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好 现在我们来看
二维和三维空间中的旋转
在二维空间中旋转变换
这个我们大家都比较熟悉
就是把(x y)这个点
或者这个点
和原点连起来坐标的向量
逆时针旋转θ角
得到的新的点(x′y′)
那么它的坐标就是这样一个形式
任意点(x y)对应的向量
它的逆时针旋转θ角得到的向量
是(x′ y′)
我们可以从图上看一下就是
这个(x y)旋转θ角度以后呢
(x′y′)
就是这样一个形式
这个形式我们也可以从
复数的角度直接看出来
那么大家可以看到
原来这个(x y)对应的复数
实际上是x+iy
那么它旋转了θ角
等于给它乘上了e的iθ
所以就得到了新的复数
x′+iy′
那么我们确切地比较一下
两边的复数的实部和虚部
我们看到x′就是xcosθ-ysinθ
那我们看这个虚部
就是xsinθ+ycosθ
所以呢
如果从复数的角度来算
旋转以后得到的就比较容易
那么
我们要使用它的齐次坐标形式
那么对于二维空间的坐标(x y)
它的齐次坐标就给它补上一个1
也就变成了(x y 1)
这样一个形式
那么这时候我们也能用一个
三阶矩阵乘上(x y 1)
得到齐次
这个变换以后的齐次坐标形式
这是二维空间中的旋转
那么现在我们来看
三维空间中的一个旋转
我们看R＾3中的旋转呢
我们先看特殊情况
就是如果旋转轴是z轴
那么任何一个向量α
它绕着z轴逆时针旋转θ角度
它的意思就是说
先把α分解为两个向量(x y 0)
和(0 0 z)
那么(x y 0)实际上
就是(x y z)
在xy平面上的投影
我们知道
向量在xy平面上的投影
坐标就是(x y 0)
在z轴上的投影就是(0 0 z)
那么也就是说
我们把这个向量
逆时针旋转θ角
得到了(x′y′0)
那么现在我们整个旋转以后
得到的向量就是(x′y′ 0)
加上(0 0 z)
也就是说(x′y′z)
这个向量就是(x y z)绕着z轴
逆时针旋转θ角得到的向量
那么这个向量
它跟原来的关系
(x y z)的关系
就是这个矩阵给出来了
因为在这个特殊情况
实际上整个旋转
都是发生在xy平面上的
所以我们可以用
二维空间中的旋转矩阵来刻画
好 我们再看
如果旋转轴换了一个
旋转轴是y轴
那么情况是完全类似的
也就是说向量(x y z)
绕着y轴逆时针旋转θ角
那么这时候我们看到y没有动
实际上整个旋转就发生在
xz平面上
则那么旋转的矩阵是
我们看这四项呢
这个是整个关于xz平面上
旋转得到的
y轴这个是没有动
同样地
关于x轴为旋转轴
它的逆时针旋转θ角变换呢
我们就是把x坐标没有动
yz平面上发生的一个旋转
我们现在来考虑一般情况
一般情况呢
我们的旋转轴
就是R＾3中的任何一个向量
我们当然假设这个向量
是不等于0的
我们也假设这个向量
是个单位向量
那么现在我们的旋转是
绕着n这样一个向量所在的直线
以这个直线为旋转轴
然后沿着n的这个方向
逆时针旋转θ角
那么这时候旋转完了以后呢
我们把(x y z)就变成了
(x′y′z′)
那我们确切地来看一下
这个(x y z)
和(x′y′z′)的关系
那么从图上我们先看一下
这个是n
那么我们随便一个向量
它最后都能分解成
这一个n所在的方向上一个投影
另外在和n垂直的平面上
有个投影
那么我们把这个向量β
它这个投影逆时针旋转θ角度
它的投影我们叫β_Π
那么逆时针旋转θ角变成β′_Π
当我们算出了β′_Π以后呢
我们再跟β的这个投影相加
就是β经过θ旋转
也就是T（β）就等于β′_Π
再加上在n上的投影β_p
那么确切地来算一下这个T（β）
我们分几步来考虑
第一步为n为法向量
过原点的平面
它的方程就是n＾T β=0
也就是说
以n为法向量
也就是说
跟n垂直的所有向量
那么它们的内积就等于0
所以它的方程就是
a_1x+a_2y+a_3z=0
那我们把这个平面记作Π
好 那么再看β
在这个Π上的投影是
按照我们原来学过的投影β
在Π上的投影呢
就是在平面上的投影
实际上是β减去
它在这个n上的投影β
在n上的投影
我们原来都算过
是n乘n＾T乘上β
β把这个投影减去呢
剩下部分就是β在Π上的投影
那么投影向量
或者这个向量的坐标
我们写成(x_0 y_0 z_0)
下面我们再来算一下
n跟β_Π它们的外积叫v
那么这个向量我们看到
v这个向量
它应该还在Π这个平面上
因为这个平面上所有向量
就是跟n垂直的
那么v作为n跟β_Π的外积
它当然跟n垂直
所以还在平面上
v属于Π的平面
那我们看v这个向量的坐标
这个坐标
我们可以使用
按照外积的定义呢
它的坐标应该这样一个形式
确切地呢
我们可以把这个形式
写成一个矩阵乘向量的形式
这一块呢就是(x_0 y_0 z_0)
也就是说β_Π的坐标
那么这个矩阵呢
就是-a_3 a_2 这个是a_3
这个是-a_1 这个是-a_2
这个是a_1
剩下的地方都是0
那么我们可以看到
实际上n跟β_Π作外积
等于n跟β作外积
因为β在n上的分量投影
跟n作外积是0
所以实际上这个
我们可以写成这样的形式
换句话说
v也就等于n跟β_Π内积
所以我们现在可以写
v就等于0 -a_3 a_2
a_3 0 -a_1
-a_2 a_1 0乘上(x y z)
我们想做什么呢
我们就是说
随便给定一个向量(x y z)
一个坐标 一个向量
我们就能得到
通过这个向量在Π上的投影
跟n作外积得到的那个向量
实际上这样一个关系
是一个线性映射
把(x y z)映到了一个矩阵
乘上(x y z)
最后我们来看一下β_Π
v它们互相垂直
当然是平面上Π上的一个基
而且互相垂直的
所以一组正交基
那么β_Π呢
逆时针旋转θ角得到了β′_Π
那么这个向量
我们放在β_Π
和v做成的坐标系里面
我们可以很容易写出β_Π
是cosc倍的β_Π加上sinθv
这个是cosθβ_Π
如果确切地写出来
就是这样一个形式
或者我们写成矩阵乘上
向量的形式
最后我们可以算出β关于n
作为旋转轴逆时针旋转θ角
得到的β′
它是β_Π逆时针旋转θ角
再加上β在n上的投影
那么这样一个向量呢
我们可以写成cosθ+sinθ
乘上这样一个矩阵
而最后我们把它合在一起呢
看到β′实际上等于
这样一个矩阵乘上β
这样一个形式呢
我们最后可以把a
就写成这样一个形式
而这个形式
实际上不是特别难理解
我们可以看到
这块呢cosθ
这块是sinθ再乘上这个向量
这实际上就构成了投影部分
旋转θ角度得到的
那这个呢
而β投影部分呢
在n上投影的部分
跟在后面这一部分减去就得到的
我们把这个a确切地写出来
它是下面这样一个复杂的形式
我们来看旋转矩阵的一些性质
我们用R（n , θ）来表示
这个旋转矩阵
为了突出旋转轴n
和旋转角度θ
R（n , θ1）乘R（n , θ2）
就表示先把一个图象
逆时针旋转θ2角
再逆时针旋转θ1角
那么就等于直接
把这个图象旋转
逆时针旋转θ1+θ2角
把一个图象转了θ角以后
再转360度 那等于没有转
所以R（n , 2πk+θ）等于
R（n , θ1）
第三个
当我们沿着n的方向
顺时针旋转θ角
那么相当于逆时针旋转-θ角
或者呢
沿着n的反方向逆时针旋转θ角
这两个效果是一样的
它们都是R（n , θ）的逆
最后我们来看一下
R（n , θ）这个矩阵
它看上去很复杂
但是我们可以选择合适的坐标
重新来看它
就变得简单
换句话说
就是R（n ,θ）
可以相似到一个简单的矩阵
相似到我们前面说的关于z轴
x轴 y轴为旋转轴的矩阵
我们设平面Π
比如说a1x+a2y+a2z等于0
那么这个就是跟n垂直的平面
那么在这个平面上
我们取两个向量α1 α2
满足α1 α2 n是
R＾3的一组标准正交基
而且符合右手法则
那么用这三个向量
做成的矩阵是个正交阵
注意这个正交阵
最后一列是n
那么我们可以看到
因为这个矩阵最后一列是n
所以P乘上e3
p乘上e3 e3 0 0 1
就相当于取P的最后一列
所以P乘上e3就等于n
那么用这个矩阵作为可逆阵
来把R（n , θ）能相似到
一个R（e3 , θ）
那么R（e3 , θ）就是以z轴
为旋转轴
在xoy平面上逆时针旋转θ角
得到的矩阵
当然我们也可以把它相似到
关于x轴的向量轴的矩阵
这之间都互相通的
所以旋转矩阵呢
一般情况虽然复杂
但是实际上
我们可以选择合适的坐标系
也就是说以n为新的z轴
以n垂直的平面上
取定两个互相垂直的向量
所在的直线为x y
这样就得到了
在新坐标系下
这个矩阵就相似到
一个简单的矩阵
我们来说明一下
这个是为什么呢
那么我们可以看到
我们来验证一下R（n , θ）
乘上P就等于P乘上R（e3 , θ）
换句话说
就是R（n , θ）乘上α1
左边是第一列
等于右边的第一列
右边的第一列正好是
cosθα1加上sinθα2
就是我们要验证这个事实
我们还要验证第二列
R（n ,θ）乘上α2
左边的第二列等于右边的第二列
也就是说
用P的这三个向量
乘以R（e3 , θ）的第二列
就等于-sinθα1加上cosθα2
第三列呢
就是R（n , θ）乘上n
就等于n
那么这最后一条我们容易理解
因为R（n , θ）这个矩阵呢
它把旋转轴没有动
所以它把旋转轴利用完了以后
还是旋转轴
那我们来理解前面这两条
R（n , θ）乘上α1
和R（n , θ）乘上α2
也就是说
跟n垂直的平面上的两个向量
在R（n , θ）作用下
为什么会得到这两个
好 我们来算一下
我们看α1逆时针旋转θ角
就变成α1′
也就是等于R（n , θ）乘上α1
那么α′从这个图上可以看出
它是在α1上的投影是cosθα1
它在α2上的投影是sinθα2
那么α2
它的逆时针旋转θ角以后呢
得到α2′
它在α2上的投影就是cosθα2
它在α1上的投影是等于-sinθα1
所以它们都等于
它们这个投影的和
下面我们来看R（n , θ）相似到
因为R（n , θ）
能够相似到一个简单的形式
就是cosθ -sinθ
sinθ和cosθ
就是以z轴为旋转轴的
这样一个旋转矩阵
这个矩阵
它的特征值的特征向量
是容易计算的
它的特征值一个是1
另外两个就是
这个是二阶矩阵的特征值
分别是cosθ+isinθ
和cosθ-isinθ
这两个共轭的复数
那么相应地
这个矩阵的特征向量
我们也是可以算出来的
另一方面
我们可以看到这个旋转角度
实际上从这儿可以读出来
也就是说R（n , θ）
一旦它把矩阵给你了
我们通过这个矩阵的性质
推出旋转的角度
就是通过
我们来看一下
这个矩阵的对角线元素和
正好是2倍的cosθ+1
所以这个矩阵
和R（n , θ）的这个
对角线上的和是一样的
也都等于2倍的cosθ+1
由此呢
我们能够算出旋转的角度
就是一旦给定你旋转矩阵
我们能够通过
旋转矩阵的它的一些数量特征
算出这个旋转角度
也就是说
旋转角度就等于
R（n , θ）的对角线元素和
我们叫Tr
它减去1 除以2
那么旋转的轴
也可以通过旋转矩阵读出来
也就是说
是这个旋转矩阵的
关于特征值1的单位特征向量
最后我们看
一个旋转的
也可以使用奇次坐标形式
就是用(x y z 1)的形式
那么这时候这个矩阵
就从R（n , θ）
变成了R（n , θ）扩充了一节
变成这样一个形式
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
