise连续的
那么这个V是一个向量空间
那么可以定义一个内积
就是定义它在一个区间上的
两个函数相乘的积分
它的傅里叶级数呢就写成
也是这样一个
关于这样一个
基本函数的线性组合
那么这时候这个a_n就可以写成
1/L这样一个积分形成
b_n写成这样的积分形式
那么这个是怎么写出来的呢
就是我们原来说的是
当f(x)的周期为2π的时候
也就是L取π的时候
我们能写出来
它的傅里叶级数展开
那么现在这种情况呢
我们只需要做一个变量替换
对于f(x)这样一个函数呢
我们可以把x替换成L/π t
那么我们就得到了f(L/π t)
这个想成g(t)函数
那么对于这样一个函数呢
它的周期就是2π
所以对这个函数
跟我们能够进行傅里叶级数展开
然后再改回到x就行了
最后我们得到了
这样一个表达形式
这样的时候呢
一个周期函数
能够使用一些基本的三角函数
叠加出来
我们通过下面的例子
来说明这一点
为什么周期函数
能使用这些
波动的sin、cosx函数叠加出来呢
我们来看
下面这个例子我们刚才说过的
就是f(x)它周期为2π
在-π到π上它取值是0
在0到π上取值是1
那么这是它的图象
这两边都是无穷延伸的
因为它是周期为2π的
那么这个函数呢我们可以看到
它的傅里叶级数展开
实际上是这个形式的
就是f(x)等于1/2
加上一个无穷和
这个无穷和
它是一些2/(2k-1)π
注意这个分母呢实际上是π
的奇数倍乘上sin(2k-1)π
为了看出f(x)实际上是这些
无穷个sin函数叠加出来的
那么我们先取有限项
看看它们叠加出来的效果
也就是说令S_N等于这样一个
n+1项的和 不是n+1项
因为这个n是个奇数
就是在这里面我们只能取奇数
这一块是3π
也就是说这是1π 3π
然后下一个5π 一直取到
n是奇数
那么我们来看一下
这个函数它的形式
当这个n取1的时候
那么它实际上等于把2sinx/π
平移了一下
那么x1我们看它是等于
1/2加上2sinx/π的
那么当n取3的时候
那么也就是1/2加2sinx/π
再加上2sin3x/3π
那么大家可以看这个函数呢
跟原来的f(x)对比一下
原来f(x)在这面取的是0
这面取1
那么我们可以看到
当取n等于15的时候
那么这个波动呢
函数叠加出来的效果
就跟我们这个f(x)非常接近了
我们现在来确切地
计算一个piecewise周期函数的
傅里叶级数展开
下面这个函数是绝对值函数
它的周期是2
那么这两边是无穷延伸下去
我们按照公式来确切地算
a_0按公式是-1 1
也就是说1跟绝对值x之间的
作出的积分
那么因为绝对值x
它可以分成两段
那么我们把它分成-1到0和0到1
这样就可以去
把它确切地写出来了
在-1到0呢绝对值x等于-x
在0到1呢绝对值x等于x
所以呢作为积分结果是0
我们可以看到这个函数
f(x)它是一个偶函数
就是f(-x)等于f(x)
好 我们再来看a
一般地n大于等于1呢
实际上是绝对值x f(x)
跟cosnπx乘积的积分
那同样地呢
我们也是可以把它分成-1到0
和0到1两部分
因为cosnπx也是一个偶函数
所以我们可以把它写成
2倍的0 1这之间的
最后算出来的结果呢
我们得到了是
这样一个分段的结果
就是当n是偶数的时候是0
n等于2k+1的时候呢
是负的n^2 π^2分之4
这样我们可以写出
f(x)的傅里叶级数形式
我们可以看到
在这个傅里叶级数中
它没有sin函数
这个原因是因为f(x)是偶函数
我们过会会写一个定理
来突出这一点
因为这个f(x)等于绝对值x
它是一个piecewise连续的
另一方面它的导数
也就是它的导数呢
除了有限个点以外都连续
也就是说这一个周期里面
只有在-1 0 1这三个地方
是不连续的
其他地方都是连续的
那么由我们这引言中的最后定理
f(x)应该跟它的傅里叶级数
是相等的
那么在不连续的地方呢
它等于左右极限的和的平均值
那么现在这个f(x)
本身它是连续的
它只是在刚才说的-1 0 1
这三个点呢
它的导数会受影响
我们把f(x)的级数形式
写开以后
我们可以算一些无穷极数的和
比如说是说令x等于1的时候
那么我们可以得到
π^2/8等于这样一个表达形式
1+1/3＾2+1/5＾2+1/7＾2
一直加下去
也就奇数的倒数的平方和
它们的和结果是个收敛的
等于π＾2/8
通过这个例子我们看到
如果f(x)是一个偶函数
它的傅里叶级数展开
那么其中的b_n等于0
也就是说没有sin部分
那如果f(x)是一个奇函数呢
则f(x)的傅里叶级数展开呢
没有cos部分
也就是a_n等于0
我们再看这个例子
这个f(x)它是一个不连续的
在0这一点不连续
我们来看它的一个周期
从-π到π这样一个周期
-π到π这样一个周期呢
在0这点不连续
所以它不连续的地方呢
是所有的2kπ
那么我们确切地算一下
a_0就等于f(x)跟1
乘积的它的积分
那么现在我们可以取成
周期是0到2π
当然我们也能写成
取积分的时候取-π到π
结果是一样的
那么我们算出来呢
a_0等于π/2+π
a_n就是f(x)跟cosnx
它们乘积的积分
同样地b_n等于-(1/n)
那么这样子我们最后能够
把f(x)写成这样一个无穷和的形式
它既有cos的部分
也有sin部分
那么通过代入一些特殊值
我们可以算一些
比较有趣的一些级数的和
比如说x等于π/2
那么可以得到π/2
等于这样一个无穷和 交错和
因为它有负加是交错产生的
刚才我们说的
傅里叶级数的实形式
那么现在我们也可以说一下
它的复形式
复形式呢 我们刚才说了
那么这些c_k是什么意思呢
这些c_k实际上就是f(x)
在这样一些基本函数上的投影
那我们看到这个呢
c_k乘上e^(ikπx/L)
实际上就是f(x)在e^(ikπx/L)
上面的投影
这个投影就是c_k乘上e^(ikπx/L)
那么如果我们写成内积的形式呢
c_k就等于这样一个内积
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
