1.2 典型例题在线视频

接下来我们看几道例题

首先我们利用刚才的等价条件

来看这样的一个给定矩阵

它是否正定

那这个矩阵是一个实对称矩阵

-1 2 -1矩阵

我们来看它的顺序主子式

那它的一阶顺序主子式是左上角

这个一阶的这个矩阵的行列式

它的一阶顺序主子式是2 大于0

它的二阶的顺序主子式是

2 -1 -1 2这个矩阵的行列式

等于3 是大于0

那它三阶顺序主子式

就是这个矩阵自己的行列式

是等于4 大于0

好

它所有的顺序主子式都是正的

因此这个矩阵是正定的

对于这个三阶矩阵而言

这个方法很简单

我们再来看

对这个矩阵作高斯消元法

我们用

第一行第一列的这个元素2

来消它下方的元素

那么再利用3/2这个元素

来消它下方的元素

于是我们得到了

这个A矩阵的三个主元

2 3/2 4/3都是大于0的

所以这个A是正定的

那对于高阶矩阵而言

用消元法来求主元是简单的

那我们来具体地计算一下

这个矩阵的特征值

-1 2 -1矩阵

A减掉Lambda i的行列式

这个行列式具体算下来是

2-Lambda 2-Lambda的平方再减掉2

然后我们可以求出来它的特征值

Lambda1等于2是一个正数

从这里头可以得到

Lambda2等于2加根2

和Lambda3等于2减根2 这是正的

好 它的三个特征值都是正的

所以A是一个正定矩阵

那大家再具体来求

这个特征多项式的时候

我们知道

这个特征值的计算是最烦琐的

我们来看看XTAX是什么东西

来具体地乘一下XTAX

乘出来是2x1的平方

减掉2倍的x1x2

加上2倍的x2的平方

再减掉2倍的x2x3加上2x3的平方

那么这是一个二次齐次多项式

它的每项都是二次的

我们叫齐次

二次齐次多项式

关于x1 x2 x3的二次齐次多项式

那我们可以对它来进行配方

我们可以把它变成

2倍的x1减掉1/2x2的平方

再加上3/2x2减掉2/3x3的平方

再加上4/3x3的平方

那这是用初等数学

可以做到这一点

我们说如果x是个非零向量

也就是说x1 x2 x3

它这三个分量不全为0

那么这三项平方和

一定不全为0 是大于0的

我们可以得到这件事情

于是我们就有

对于任意非零向量x

有x的转置乘以A

再乘以X是大于0的

我们也可以判断A是正定的

这是用配方的办法来看

那我们再来试试看分解

A等于RTR

我们说我们可以有这样的分解

那分解出来

你总是可以去验证

我们来强调

通过这个例子来强调

这时候R不见得是一个方阵

那我们给的例子就是

R是一个4乘3的矩阵

那么R的转置就是3乘4的矩阵

那么它的乘积可以得到

我们原来的矩阵A

我们很容易看到

对于这个4乘3的矩阵R而言

它的列是无关的

它是一个列满秩矩阵

那么如果我们有了这样的分解

也可以根据刚才的等价条件

来判定A是正定矩阵

那由A的LDLT分解

我们来可以得到

A等于R的转置乘以R

A的LDLT分解

我们上学期曾经做过

是它高斯消元的一个过程

好 我们直接把答案给出来

大家可以去验证

这是我们的LDLT

L是一个下三角矩阵

对角线上都是1

D这个矩阵呢

它的对角线上是A的主元

都是正数

从这里头可以看得到

好 那我们就把刚才的这个

D这个矩阵给开平方

写成根下D 乘以根下D

也就是对角线上是根下2

根下3/2 根下4/3

这样的一个对角矩阵

那我们就可以写出来

A等于RT乘以R

好 有了这种形式的分解之后

我们又注意到说

R这个矩阵是根下D

乘以L的转置

是这样的一个上三角矩阵

或者我们就单独地看

它的每一个因子都是可逆矩阵

乘积就是可逆矩阵

总归

你把A给分解成可逆矩阵R

左乘上它的转置矩阵

这样的形式

我们可以断言A是一个正定矩阵

我们再来看一下另外一种

把A写成R转置乘以R的方式

也就是来利用实对阵矩阵

正交相似于对角阵

也就是说我们对A

总存在着正交矩阵Q

使得它写成QLambdaQT

那其中的这个Lambda是它

以特征值为对角元的对角阵

那我们的Q

它的每一列是相应特征值

所对应的单位特征向量

有了这种表达之后

因为这个特征值

我们其实已经看出来

它都是正数

所以我可以对它来做开平方

我们把Lambda矩阵

写成根下Lambda去乘以根下Lambda

然后把根下Lambda乘以Q的转置

叫成是R

于是我们又有了

A写成R的转置乘以R的表示形式

其中R这个矩阵

它是一个可逆矩阵

于是我们也可以断言

A是正定矩阵

那当然我们在计算的过程中

你可以看到

求A的特征值的过程很麻烦

你去求它相应特征向量的过程

也很麻烦

所以这个第7种方法是最麻烦的

只是我希望展示给大家

一个实对阵是正定矩阵

我们可以通过不同的方式

来证明它

接下来我们通过几道例题

来看一下正定矩阵的性质

假设A和B都是正定矩阵

我们证明

它们的和仍然是正定矩阵

而这个呢

利用我们的第二条定义

说如果A是一个正定矩阵

B是一个正定矩阵的话

我们对于任何的非零向量X

X转置AX是一个正数

X转置BX也是一个正数

那么我们就会有

X转置去乘以A+B再乘以X

它等于X转置AX

再加上X转置BX

这个是正数 这个是正数

和也是正数

那我就有对于矩阵A+B而言

任意的非零向量X

X的转置去乘以这个矩阵

再去乘以X是大于0的

那么我们说A+B这个矩阵

是正定矩阵

当然我们一开头要说

A和B是实对称矩阵

和也是实对称矩阵

然后我们再来判断这些情况

正定矩阵的概念

是基于实对称矩阵上面的

如果A是一个正定矩阵

我们一定会存在着一个矩阵C

使得A写成C的平方

那这个和正数一样

我们任何一个正数

也可以给它求平方根

我们正定矩阵它是在矩阵里头

正数的一个代替物

它也有平方根

我们来看一下是为什么这样

我们来利用A是正定矩阵

我们就可以存在着正交矩阵Q

使得A可以写成QLambdaQ的转置

这几条性质呢

是实对称矩阵的性质

特别的对于正定矩阵而言

Lambda这个矩阵它是对角元

为特征值的一个对角矩阵

那正定矩阵对角元都是正数

我们可以把Lambda写成根下Lambda

乘以根下Lambda

这是正定保证了

我们再把根下Lambda

根下Lambda之间塞上Q的转置乘以Q

因为Q是一个正交矩阵

所以Q的转置乘以Q等于单位阵

翻上去不影响结果

但是我们这样

利用矩阵乘积的结合率

把后面这三个因子结合在一起

我们叫做是C

我们发面前面的也是C

这样就把A写成了C的平方

正定矩阵有平方根

我们再来看

对于一个正定矩阵A而言

它的平方和它的逆矩阵

也是正定的

我们要来说明这一点来利用

这个首先A是实对称的

那么A的平方和A的逆矩阵

也是实对称的矩阵

那对于正定矩阵A而言

它的任意特征值都是正数

所以A平方它的特征值

是Lambda的平方 也是正数

A的逆矩阵它的特征值

是Lambda分之一 也是正数

好 这两个矩阵

它的所有特征值都是正数

因此它们也是正定矩阵

接下来是说

如果一个矩阵A是正定的

C这个矩阵是可逆的

我们来看C的转置乘以A

再乘以C这个矩阵

我们叫做是B矩阵

我们说这个矩阵也是正定的

我们通过这个性质来看

说A这个矩阵如果是正定的话

我们来看非零向量X

我们一定有X的转置AX大于0

那么对于新的这个矩阵B

我们来看XT再乘以B

再乘以X

那把B等于C转置乘以A

再乘以C给代进去

我们把CX叫做是y向量

因为C是一个可逆矩阵

X是一个非零向量

因此CX这个新的向量y

也是一个非零向量

而A是一个正定矩阵

对于非零向量y而言

y的转置乘以A

再乘以y是一个大于0的

那从任意的非零向量X转置BX

一定大于0

我们就可以断言说

B这个矩阵是正定矩阵

我们将来会把

存在一个可逆矩阵C

C的转置乘以A乘以C

这样的矩阵叫做是跟A合同

那这条性质就变成

A如果是正定矩阵的话

跟它合同的矩阵B也是正定矩阵