当前课程知识点：线性代数(2) > 第一讲：正定矩阵 > 1.2 典型例题 > 1.2 典型例题
接下来我们看几道例题
首先我们利用刚才的等价条件
来看这样的一个给定矩阵
它是否正定
那这个矩阵是一个实对称矩阵
-1 2 -1矩阵
我们来看它的顺序主子式
那它的一阶顺序主子式是左上角
这个一阶的这个矩阵的行列式
它的一阶顺序主子式是2 大于0
它的二阶的顺序主子式是
2 -1 -1 2这个矩阵的行列式
等于3 是大于0
那它三阶顺序主子式
就是这个矩阵自己的行列式
是等于4 大于0
好
它所有的顺序主子式都是正的
因此这个矩阵是正定的
对于这个三阶矩阵而言
这个方法很简单
我们再来看
对这个矩阵作高斯消元法
我们用
第一行第一列的这个元素2
来消它下方的元素
那么再利用3/2这个元素
来消它下方的元素
于是我们得到了
这个A矩阵的三个主元
2 3/2 4/3都是大于0的
所以这个A是正定的
那对于高阶矩阵而言
用消元法来求主元是简单的
那我们来具体地计算一下
这个矩阵的特征值
-1 2 -1矩阵
A减掉Lambda i的行列式
这个行列式具体算下来是
2-Lambda 2-Lambda的平方再减掉2
然后我们可以求出来它的特征值
Lambda1等于2是一个正数
从这里头可以得到
Lambda2等于2加根2
和Lambda3等于2减根2 这是正的
好 它的三个特征值都是正的
所以A是一个正定矩阵
那大家再具体来求
这个特征多项式的时候
我们知道
这个特征值的计算是最烦琐的
我们来看看XTAX是什么东西
来具体地乘一下XTAX
乘出来是2x1的平方
减掉2倍的x1x2
加上2倍的x2的平方
再减掉2倍的x2x3加上2x3的平方
那么这是一个二次齐次多项式
它的每项都是二次的
我们叫齐次
二次齐次多项式
关于x1 x2 x3的二次齐次多项式
那我们可以对它来进行配方
我们可以把它变成
2倍的x1减掉1/2x2的平方
再加上3/2x2减掉2/3x3的平方
再加上4/3x3的平方
那这是用初等数学
可以做到这一点
我们说如果x是个非零向量
也就是说x1 x2 x3
它这三个分量不全为0
那么这三项平方和
一定不全为0 是大于0的
我们可以得到这件事情
于是我们就有
对于任意非零向量x
有x的转置乘以A
再乘以X是大于0的
我们也可以判断A是正定的
这是用配方的办法来看
那我们再来试试看分解
A等于RTR
我们说我们可以有这样的分解
那分解出来
你总是可以去验证
我们来强调
通过这个例子来强调
这时候R不见得是一个方阵
那我们给的例子就是
R是一个4乘3的矩阵
那么R的转置就是3乘4的矩阵
那么它的乘积可以得到
我们原来的矩阵A
我们很容易看到
对于这个4乘3的矩阵R而言
它的列是无关的
它是一个列满秩矩阵
那么如果我们有了这样的分解
也可以根据刚才的等价条件
来判定A是正定矩阵
那由A的LDLT分解
我们来可以得到
A等于R的转置乘以R
A的LDLT分解
我们上学期曾经做过
是它高斯消元的一个过程
好 我们直接把答案给出来
大家可以去验证
这是我们的LDLT
L是一个下三角矩阵
对角线上都是1
D这个矩阵呢
它的对角线上是A的主元
都是正数
从这里头可以看得到
好 那我们就把刚才的这个
D这个矩阵给开平方
写成根下D 乘以根下D
也就是对角线上是根下2
根下3/2 根下4/3
这样的一个对角矩阵
那我们就可以写出来
A等于RT乘以R
好 有了这种形式的分解之后
我们又注意到说
R这个矩阵是根下D
乘以L的转置
是这样的一个上三角矩阵
或者我们就单独地看
它的每一个因子都是可逆矩阵
乘积就是可逆矩阵
总归
你把A给分解成可逆矩阵R
左乘上它的转置矩阵
这样的形式
我们可以断言A是一个正定矩阵
我们再来看一下另外一种
把A写成R转置乘以R的方式
也就是来利用实对阵矩阵
正交相似于对角阵
也就是说我们对A
总存在着正交矩阵Q
使得它写成QLambdaQT
那其中的这个Lambda是它
以特征值为对角元的对角阵
那我们的Q
它的每一列是相应特征值
所对应的单位特征向量
有了这种表达之后
因为这个特征值
我们其实已经看出来
它都是正数
所以我可以对它来做开平方
我们把Lambda矩阵
写成根下Lambda去乘以根下Lambda
然后把根下Lambda乘以Q的转置
叫成是R
于是我们又有了
A写成R的转置乘以R的表示形式
其中R这个矩阵
它是一个可逆矩阵
于是我们也可以断言
A是正定矩阵
那当然我们在计算的过程中
你可以看到
求A的特征值的过程很麻烦
你去求它相应特征向量的过程
也很麻烦
所以这个第7种方法是最麻烦的
只是我希望展示给大家
一个实对阵是正定矩阵
我们可以通过不同的方式
来证明它
接下来我们通过几道例题
来看一下正定矩阵的性质
假设A和B都是正定矩阵
我们证明
它们的和仍然是正定矩阵
而这个呢
利用我们的第二条定义
说如果A是一个正定矩阵
B是一个正定矩阵的话
我们对于任何的非零向量X
X转置AX是一个正数
X转置BX也是一个正数
那么我们就会有
X转置去乘以A+B再乘以X
它等于X转置AX
再加上X转置BX
这个是正数 这个是正数
和也是正数
那我就有对于矩阵A+B而言
任意的非零向量X
X的转置去乘以这个矩阵
再去乘以X是大于0的
那么我们说A+B这个矩阵
是正定矩阵
当然我们一开头要说
A和B是实对称矩阵
和也是实对称矩阵
然后我们再来判断这些情况
正定矩阵的概念
是基于实对称矩阵上面的
如果A是一个正定矩阵
我们一定会存在着一个矩阵C
使得A写成C的平方
那这个和正数一样
我们任何一个正数
也可以给它求平方根
我们正定矩阵它是在矩阵里头
正数的一个代替物
它也有平方根
我们来看一下是为什么这样
我们来利用A是正定矩阵
我们就可以存在着正交矩阵Q
使得A可以写成QLambdaQ的转置
这几条性质呢
是实对称矩阵的性质
特别的对于正定矩阵而言
Lambda这个矩阵它是对角元
为特征值的一个对角矩阵
那正定矩阵对角元都是正数
我们可以把Lambda写成根下Lambda
乘以根下Lambda
这是正定保证了
我们再把根下Lambda
根下Lambda之间塞上Q的转置乘以Q
因为Q是一个正交矩阵
所以Q的转置乘以Q等于单位阵
翻上去不影响结果
但是我们这样
利用矩阵乘积的结合率
把后面这三个因子结合在一起
我们叫做是C
我们发面前面的也是C
这样就把A写成了C的平方
正定矩阵有平方根
我们再来看
对于一个正定矩阵A而言
它的平方和它的逆矩阵
也是正定的
我们要来说明这一点来利用
这个首先A是实对称的
那么A的平方和A的逆矩阵
也是实对称的矩阵
那对于正定矩阵A而言
它的任意特征值都是正数
所以A平方它的特征值
是Lambda的平方 也是正数
A的逆矩阵它的特征值
是Lambda分之一 也是正数
好 这两个矩阵
它的所有特征值都是正数
因此它们也是正定矩阵
接下来是说
如果一个矩阵A是正定的
C这个矩阵是可逆的
我们来看C的转置乘以A
再乘以C这个矩阵
我们叫做是B矩阵
我们说这个矩阵也是正定的
我们通过这个性质来看
说A这个矩阵如果是正定的话
我们来看非零向量X
我们一定有X的转置AX大于0
那么对于新的这个矩阵B
我们来看XT再乘以B
再乘以X
那把B等于C转置乘以A
再乘以C给代进去
我们把CX叫做是y向量
因为C是一个可逆矩阵
X是一个非零向量
因此CX这个新的向量y
也是一个非零向量
而A是一个正定矩阵
对于非零向量y而言
y的转置乘以A
再乘以y是一个大于0的
那从任意的非零向量X转置BX
一定大于0
我们就可以断言说
B这个矩阵是正定矩阵
我们将来会把
存在一个可逆矩阵C
C的转置乘以A乘以C
这样的矩阵叫做是跟A合同
那这条性质就变成
A如果是正定矩阵的话
跟它合同的矩阵B也是正定矩阵
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
