当前课程知识点：线性代数(2) > 第十讲：Fourier级数 > 10.4 投影 > 10.4 投影
我们刚才已经说了
就是一个函数f(x)
它的傅里叶级数展开的每一项
实际上是f(x)
在那个标准正交函数上的投影
那么我们现在确切地说明这一点
给定α, β不等于0
是两个n维空间中的实向量
那么α在β上的投影
是等于这样一个表达式
这个我们可以把它推广到
带内积的向量空间上
V是一个向量空间
有一个内积
我们假设α在β上的投影是p
这个向量
那么因为p就在β上
所以p肯定是β的一个倍数
那具体的是多少倍呢
那我们要确切算出这个t
那么这个t的算法是使用这个事实
就是α-p是垂直于β
也就是说这个向量e等于α-p
它是跟β垂直的
就是说一个向量
是另一个向量的投影
那么就是说这两个向量的差
必须跟投影的那个面
或者投影的那个空间是垂直的
好 那么α-p跟β垂直
也就是说α-p跟β它的内积等于0
那么我们就可以把p等于tβ代入
代进去以后我们可以看到
就是(α-tβ, β)
那么这个就等于(α, β)
减去t倍的(β, β)
这个是等于0的
由此我们就可以把t具体算出来
所以在一个内积空间上
我们可以定义一个相似于
当时我们考虑R^n上的内积
就推广了这个
所以p等于(α, β)除以β的长度的平方
再乘上β
那么现在呢
我们把这个应用到函数上
f(x)是一个
piecewise连续的函数
周期等于2π
那么它在cosnx上的投影呢
按照刚才我们那个投影的算法
就是f(x)跟cosnx作内积
再除以cosnx长度的平方
再乘上cosnx
这就是f(x)在cosnx上的投影
这个函数
那么这个就正好是我们的a_n cosnx
也就是我们傅里叶展开中的
cosnx的系数
能够从这儿确定出来
那么对于复形式情况是一样的
那么这个ck e^ikx实际上
就是f(x)在e^ikx上的投影
那么按照投影定义呢
那我们可以看到这个投影
实际上就是等于f(x)
跟e^ikx作内积
然后除以e^ikx长度的平方
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
