1.9* 惯性定理的证明在线视频

那这一小节我们来看一下

这个优美的惯性定理的证明

也就是说在合同变换下

一个矩阵的特征值的符号

是保持不变的

而我们从一个实对称矩阵A出发

我们假设它的正特征值

负特征值和0特征值的数目

分别记成是p j s

那么我们有一个断言

我们说A一定合同于

下面这个对角矩阵

这个对角矩阵在对角线上

是有p个1 j个-1

还有s个0给构成的

这样的一个对角矩阵

那这是为什么呢

我们说这个实对称矩阵

假设它的所有特征值

我们来作一下记号

我们记成Lambda 1到Lambda p

这是p个正特征值

然后是j个负特征值

我们记成是负的Lambda p+1

一直到负的p+j

然后还有s个0

那其中这些记号Lambda i都是大于0的

对于实对称矩阵

我们一定存在着正交阵

使得它正交合同于对角阵

对角线上的元素

就是我们的这些个特征值

好

这样我们希望再去找一个矩阵

使得这个对角的矩阵

进一步合同于

我们给出来的这个E这个矩阵

那么怎么做呢

我们直接在这里来写

我们说它左手边去乘以

我们记成根号Lambda 这些正的部分

然后这个地方呢

是负的这些 叫Lambda一撇吧

不是很好的记号

给大家说一下意思

好 那最下面这部分我们用1

右手边我也乘以这个矩阵

因为是对角矩阵

所以它们是互为转置的

好左手边去乘以这个对角矩阵

右手边乘以

这个相同的对角矩阵以后

那我们这个矩阵

就变成了上面的这个矩阵E

我们把这个对角矩阵

叫做是D矩阵

我们把这个Q和D的乘积

合在一起叫做P矩阵

这是我们D刚才的定义

好 这样的话就使得

P的转置乘以AP

等于我们刚才给出来的E矩阵

这样相当于给出来

A这个实对称矩阵

它的标准的对角阵的样子

我们断言就证明了

好 那么假设一个实对称矩阵

B它的正特征值 负特征值

0特征值的数目分别是q k t

于是根据刚才的结论

我们说B这个矩阵

它合同于这样的一个对角阵

对角线上分别有q个1

k个-1 t个0

我们把这个矩阵叫做是F矩阵

那如果实对称矩阵

A和B合同的

我们根据合同的这个性质

我们知道

它们相应的F和E也是合同的

因为B和F合同 A和E合同

所以F和E也合同

合同是保持矩阵的秩的

所以F的秩和E的秩是相等的

F和E分别是两个对角矩阵

那么它的0特征值的数目s和t

分别也是相等的

那么下面我们来证p和q相等

也就是正特征值的数目相等

已经证明了秩相等

证明了0特征值的数目相等

证明它正特征值数目相等

那用反证法

假设p是大于q的

我们把F和E合同这件事情

来描述成存在着一个矩阵K

K的转置乘以E

再乘以K等于F

这是说F和E是合同

我们把K去分块

我们分成前面的q列

和后面的n-q列分别记成是

G和H这样的两个矩阵

其中这个K这个矩阵

它是一个非退化的矩阵

我们把后面的n-q列

作出来的H这个矩阵

它的列空间我叫是M

那它是空间Rn里头的一个子空间

它是H的列空间

我们把这个e1到ep

也就是1 0 0 0

在p的位置上是1

其他位置上都是0的

这样的n维的向量

它线性扩张出来的这个子空间

我们叫做是N

好 我们有两个特别的子空间

那我们说

这两个子空间的交集的维数

根据上学期的内容我们说

它等于它们分别维数的和

再减去这两个子空间和的维数

这是上学期学的一个公式

那么M的维数呢

因为它表示的是列空间

然后它是n-q

就是它的列向量的数目

因为k是非退化的

所以它的列向量是线性无关的

那么n-q个列向量是线性无关

所以这个H的列空间的维数是n-q

N的维数就是p

它是有p个这种标准的向量

所张出来的子空间

它的维数是p

那么M+N的维数

我们仍然照抄下来

不管怎么说这个M+N

它是长在Rn里头的

所以它的维数一定比这个n

要来得小

所以n减掉M+N的维数

是大于等于0的

于是我们这个就可以放成是

p-q 大于等于p-q

那么假设p是大于q的

所以这个数呢

p-q这个差是大于0的

既然p-q大于0

也就是说这两个子空间

M交N的维数大于0

那我就可以找到子空间

M交N里头的一个非零的向量

一方面呢

这个非零向量是长在M里头的

所以它可以写成

H的列向量的线性组合

我们就存在着这个Y

使得X等于HY

也就是K这个矩阵

然后去乘以在后n-q个记成Y

前面的这个q个我们记成0

可以用K矩阵来表示

那X写成K去乘以0 y这种样子

于是X的转置和EX去相乘

把X的表达式代入进来

那利用刚才我们说

F是等于K的转置去乘以E

再去乘以K的

那我们就有这件事情

由此F这个矩阵

它在中间的部分

它是有K个-1

正好对应着这个Y的部分

所以它这个是小于等于0

那另一方面呢

X又长在N这个子空间里头

所以X是e1到ep的一个线性组合

我们可以把它的分量

记成x1 xp

后n-p个都是0

于是这样的向量X

它的转置去乘以E 乘以X

就一定是一个大于0的数

因为X是一个非零向量

E它在前p个位置上是正1

因此这是大于0的一个数

这样一方面X转置EX小于等于0

一方面X转置EX大于0

这就产生了矛盾

所以我们之前的假设

p大于q是不对的

那么同样地

我们可以证明p小于q也不可能

因此我们一定有p等于q

也就是说

如果两个矩阵A和B是合同的话

A和B有相同数目的正特征值

和零特征值

那么相应的负特征值的数目

也是相同的

这样我们就证明了惯性定理

我们再来看一种证法

我们不妨假设A是一个非奇异的

也就是说是可逆的

如果不是这样的话

我们来讨论A加上Epsilon I， Epsilon

是一个正数

使得变成一个非奇异矩阵

那我们来讨论一个新的矩阵

这个X（t）

带着一个参数t

t是从0到1的一个数

它定义是tQ加上1-t QR

其中这个QR

是C这个矩阵的QR分解

C是我们的非退化矩阵

好 这样对于任意的

0到1中的数t

这个矩阵它总可以写成

把Q给提出来

tI加上1-t R

这是一个非奇异的矩阵

那这是因为一方面

这个Q是一个正交矩阵

它是可逆的

另一方面呢tI加上（1-t）R

它是一个对角元

是正数的一个上三角阵

因为R是一个上三角阵

对角线上都是正数

这是我们QR分解里头的性质

所以这个新的tI加上（1-t）R

它是对角元为正的上三角矩阵

那么它是一个可逆矩阵

两个可逆矩阵的乘积

仍然是可逆矩阵

那我可以用它来做过渡矩阵

X的转置去乘以A再去乘以X

做出来的新的矩阵

它对于任意的t

在0和1里面变的话也是非奇异的

因为每一个都是非奇异的矩阵

我们非奇异就是可逆

而可逆矩阵的乘积还是可逆

好 而那个特征值呢

它是关于矩阵分量的连续函数

所以Y这个矩阵

Y（t）这个矩阵

它每一个特征值

当t从0变到1的时候都不会变号

因为你可逆矩阵

特征值都是非零的

又因为是矩阵分量连续函数

所以每个特征值它不会变号

因此当t等于0的时候

和t等于1的时候

Y0和Y1它的特征值的符号

是相同的

Y0它就是C转置AC

Y1是Q转置AQ

它们俩有相同数目的正特征值

和负特征值

而矩阵A与其相似的这个矩阵Y1

有相同的特征值

所以这个矩阵A

也就与矩阵C转置AC

有相同数目的正特征值

和负特征值

这样我们就证明了

矩阵A和它合同的这个矩阵

C转置AC有相同数目的正特征值

和负特征值