11.5 投影和反射在线视频

下面我们来看投影和反射

设π0为平面 这个平面过原点

所以我们这个小角这儿用0

假设它的法向量为n

n的长度是1

我们取单位向量

那么π0的方程

就可以用n＾T v = 0

而v可以随便变化

只要跟n垂直

这个就是

n＾T v = 0里面互相垂直的

那么我们现在假设T

从R＾3到R＾3是一个投影变换

也就是说

将(x y z)映到

它在这个平面上的投影

那么对于这样的一个情况呢

我们写出这样一个

投影的变换矩阵

那么我们确切算一下

首先(x y z)属于

这个三维空间中的向量α

就可以分成两部分

因为我们现在

有了这样一个平面π0

还有了这样一个n

那么这个是原点

那么任何一个向量呢

空间中的向量

我们都可以把它分解到

给平面上的投影

和在n上的这个向量

叫α1 α2α

2是跟n垂直的α

1就是向量在n上的投影

那么实际上呢

我们这个变换

就是把Tα映成α2

T就把任何一个α映到了α2

我们来确切地算

通过n和α的信息来算出α2

设α1等于λn

因为α1跟n在一条直线上

所以它是n的一个倍数

那么这个倍数

我们可以通过对这个式子两边

同时左边乘上n＾T

那么这个式子就变成了

n＾T α1等于λ n＾Tn

但是n的长度是1

所以这个就等于λ

这样推出了λ可以用

n和α1的内基来表示

那另一方面呢

因为n跟α2是垂直的

所以

我们的n＾Tα等于n＾Tα1

因为n＾Tα2是0

我们做的目的是什么呢

我们做的目的是希望

把α2这个向量

用α和n所作出来的矩阵来刻画

那么现在这个α1呢

这个实际上我们希望把这个α1

给它换成α2来刻画

这样子我们就可以表示出

这个λ实际上是n跟α的内积

那么α2呢

就是α减去它在n上的投影

也就是说α

1就是n＾Tα乘上n

那么最后呢

我们就可以把它写成一个矩阵

（I-nn＾T）α这样一个形式

也就是说

我们把α变到α2呢

实际上就是等于乘了一个矩阵

I-nn＾T

那么我们看到这样一个矩阵呢

它把n变成什么呢

我们来算一下

这里n-nn＾Tn

那么这个是长度1

所以0

也就是说直观上

跟n平行的向量

它的投影就是原点

所以这是为0

我们来看个例子

比如说关于平面

2/3x+2/3y+1/z等于0

这个投影矩阵

那么我们就可以确切地算一下

n这时候等于(2/3 2/3 1/3)

这是我们的n

那么代入公式

算一下这个投影矩阵

最后算出来是1/9 5 -4 -2

-4 5 -2

-2 -2 8

那么下面我们来看一下

这个投影矩阵的一些性质

首先这个投影矩阵

是一个幂等对称阵

我们来验证一下

I-nn＾T然后再乘上I-nn＾T

我们看自己乘自己会怎么样

那么我们算一下

I-nn＾T然后再减去nn＾T

然后再加上nn＾T nn＾T

那么这一块呢

n＾Tn我们知道

它的单位长度等于1

所以这一项也是nn＾T

像我们最后我们得到I-nn＾T

也就是说

这个矩阵它跟自己相乘以后

等于它自己

这就是幂等对称阵

那么对于这样一个矩阵

我们原来知道

它的特征值实际上有0和1

它的特征值为0的

对应的特征向量

就是我们的平面的轴n

它的特征值为0

对应的这个特征向量

就是n的倍数

我们用tn表示

还有它的特征值为1

有些向量在这样一个变换下没动

我们看到如果一个向量

在跟n垂直的平面上

也就是我们的π0上

那么它的投影呢等于没有动

所以就是任何一个向量

如果属于π0

那么用这个矩阵乘上这个向量

就没有动

也就是说

它是关于特征值1的特征向量

这时候投影在

关于一个过原点的平面上的投影

那么如果这个平面不经过原点

我们把πv0

πv0 这时候v0它不等于0

这个平面不经过原点

那么这时候我们来考虑

任何一个向量

或者空间中的点 (x y z)

在πv0上的投影

因为πv0它不经过原点

所以这样操作的过程呢

它并不是一个线性变换

这样一个投影不是个线性变换

因为它并不会把0映到0

因为0在这个平面上的投影

不会是0

这个平面不经过原点

好 那要写出这样一个矩阵形式

我们就要考虑射影形式

首先πv0的方程是n＾Tv-v0等于0

这样一个形式怎么写出来的呢

比如说

这个是原点

这个是那个平面 πv0

它经过一个点 v0

那么这个平面上的任何一个向量

或者任何一个点

它的坐标怎么来呢

首先这个向量或者这个点v

跟v0的差

得到的这个向量呢

两点的差形成的向量

这个向量肯定跟

这个平面的法向量是垂直的

所以n＾Tv-v0等于0

所以

这个是我们的这个平面的方程

那么我们要确切地写出

关于这个平面的投影

我们使用的办法是

先把这个平面坐标系改动一下

使得v0作为原点

然后我们看第一步

先把(x y z 1)变到

(x-x0 y-y0 z-z0 1)

那么这样一个变换过程呢

实际上就把v0这一点

变到了原点

新坐标系的原点

那么这时候变完以后

这个平面就经过了

新坐标系的原点

那么在新坐标系

这个原点经过它的平面投影

我们在刚才已经说过

所以它的投影

我们可以使用这样一个矩阵

去刻画

这时候我们得到了(u v w 1)

这个在新坐标系下的坐标

投影点的坐标

那么投影点的坐标

我们希望看到它在旧坐标系中

那么我们再把P再平移一次

再回去

就是用Tv0再回去

我们看这样一个过程

就把新坐标系这个原点

(0 0 0 1)

又变回到了(v0 1)

所以我们通过这样一个过程

就计算出了任何一个点

(x y z)

它在这个

不过原点的平面上的投影

而确切地写出来

这个投影它的方程是这样的

那么矩阵是这个

其中这个对应的是平移

中间这个对应的是投影

看个例子

考虑平面x+y+z等于1

求原点在这个平面上的投影

那么我们

这个平面的法向量是

(根号3分之1 1 1)

那么这时候我们在这个平面上

随便取一点作为v0

那么我们取成(1 0 0)

那么这时候原点

在这上面的投影呢

我们可以用刚才这个矩阵乘一遍

最后算出来

它的投影是(1/3 1 1 1)

下面我们来看反射

关于一个平面的反射

我们可以使用投影的一些知识

我们来看图

这个平面我们叫πv0

它经过了点v0

但是可能这个平面经过原点

也可能不经过原点

那么我们可以看到

A通过这个平面作为镜面

进行反射到AF

那么这个平面呢

它当连接这个A和AF的时候

它跟平面的交点就是A

在这个平面上的投影点AP

那么通过这一点我们可以看出

实际上我们已经知道投影点

Ap了以后

我们就能算出反射点

确切地 首先

投影点的坐标呢

我们通过刚才那个公式

先把v移到 v0移到原点

就是这样一个过程

然后再投影

乘上这样一个矩阵

最后再移回来

这样我们就算出了

A的投影点坐标

那么要算A的反射点坐标

那么我们看到

A AF和Ap

那么这个Ap正好是在中间的位置

另外这个O

那么OAF我们可以看到

它应该是OA+2AAp

然后我们算起来就是

I-2nn＾T再乘上(x y z)

和(x0 y0 z0)之间的差

所以呢

当平面不管它过不过原点呢

我们都可以找反射点

通过这样一个公式

如果v0是原点的话

那么这两个都是单位阵

所以无论平面过不过原点

我们(x y z 1)投影和反射以后

就相当与这个矩阵乘上这个

(x y z 1)

那最后我们来说一下

就是二阶的反射阵呢

实际上

我们也可以特别进行刻画

就像我们旋转一样

我们可以确切地算出

它的一些特征向量

把它变成一个

相似到一个简单的形式

那我们来看一下

设l是二维空间一条过原点的直线

那么关于

我们刚才是关于平面的反射

现在我们在二维空间

关于这条直线做反射

这条直线作为一个镜面进行反射

我们来看一下

它的所用的矩阵

那么这时候我们的手法呢

我们可以使用刚才的手法

也可以通过求特征值的特征向量

找出它相似的一个

简单的标准形来看

比如说

如果l最简单地是我们的x轴

那么这时候这个反射呢

我们很容易可以算出来

那么任何一个点(x y)

通过x轴进行反射呢

它就变成了(x -y)

所以我们看它使用的矩阵

就等于1 -1 0 0

乘上(x y)

就等于 变换完以后

所以呢我们看到

所用的反射矩阵是这样一个形式

我们说一般的呢

如果这个轴反射的镜面

不是x轴

那么跟旋转很相似

我们可以通过调整特征向量

使用相似

把它变成这种形式

好 我们来看一下

我们现在假设l是这样一条直线

这个l跟x轴的夹角

逆时针夹角是θ角

那么我们可以看到

用这个Bcosθ -sinθ

这是个旋转矩阵

u和u是B的两个列

那么我们可以看到

u是l上的单位向量

就是u实际上是在l上

v实际上是跟l垂直的

这样两个向量

那么由这个性质我们可以看到

B乘以e1等于u

B乘以e2就等于v

也就是说u是B的第一列

v是B的第二列

那么按照我们这个反射的性质

因为这个反射呢

这个镜面它没有被动

所以Rl这个反射矩阵乘上u

应该等于u

Rl乘v呢 v跟这个直线是垂直的

所以它被反射到的-v

那么从这两点我们看到

u应该是这个反射矩阵

关于特征值1的特征向量

v是关于特征值-1的特征向量

那么由这两点

我们可以上可以作一个可逆矩阵

这个可逆矩阵就是我们这个B

也就是说Rl乘B

和Rl乘上B的第一列和第二列

得到的结果

最后我们可以写出来

B^-1 Rl B就等于1 -1

这样一个对角阵

换句话说

就是Rl跟1 -1是相似的

那么由此呢

我们可以确切地算出Rl的矩阵

把B移到右边

最后算出是cos2θ sin2θ

和-cos2θ

这个矩阵

大家注意跟旋转矩阵之间的区别

我们关于跟x轴逆时针夹角

为θ角的这样一个直线

作为镜面的反射

所用的反射矩阵
就是这样一个形式