11.4 旋转在线视频

好 现在我们来看

二维和三维空间中的旋转

在二维空间中旋转变换

这个我们大家都比较熟悉

就是把(x y)这个点

或者这个点

和原点连起来坐标的向量

逆时针旋转θ角

得到的新的点(x′y′)

那么它的坐标就是这样一个形式

任意点(x y)对应的向量

它的逆时针旋转θ角得到的向量

是(x′ y′)

我们可以从图上看一下就是

这个(x y)旋转θ角度以后呢

(x′y′)

就是这样一个形式

这个形式我们也可以从

复数的角度直接看出来

那么大家可以看到

原来这个(x y)对应的复数

实际上是x+iy

那么它旋转了θ角

等于给它乘上了e的iθ

所以就得到了新的复数

x′+iy′

那么我们确切地比较一下

两边的复数的实部和虚部

我们看到x′就是xcosθ-ysinθ

那我们看这个虚部

就是xsinθ+ycosθ

所以呢

如果从复数的角度来算

旋转以后得到的就比较容易

那么

我们要使用它的齐次坐标形式

那么对于二维空间的坐标(x y)

它的齐次坐标就给它补上一个1

也就变成了(x y 1)

这样一个形式

那么这时候我们也能用一个

三阶矩阵乘上(x y 1)

得到齐次

这个变换以后的齐次坐标形式

这是二维空间中的旋转

那么现在我们来看

三维空间中的一个旋转

我们看R＾3中的旋转呢

我们先看特殊情况

就是如果旋转轴是z轴

那么任何一个向量α

它绕着z轴逆时针旋转θ角度

它的意思就是说

先把α分解为两个向量(x y 0)

和(0 0 z)

那么(x y 0)实际上

就是(x y z)

在xy平面上的投影

我们知道

向量在xy平面上的投影

坐标就是(x y 0)

在z轴上的投影就是(0 0 z)

那么也就是说

我们把这个向量

逆时针旋转θ角

得到了(x′y′0)

那么现在我们整个旋转以后

得到的向量就是(x′y′ 0)

加上(0 0 z)

也就是说(x′y′z)

这个向量就是(x y z)绕着z轴

逆时针旋转θ角得到的向量

那么这个向量

它跟原来的关系

(x y z)的关系

就是这个矩阵给出来了

因为在这个特殊情况

实际上整个旋转

都是发生在xy平面上的

所以我们可以用

二维空间中的旋转矩阵来刻画

好 我们再看

如果旋转轴换了一个

旋转轴是y轴

那么情况是完全类似的

也就是说向量(x y z)

绕着y轴逆时针旋转θ角

那么这时候我们看到y没有动

实际上整个旋转就发生在

xz平面上

则那么旋转的矩阵是

我们看这四项呢

这个是整个关于xz平面上

旋转得到的

y轴这个是没有动

同样地

关于x轴为旋转轴

它的逆时针旋转θ角变换呢

我们就是把x坐标没有动

yz平面上发生的一个旋转

我们现在来考虑一般情况

一般情况呢

我们的旋转轴

就是R＾3中的任何一个向量

我们当然假设这个向量

是不等于0的

我们也假设这个向量

是个单位向量

那么现在我们的旋转是

绕着n这样一个向量所在的直线

以这个直线为旋转轴

然后沿着n的这个方向

逆时针旋转θ角

那么这时候旋转完了以后呢

我们把(x y z)就变成了

(x′y′z′)

那我们确切地来看一下

这个(x y z)

和(x′y′z′)的关系

那么从图上我们先看一下

这个是n

那么我们随便一个向量

它最后都能分解成

这一个n所在的方向上一个投影

另外在和n垂直的平面上

有个投影

那么我们把这个向量β

它这个投影逆时针旋转θ角度

它的投影我们叫β_Π

那么逆时针旋转θ角变成β′_Π

当我们算出了β′_Π以后呢

我们再跟β的这个投影相加

就是β经过θ旋转

也就是T（β）就等于β′_Π

再加上在n上的投影β_p

那么确切地来算一下这个T（β）

我们分几步来考虑

第一步为n为法向量

过原点的平面

它的方程就是n＾T β=0

也就是说

以n为法向量

也就是说

跟n垂直的所有向量

那么它们的内积就等于0

所以它的方程就是

a_1x+a_2y+a_3z=0

那我们把这个平面记作Π

好 那么再看β

在这个Π上的投影是

按照我们原来学过的投影β

在Π上的投影呢

就是在平面上的投影

实际上是β减去

它在这个n上的投影β

在n上的投影

我们原来都算过

是n乘n＾T乘上β

β把这个投影减去呢

剩下部分就是β在Π上的投影

那么投影向量

或者这个向量的坐标

我们写成(x_0 y_0 z_0)

下面我们再来算一下

n跟β_Π它们的外积叫v

那么这个向量我们看到

v这个向量

它应该还在Π这个平面上

因为这个平面上所有向量

就是跟n垂直的

那么v作为n跟β_Π的外积

它当然跟n垂直

所以还在平面上

v属于Π的平面

那我们看v这个向量的坐标

这个坐标

我们可以使用

按照外积的定义呢

它的坐标应该这样一个形式

确切地呢

我们可以把这个形式

写成一个矩阵乘向量的形式

这一块呢就是(x_0 y_0 z_0)

也就是说β_Π的坐标

那么这个矩阵呢

就是-a_3 a_2 这个是a_3

这个是-a_1 这个是-a_2

这个是a_1

剩下的地方都是0

那么我们可以看到

实际上n跟β_Π作外积

等于n跟β作外积

因为β在n上的分量投影

跟n作外积是0

所以实际上这个

我们可以写成这样的形式

换句话说

v也就等于n跟β_Π内积

所以我们现在可以写

v就等于0 -a_3 a_2

a_3 0 -a_1

-a_2 a_1 0乘上(x y z)

我们想做什么呢

我们就是说

随便给定一个向量(x y z)

一个坐标 一个向量

我们就能得到

通过这个向量在Π上的投影

跟n作外积得到的那个向量

实际上这样一个关系

是一个线性映射

把(x y z)映到了一个矩阵

乘上(x y z)

最后我们来看一下β_Π

v它们互相垂直

当然是平面上Π上的一个基

而且互相垂直的

所以一组正交基

那么β_Π呢

逆时针旋转θ角得到了β′_Π

那么这个向量

我们放在β_Π

和v做成的坐标系里面

我们可以很容易写出β_Π

是cosc倍的β_Π加上sinθv

这个是cosθβ_Π

如果确切地写出来

就是这样一个形式

或者我们写成矩阵乘上

向量的形式

最后我们可以算出β关于n

作为旋转轴逆时针旋转θ角

得到的β′

它是β_Π逆时针旋转θ角

再加上β在n上的投影

那么这样一个向量呢

我们可以写成cosθ+sinθ

乘上这样一个矩阵

而最后我们把它合在一起呢

看到β′实际上等于

这样一个矩阵乘上β

这样一个形式呢

我们最后可以把a

就写成这样一个形式

而这个形式

实际上不是特别难理解

我们可以看到

这块呢cosθ

这块是sinθ再乘上这个向量

这实际上就构成了投影部分

旋转θ角度得到的

那这个呢

而β投影部分呢

在n上投影的部分

跟在后面这一部分减去就得到的

我们把这个a确切地写出来

它是下面这样一个复杂的形式

我们来看旋转矩阵的一些性质

我们用R（n , θ）来表示

这个旋转矩阵

为了突出旋转轴n

和旋转角度θ

R（n , θ1）乘R（n , θ2）

就表示先把一个图象

逆时针旋转θ2角

再逆时针旋转θ1角

那么就等于直接

把这个图象旋转

逆时针旋转θ1+θ2角

把一个图象转了θ角以后

再转360度 那等于没有转

所以R（n , 2πk+θ）等于

R（n , θ1）

第三个

当我们沿着n的方向

顺时针旋转θ角

那么相当于逆时针旋转-θ角

或者呢

沿着n的反方向逆时针旋转θ角

这两个效果是一样的

它们都是R（n , θ）的逆

最后我们来看一下

R（n , θ）这个矩阵

它看上去很复杂

但是我们可以选择合适的坐标

重新来看它

就变得简单

换句话说

就是R（n ,θ）

可以相似到一个简单的矩阵

相似到我们前面说的关于z轴

x轴 y轴为旋转轴的矩阵

我们设平面Π

比如说a1x+a2y+a2z等于0

那么这个就是跟n垂直的平面

那么在这个平面上

我们取两个向量α1 α2

满足α1 α2 n是

R＾3的一组标准正交基

而且符合右手法则

那么用这三个向量

做成的矩阵是个正交阵

注意这个正交阵

最后一列是n

那么我们可以看到

因为这个矩阵最后一列是n

所以P乘上e3

p乘上e3 e3 0 0 1

就相当于取P的最后一列

所以P乘上e3就等于n

那么用这个矩阵作为可逆阵

来把R（n , θ）能相似到

一个R（e3 , θ）

那么R（e3 , θ）就是以z轴

为旋转轴

在xoy平面上逆时针旋转θ角

得到的矩阵

当然我们也可以把它相似到

关于x轴的向量轴的矩阵

这之间都互相通的

所以旋转矩阵呢

一般情况虽然复杂

但是实际上

我们可以选择合适的坐标系

也就是说以n为新的z轴

以n垂直的平面上

取定两个互相垂直的向量

所在的直线为x y

这样就得到了

在新坐标系下

这个矩阵就相似到

一个简单的矩阵

我们来说明一下

这个是为什么呢

那么我们可以看到

我们来验证一下R（n , θ）

乘上P就等于P乘上R（e3 , θ）

换句话说

就是R（n , θ）乘上α1

左边是第一列

等于右边的第一列

右边的第一列正好是

cosθα1加上sinθα2

就是我们要验证这个事实

我们还要验证第二列

R（n ,θ）乘上α2

左边的第二列等于右边的第二列

也就是说

用P的这三个向量

乘以R（e3 , θ）的第二列

就等于-sinθα1加上cosθα2

第三列呢

就是R（n , θ）乘上n

就等于n

那么这最后一条我们容易理解

因为R（n , θ）这个矩阵呢

它把旋转轴没有动

所以它把旋转轴利用完了以后

还是旋转轴

那我们来理解前面这两条

R（n , θ）乘上α1

和R（n , θ）乘上α2

也就是说

跟n垂直的平面上的两个向量

在R（n , θ）作用下

为什么会得到这两个

好 我们来算一下

我们看α1逆时针旋转θ角

就变成α1′

也就是等于R（n , θ）乘上α1

那么α′从这个图上可以看出

它是在α1上的投影是cosθα1

它在α2上的投影是sinθα2

那么α2

它的逆时针旋转θ角以后呢

得到α2′

它在α2上的投影就是cosθα2

它在α1上的投影是等于-sinθα1

所以它们都等于

它们这个投影的和

下面我们来看R（n , θ）相似到

因为R（n , θ）

能够相似到一个简单的形式

就是cosθ -sinθ

sinθ和cosθ

就是以z轴为旋转轴的

这样一个旋转矩阵

这个矩阵

它的特征值的特征向量

是容易计算的

它的特征值一个是1

另外两个就是

这个是二阶矩阵的特征值

分别是cosθ+isinθ

和cosθ-isinθ

这两个共轭的复数

那么相应地

这个矩阵的特征向量

我们也是可以算出来的

另一方面

我们可以看到这个旋转角度

实际上从这儿可以读出来

也就是说R（n , θ）

一旦它把矩阵给你了

我们通过这个矩阵的性质

推出旋转的角度

就是通过

我们来看一下

这个矩阵的对角线元素和

正好是2倍的cosθ+1

所以这个矩阵

和R（n , θ）的这个

对角线上的和是一样的

也都等于2倍的cosθ+1

由此呢

我们能够算出旋转的角度

就是一旦给定你旋转矩阵

我们能够通过

旋转矩阵的它的一些数量特征

算出这个旋转角度

也就是说

旋转角度就等于

R（n , θ）的对角线元素和

我们叫Tr

它减去1 除以2

那么旋转的轴

也可以通过旋转矩阵读出来

也就是说

是这个旋转矩阵的

关于特征值1的单位特征向量

最后我们看

一个旋转的

也可以使用奇次坐标形式

就是用(x y z 1)的形式

那么这时候这个矩阵

就从R（n , θ）

变成了R（n , θ）扩充了一节

变成这样一个形式