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下面我们来看第一种变换
平移
平移是一个这样一个变换
就是把我们考虑的这个向量α
属于N维空间 这个N维向量
把它平移到α+α_0
α_0是一个固定的向量
那我们可以看这个例子
R＾2到R＾2
那么这时候取的α_0
就等于(2 0)
任何一个(x y)都变到了(x+2 y)
那比如说我们来看这个三角
(0 0) (1 0)和(0 1)
这个直角三角形
那么直观上我们可以看到
(0 0)被移到了(2 0)这个位置
(1 0)移到了(3 0)这个位置
(0 1)被移到了(2 1)这个位置
所以大家可以看到
原来这个三角平移完以后
实际上就是把这个三角
跟x轴平行地
向右移动两个单位
平移是保持直线的
就是一条直线平移以后
还是一条直线
平移呢它又保持夹角
也就是点和点之间的距离夹角
都不变
只是平移
比如说二维空间
一条直线的l
它完全是由
一个向量α的k倍决定的
比如一条过原点的直线
我们可以写一个cα
c属于实数
这就是一个直线的方程
那么我们看到T(l)
T(l)就是把α变成α+α_0
那就变成了cα+α_0
那么这个T(l)就变成这样一个形式
那么这个形式我们看到
就是α_0+α
这个向量平行的所有向量
那当然也还是一条直线
只不过现在这条直线
现在不过原点了
这条直线它不经过原点
如果说α_0不等于0的话
第二条
平移不是一个线性变换
因为我们从向量
线性变换是向量空间
之间的一个映射
那么这个映射把0向量映成0向量
那么我们看平移呢
它把0向量映到非0向量
比如刚才这个例子中
(0 0)就被影成了
乘T以后就被映成了(2 0)
这个是不等于0的
所以平移不是一个线性变换
那这时候在引言中我们考虑
我们希望把平移
这样一个变换
写成一个矩阵乘向量的形式
那么要做到这一点呢
我们就引入齐次坐标
我们可以看到
一个平移 实际上T(α)=α+α_0
是这样一种形式
那么它要写成矩阵的形式呢
那么就等于
在这个固定的这个α_0前面呢
就是我们可以把这个α0
我们希望能把它写成一个矩阵
乘上一个α的形式
我们以这个例子来看
那么我们现在希望
按引言中呢
我们就把一个点映到了
(x y z 1)
那么现在这是二维的
就映到了三维空间中的齐次坐标
对于二维空间中的(x y)
这样的点
它的齐次坐标就是(x y 1)
那么这样做是一个嵌入
当然这个嵌入
它不是一个线性映射
也就是说
它没有把0映到0
这只是一个嵌入
实际这种嵌入
我们刚才的平移就是把
(0 0)映到了(2 0)
这样一个平移呢
我们就可以在三维空间中讨论
也就是说
把(x y 1)变到了(x+2 y 1)
这样做的好处呢
就是可以使用矩阵
我们可以看到(x+2 y 1)
这个向量
它就能够写成一个矩阵
乘上(x y 1)
就是刚才我们对于x
这个二维向量
我们不能用一个矩阵
乘上(x y)这个向量
但是呢给它最底下补了一个1
增加一个分量以后
我们做到这一点了
那么乘的这个矩阵的特点呢
这块我们看是个单位阵
最底下这个是(0 0 1)
然后这一块正好
是我们平移的那个向量
就是把0映到了(2 0)
这正好是平移的那个(2 0)
我们一般的可以考虑
就是在n维空间中的平移
也就是说
把x_1到x_n平移到x_1+a_1
一直到x_n+a_n
那么在这个平移中呢
我们可以看到
0点就被映到了a_1到a_n这个向量
或者这个点
那么这个点呢
我们可以通过补一个1
可以把这个给它写成一个矩阵
就是说
现在这个无法写成
一个矩阵乘上x_1到x_n
它做不到这一点
因为当x_1到x_n取0的时候
左边不等于0
右边呢却是0
所以这个矩阵不存在
那么跟刚才一样
如果我们底下补一个分量1
这个补一个分量1
这就可以做到了
也就是我们下面这个
当我们把这个底下
补了一个分量1以后
我们就可以找到这个矩阵
就是x_1+a_1 一直到x_n+a_n 1
这个向量确实能用一个矩阵
乘上x_1到x_n 1
那么这个矩阵
它的特点也很明显
首先这一块是一个I_n
这个底下是个0向量 0
这块是个1
那么这一块呢
恰好是平移
把原点平移到的那个点 α_0
我们看到这一块
正好是a_1到a_n
所以这样子我们就得到了
这个平移
那么我们现在来理解一下
把一个向量x_1到x_n
变成x_1到x_n后面加个1
也就是说
把n维空间向n+1维空间
这种嵌入
它的几何含义是什么
我们刚才考虑的是从二维空间R^2
到R^3这种嵌入
这时候我们把(x y)
变成了(x y 1)
那么我们来从几何上看
我们看右边这张图
这个图是三维空间的坐标系
(x y z)这三个轴
这个O是原点
那么这个地方我们有一个
z等于1这样一个平面
那么当我们在空间中随便找一点
(x y z)这一点
那么空间中随便这一点呢
它跟原点连起来以后
那么跟这个z等于1这个平面
有一个交点
有一个交点
那么这个交点的坐标
我们可以看到
当z不等于0的时候
这个交点的坐标正好是这个
(x/z y/z 1)
也就是第三个分量总是1
我们随便再取一点
那么这个地方过来呢
那么这个
就是我们的小孔成像的原理
大家用计算机
过去我们使用像机拍照的时候
小孔成像
就是使用相同的这个原理
比如说有一个图象
那么我们通过小孔
这个小孔就是我们的原点O
然后我们把它成像到
z等于1这个平面上
那么这个图象就通过这种方式
投影到这个屏幕上
那么大家可以看到
实际上这个轴距是1
那么实际上我们的齐次坐标
实际上只是要最后这个呢
把它除过来 除掉以后呢
等于(2 3 1)都可以
比如说(6 9 3)
当我把3提出去以后呢
里面就变成了(2 3 1)
也就是说
(2 3 1)这样一个点呢
把每个分量
乘上一定的倍数
得到的都是
二维空间中(2 3)的齐次坐标
都是它的齐次坐标
换句话说
(2 3)的齐次坐标
实际上对应的是
三维空间中的一条直线
大家看 如果这一点
它的两个分量(xz yz)
它的齐次坐标是
这条直线上的所有点
都可以看作它的齐次坐标
为此我们把三维空间中
这些直线都拿来
我们定义一个关系
在三维空间中
两个向量α β是等价的
如果存在着一个λ不等于0
使得α等于λβ
那么比如说刚才这个(6 9 3)
和(4 6 2)
它们都是(2 3)的齐次坐标
那么从这个角度看
它们之间的是等价的
因为(6 9 3)跟(2 3 1)
是等价的
(4 6 3)也是等于(2 3 1)的两倍
(4 6 2)
换句话说
就是α β实际上在一条直线上
在一条过原点的直线上
我们把R＾3中这种等价类
全拿出来
也就是说
把过原点这些直线全拿来
它们就构成一个二维的射影空间
我们写成P＾2的形式
那么我们回到刚才那个嵌入
R＾2到R＾3的嵌入
实际上更准确的呢
应该是R＾2到P＾2的嵌入
也就是说
在R＾2中为了区别点和直线
实际上点我们对应的是(x y 1)
向量对应的是(x y 0)
(x y)
那么现在我们用射影这种嵌入
这时候就看得很清楚
就是在(x y 1)和(x y 0)
在P＾2这个射影空间里面都有
所以R＾2到R＾2的一个平移呢
可以看作是
P＾2到P＾2的一个摄影变换
在R＾2上的限制
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
