9.4 正矩阵（第二部分）慕课视频播放-线性代数(2)-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

好下面我们来看

正矩阵的一个应用

1973年这个人

他获得了诺贝尔奖

那么他构造了一个输入输出模型

我们用个简单例子

来说明这个模型

假设有两个产业木材和电力

生产单位电需要0.4单位的电

和0.2单位的木材

生产单位木材需要0.2单位的电

和0.1单位的木材

我们可以用下面这个图来表示

那么这个图

可以提出一个矩阵

这个矩阵我们叫消耗矩阵

使用这个消耗矩阵呢

我们可以确切地计算

我们生产电和木材所需要的成本

我们设P等于x1 x2

也就是说我们希望

现在我们要生产出x1单位的电

和x2单位的木材

那么我们用A去乘上这个P

是什么意思呢

生产x1单位的电

需要0.4x1单位的电

生产x2单位的木材

需要0.2单位的x2单位的电

所以0.4x1+0.2x2

就表示生产这些电和这些木材

总共需要的电量

那么第二个呢

就是生产这些东西需要的木材

需要多少单位的木材

那么这整个就告诉我们

A乘P告诉我们

我们生产这些电和木材

所需要的成本

所以我们把AP叫成本向量

那么P-AP这样一个向量

就是结余

就是生产电和木材

去掉成本以后真正的结余的

那么我们希望这个结余

跟市场的需求是一样的

就是说d等于d1 d2

表示市场对电的需求是d1单位

对木材的需求为d2单位

如果I-A乘P等于d

那就表示结余和需求是一样的

这是理想状态

那么现在我们希望通过

这个矩阵A和市场的需求

我们来推出我们这个产量的

这个向量

应该生产多少电和木材

才能保证结余和需求一样

那么大家看如果I-A是可逆的

那么P就等于I-A的逆乘上d

当然我们还需要P是大于等于0的

我们为了刻画

A满足什么条件的时候

我们能得到这样一个P

也就得到一个P是大于等于0

而且I-A可逆

我们说A是有效率的

也就是说如果I-A是可逆的

而且I-A是个正矩阵

我们就说A是有效率的

我们来看一下A

在什么时候是有效率的

如果A是个n阶正矩阵

且A的每行元素它的和是小于1的

那么则A是有效率的

我们看我们刚才这个矩阵

是0.4 0.2 0.2 0.1

这样一个矩阵呢

它的每一行元素之和

都是小于1的

所以按照这个定理

我们刚才那个例子A是有效率的

我们来证明这个定理

我们来考虑所有分量都是1的

这样一个列向量

我们可以看到Ax是小于x的

因为A乘上x的每一个分量

就是A的每行元素之和

但是每行元素之和是小于1的

所以Ax小于x

这样我们就可以找到一个ε

足够小的一个正数

这个正数是用1-ε

Ax还是小于这个

这样我们递归的

两边不断地左乘A

最后我们可以看到

A的n次方x小于1-ε的n次方x

那么这个右边我们看到

它是趋于0的趋于0

这个趋于0告诉我们

A的n次方x它的极限就是0

因为x呢 An乘x

实际上是An的每一行分量之和

而A是正矩阵

A的x次方每一行的分量之和

都是正数和

它趋于0表示An本身它的极限

就是等于0的

另一方面

我们看A是正矩阵

所以存在着α是大于0的

刚才我们那个定理

正矩阵定理

就是关于ρ（A）

有一个正的特征向量

那么从这个看出呢

A是正特征向量

那么A的n次方α等于ρ（A）次方nα

但是刚才我们看到

上面已经看到A的n次方

是趋于0的

所以我们可以看到ρ（A）

它的n次方也必须趋于0

也就是ρ（A）这个正数

它的长度小于1

我们刚才已经说过

如果A的长度

或者A的特征值的最大长度

是小于1的

那么A呢它的n次方面的极限

就趋于0

那么我们现在是

根据这个倒过来推

如果A的n次方极限趋于0

那么ρ（A）就小于1

那么这时候我们就可以把I-A

它的特征值就不会等于0

为什么呢因为I-A的特征值

就实际上是1-ρ（A）

作为它的上界

所以它不会等于0

因为它要等于0的话

A肯定有个特征值取到1

当A的特征值的最大长度小于1

所以这个特征值均不等于0

所以I-A就可逆

那么我们的这个技巧

是把I-A的逆展开看一下

那么实际上大家可以看到

I-A的逆实际上也是一个正矩阵

I-A的逆是一个正矩阵

如果I-A的逆是正矩阵的话

那么我们看到I-A的逆乘上d

d是大于等于0

所以我们这样推出了产量向量P

就是大于等于0的

所以我们那个例子中呢

我们看到这个矩阵

它是一个有效率矩阵

从而能够得到确切的产量向量

线性代数(2)课程列表：

第一讲：正定矩阵

-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件

-1.2 典型例题

-1.3 半正定矩阵及其判别条件

-1.4 二次型

-1.5* 有心二次曲线(central conic)

--1.5* 有心二次曲线(central conic)

-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面

--1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面

-1.7 二次型的分类

--1.7 二次型的分类

-1.8 矩阵的合同

--1.8 矩阵的合同

-1.9* 惯性定理的证明

--1.9* 惯性定理的证明

-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号

--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号

-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用

--1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用

-第一讲讲义

-第一讲：正定矩阵--课后习题

第二讲：相似矩阵

-2.1 引言

-2.2 相似矩阵的性质

-2.3 Jordan标准形

-2.4 定理的证明

-2.5 Jordan标准形的应用

-第二讲：相似矩阵--课后习题

第三讲：奇异值分解

-3.1 引言

--3.1 引言

-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

-3.3 例题

--3.3 例题

-3.4 奇异值分解的应用

--3.4 奇异值分解的应用

-第三讲讲义

-第三讲：奇异值分解--课后习题

第四讲：线性变换 I

-4.1 线性变换的定义和性质

-4.2 线性变换的运算

-4.3 线性变换的矩阵表示

-4.4 线性变换与矩阵之间的关系

-第四讲：线性变换 I--课后习题

第五讲：线性变换 II

-5.1 恒同变换与基变换

-5.2 图像压缩——基变换的应用

-5.3 线性变换在不同基下的矩阵

-5.4 矩阵分解与基变换

-5.5 线性变换的核与像

-5.6 不变子空间

-5.7* 幂零变换

-5.8* Jordan标准形

-第五讲：线性变换 II--课后习题

第六讲：伪逆

-6.1 伪逆

--6.1 伪逆

-6.2 Moore – Penrose 伪逆

--6.2 Moore – Penrose 伪逆

-6.3 最小二乘法

--6.3 最小二乘法

-第六讲讲义

-第六讲：伪逆--课后习题

第七讲：工程中的矩阵

-7.1 简介

-7.2 弹簧模型

-7.3 变量的线性关系

-7.4 刚度矩阵

-7.5 从离散到连续

-第七讲：工程中的矩阵--课后习题

第八讲：图与网络

-8.1 简介

--8.1 简介

-8.2 图和矩阵

--8.2 图和矩阵

-8.3 网络和加权Laplacian矩阵

--8.3 网络和加权Laplacian矩阵

-8.4 关联矩阵的四个基本子空间

--8.4 关联矩阵的四个基本子空间

-8.5 注记

--8.5 注记

-第八讲讲义

-第八讲：图与网络--课后习题

第九讲：Markov矩阵和正矩阵

-9.1 问题引入

-9.2 Markov矩阵

-9.3 正Markov矩阵

-9.4 正矩阵

-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题

第十讲：Fourier级数

-10.1 引言

-10.2 内积空间

-10.3 傅里叶级数

-10.4 投影

-10.5 关于Fourier变换的注记

--10.5 关于Fourier变换的注记

-第十讲讲义

-第十讲：Fourier级数--课后习题

第十一讲：计算机图像

-11.1 引言

-11.2 平移

-11.3 伸缩

-11.4 旋转

-11.5 投影和反射

-第十一讲：计算机图像--课后习题

第十二讲：复数与复矩阵

-12.1 引言

-12.2 复矩阵

-12.3 复正规阵

-12.4 离散Fourier变换

-12.5 快速Fourier变换

-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题

结课寄语

-结课寄语

--结课寄语

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