当前课程知识点：线性代数(2) > 第四讲：线性变换 I > 4.2 线性变换的运算 > 4.2 线性变换的运算
这小节我们来看一下
对线性变换我们也可以定义运算
假设στ
V到W的两个线性变换
c是长在数域F中的任何一个数
那么我们可以定义 σ+τ
定义成是对于V中的任何向量v,
σ+τ作用在V上
等于σ(v)加上τ(v)
那右手边σ(v)长在W里头的
τ(v)长在W里头
那用W中的向量的加法
那么右手边这个是有意义的
c σ 我们定义成cσ
作用在V中的任何向量v上
等于c去乘以σ(v)
那右手边是数c去跟W中的向量σ(v)再作数乘
右手边有1
我们用右手边来定义左手边
这样我们定义出来两个变换
那么我们可以注意到说
这两个变换都是线性变换
因为σ+τ 它作用在v_1+v_2上
根据σ+τ的定义
等于σ(v_1+v_2）
再加上τ(v_1+v_2)
那又σ和τ分别都是线性变换
所以它保持加法运算σ（v_1+v_2）就等于σ(v_1)+σ(v_2)
同理τ(v_1+v_2)等于τ(v_1) + τ(v_2)
然后再根据σ(v_1)和这个τ(v_1)
那么它等于σ+τ作用在v_1上
同理σ(v_2)+τ(v_2)等于σ+τ (v_2)
这样我们对于（σ+ τ） (v_1+v_2)
就证出来它等于(σ+τ)v_1
再加上(σ+τ)v_2
也就是说
定义出来的两个线性变换
σ和τ的和
σ+τ它保持线性运算
同理σ加τ这个变换呢
它保持数乘运算
它作用在kv上
根据定义它等于σ(kv)加τ(kv)
而σ(kv)是等于kσ(v)
τ(kv)是等于k τ(v)
因此这个就等于k(σ+τ)v
那么σ+τ它保持加法运算
保持数乘运算
所以它是V到W的一个线性变换
同理呢我们说cσ
也是v到w的一个线性变换
这样我们由两个线性变换
定义出来它们的和
它们作数乘仍然是线性变换
我们还容易看到线性变换的加法
满足交换律和结合律
也就是说
对于V到W的任何线性变换σ
τ γ
而σ+τ等于τ+σ
σ加上τ加γ先相加
等于σ加τ
先相加了以后再加γ
它满足结合律
并且零变换可以充当零元
一个零变换
加上任何一个线性变换
还等于这个线性变换σ
那么对于每一个线性变换σ
可以定义其负变换 -σ
就定义成说-σ作用在
任何的V中向量v为上面呢
等于-σ(v)
这也是一个线性变换
并且σ加上-σ以后等于零变换
而刚才我们说
线性变换的数乘
它也是一个线性变换
容易看到它满足1去乘以σ以后
等于σ自己
k和l相乘再乘以σ
等于l先跟σ相乘
再用k去相乘
k去乘以σ+τ
等于k σ + k τ
（k+l）和σ相乘等于kσ + l σ
那我们发现
从向量空间V到W的这个
全体线性变换
我们可以定义它上面的加法
可以定义数乘
而它的加法和数乘是封闭的
也就是说我定义出来的加法
仍然是一个线性变换
定义出来的数乘
仍然是一个线性变换
而且加法和数乘刚才我们说了
它们满足那八条性质
那么这些个全体
构成一个向量空间
我们把它记成是这个符号
V到W的线性变换的全体
L表示的是linear transformation
或者呢我们用这个Hom
v到W来作记号
那特别地
如果是V到V的全体的线性变换
我们记成是L(V , V)
或者是End（V）
那么这样
我们对V到W的全体线性变换
构成了一个向量空间
那么线性变换的合成呢
我们可以定义成是它们的乘积
我们来看说
假设τ是向量空间
U到V的一个线性变换
而σ是向量空间
V到W的一个线性变换
那我们可以就来定义
这两个线性变换的乘积σ
乘以τ 我们看说σ
去乘以τ就变成是U到W
定义成什么呢σ
和τ的乘积
作用在U中的任何向量u上
它等于τ先对u去作用
这样就跑到向量空间V里头
然后再用σ去作用
也就是说
我们用这个线性变换的合成
来定义线性变换的乘积
那我们通过直接验证
可以看出来说σ τ这个变换
它保持向量空间
U到W的线性算运
我们看它保持加法运算
作用在u_1+u_2上
根据定义它是线性变换的合成
而τ(u_1+u_2)呢
是等于τ（u1）+τ（u2）
那σ在作用下等于σ
τ（u_1）加上σ τ（u_2）
而σ τ (u_1)是等于σ τ作用在u_1上
这个σ τ (u_2)等于σ τ作用在u_2上
这是这个变换的保持加法
同理σ τ去作用在数k去乘以u上
根据定义等于σ
然后τ去作用在ku上
τ保持数乘
所以它等于k τ(u)
然后σ又保持数乘
所以它等于k σ τ (u)
那根据定义就是k去乘以σ τ (u)
保持加法和数乘
因此呢这个σ τ
是U到W的线性变换
我们利用线性变换的合成
来定义出线性变换的乘积
那线性变换的乘积呢
还有下面的性质
第一条我们假设σ, τ, γ
是V到V的 V到自身的线性变换
那我们容易验证出来说
变换的乘积满足结合律σ
去乘以τ和γ先相乘
等于σ和τ相乘再去乘以γ
这是乘法的结合律σ
去乘以τ+γ
等于σ和τ先相乘
再加上σ和γ相乘
那σ加τ再乘以γ
等于σ γ加τ γ
这是两条分配律
那数k去乘以σ + τ
等于k σ + k τ σ
和恒同变换相乘
等于恒同变化和σ相乘
等于sigma自己
这个恒等变换是特殊的
而σ和零变换相乘
等于零变换和σ相乘
等于零变换
这几条性质呢我们注意到说
线性变换的乘法满足结合律
但是我们发现
这时候它没有交换律
而消去律也不成立
与矩阵的乘法有类似的性质
那与矩阵类似呢
我们还可以去定义
线性变换的逆变换
假设σ是V到V的一个线性变换
如果存在着
V到V的一个线性变换τ
使得什么事情呢
使得σ和τ相乘
等于τ和σ相乘
等于V上的恒同变换
那么我们就称这个σ
是可逆的线性变换
称τ是σ的逆变换
那与矩阵类似
我们容易知道说
如果σ的逆变换存在的话
就一定是唯一的
而如果我们存在两个逆变换σ τ
等于τ σ等于恒同变换
σ乘以τ_1间等于τ_1间乘以σ
等于恒同变换
那么我们就会有说
τ等于τ去乘以σ τ尖
因为这个是个恒同
然后我们利用结合律
把它们俩结合在一起
那这个τ σ又等于恒同
然后根据恒同变换
和任何一个变换相乘
还是这个变换就等于τ尖
这个我们证出来说
如果σ的逆变换存在的话
一定是唯一的
我们就把这个唯一的线性逆变换
记成是σ^{-1}
并且我们知道σ^{-1}的逆变换
是等于σ自己
好 我们之前给你一个矩阵
我们可以定义出来一个线性变换
我们来看一下
假设A是一个n阶的实矩阵
由A定义一个线性变换
它把R＾n中的任何向量x
映成Ax
那我们注意到这个线性变换
如果是可逆的
就等价于矩阵A是可逆的
并且这个逆变换
它是把向量x映成了A^-1 x
我们注意到说如果这个σ^-1
和σ去相乘
我们会发现它作用在x上
而σ x是等于Ax
而σ^{-1}是A^{-1}
那这个是等于x
而σ^{-1}σ是等于恒同变换
由于线性变换它的乘法
满足结合律
所以呢
我们可以像对矩阵的讨论一样
可以定义V到V的线性变换σ
的正整数次幂
我们就定义成是由m个σ去相乘
得出来的这个线性变换
我们叫做σ的m次幂
这个m是一个正整数
我们规定σ的零次幂
等于恒同变换
那很容易验证对任何的非负整数
m和n
我们有σ的m次幂
去乘以σ的n次幂
等于σ的m+n次幂
还有σ的m括号的n次幂
等于σ的m乘n次幂
特别地当这个σ如果是可逆的话
我们可以定义σ的负整数次幂
而σ的负m次幂
我们就定义成是σ^{-1}的m次幂
这个时候m是正整数
那么左手边σ的负m次幂
我们就定义出来了σ
的负整数次幂
而这时候指数当时的法则
sigma的m次幂乘以σ的n次幂
等于σ的m+n次幂
而σ的m括号的m乘n次幂
对于所有的整数都成立
但是由于这个乘法
是不满足交换律的
所以我们一般(σ τ)的m次幂
是不等于σ的m次幂
去乘以τ的m次幂的
这个跟矩阵的乘法也是类似的
那我们和矩阵的类似
我们还可以定义
V到V上线性变换σ的多项式
好 我们说类似我们设这个F呢
是属于F上的一元多项式
f（x）等于a_0加a_1 x加a_m x次幂
那σ呢是V到V的一个线性变换我们就可以把f(σ)定义成是
a_0恒同变换再加上a_1 σ
再加a_m σ^m
那这是一个V到V的线性变换
我们把它叫做
线性变换σ的多项式
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
