当前课程知识点：线性代数(2) > 第九讲：Markov矩阵和正矩阵 > 9.1 问题引入 > 9.1 问题引入
大家好
这一讲我们来讨论Markov矩阵
Markov矩阵
是应用非常广泛的一类矩阵
我们将讨论正Markov矩阵
当n趋于无穷的时候
它的n次方的极限问题
刻画这类极限问题
它的关键是考虑正Markov矩阵
关于特征值1的特征向量
那么我们在后面呢
我们还将把这个
推广到一般的正矩阵的一般情况
大家好
从这一讲我们开始学习
Markov矩阵和正矩阵
Markov矩阵是应用非常广泛的
一类矩阵
它实际上来源于Markov链
那么我们从线性代数角度
并不会深入讨论Markov链
但是我们会谈一些例子
来自于Markov链
我们先看下面的问题
设某个小镇有3000人
他们使用了两种牙膏A1和A2
那么本年度有1000人
选用了牙膏A1
有2000人选用牙膏了A2
那么根据调查
那么下一年度
可能选用牙膏A1的居民
他60%将继续选用牙膏A1
有40%可能觉得A1不太好用
就改选牙膏A2
选用A2的居民有70%
也继续选用A2
30%将改选牙膏A1
我们可以用下面这张表来说明
今年选用A1的居民
到明年来看呢
有60%还继续选用A1
有40%就选用A2了
今年选用A2的居民有30%
改选A1了
有70%继续选用A2牙膏
那么这样子呢
我们考虑下一年度
大概有多少人选用A1
和多少人选用牙膏A2呢
那我们设未知数
设下一年度选用A1的
假设有x1人
选用A2有y1人
我们把本年度由x0等于1000
和y0等于2000
这样我们可以得到x1 y1
和x0 y0的关系
也就是说下一年度选用A1
这个牙膏的人 x1人
那么这些人其中有60%是来自于
原来选用A1的那1000人中
有30%是原来选用A2的2000人中
改选A1牙膏 是这两个和
而同样地
y1是40%的选用A1牙膏的
和70%的选用A2牙膏的之和
那么中间这个矩阵呢
它刻画了本年度和下一年度
选用A1 A2牙膏
这个人数之间的一种关系
我们把这样一个矩阵呢
称为过渡矩阵或者转移矩阵
这概率我们用的这个名词
那么
如果我们假设刚才说的这个规律
始终不变
那么再到后一年度的话
选用A1牙膏是X2人
选用A2是y2人
那么后一年度和下一年度
选用A1A2的关系呢
牙膏人数的关系还是保持这个
还是使用这个矩阵
因为这个规律不变
也就是说后一年度
选用A1牙膏的人
是下一年度的60%
选用A1牙膏的人
和下一年度选用A2的30%
改选过来的
好 这样我们就可以
假设这个规律始终不变
我们就可以得到一个序列
这个序列 这个是本年度的
选用A1A2牙膏的人
这是下一年度的
这是后一年度的
那么我们的假设前提
是规律始终不变
也就是说它们所使用的
中间的过渡矩阵或者转移矩阵
始终不变
也就是说xk yk跟前一年度的
xk-1 yk-1的关系
始终保持的是
0.6 0.3 0.4和0.7
那么我们就可以得到
这个向量序列的一个递推关系
把它合在一起呢
我们就得到了第k个年度
选用A1牙膏的人数
和第k年度选用A2牙膏的人数
构成的这个向量
和本年度这个关系
那么我们就需要考虑
这个矩阵的k次方
那么这个矩阵的k次方
就构成了这个向量序列的
通项公式所用的
需要的这个k次方
这样一个序列我们叫Markov链
随着时间的变化
我们可以预测未来的趋势
要刻画未来这个趋势
我们需要知道这样一个转移矩阵
它的k次方的极限状态
我们看这样一个矩阵呢
一般的一个矩阵的k次方
不一定存在极限
但这样一个矩阵呢我们看
它的特点是
每一列元素之和等于1
每一列的元素都大于0
那么这样一个矩阵
我们叫马尔可夫矩阵
它的k次方的极限
是可以确切算出来的
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
