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大家好
这一讲我们来学习复矩阵
我们将学习
复矩阵的正规矩阵的标准形式
大家特别要注意
复矩阵跟实矩阵的区别和联系
我们将在这一讲的最后
讨论傅里叶变换的离散形式
即离散傅里叶变换
我们也将讨论
离散傅里叶变换中的
快速傅里叶算法
大家好
从这一讲我们开始学习复数
和复矩阵
我们在前面学的大部分内容
都是关于实数的矩阵
偶尔也会涉及到复数矩阵
但是基本上出现复数的情况
主要出现在特征值
就是一个实矩阵
可能特征值是复的
这种情况
才导致了复特征值
和复向量的出现
那么在这一节呢
我们开始学习
由复数构成的矩阵
下面这个矩阵
cosθ -sinθ sinθ和cosθ
如果θ不是取的极端情形
比如说0或者90度等等
那么它的特征值
我们知道是等于e＾iθ
cosθ+isinθ和e＾-iθ
这是它的特征值
那么这个一般都是复数
我们在这一讲的学习过程中
大家注意实的
和复之间的联系和区别
就是在实的一些性质
在复是不成立的
但是虽然不成立
可能跟实的之间有某种关系
先来复习一下复数
复数就是i的平方等于-1
一般的一个复数
我们写成a+bi的形式
那么a表示这个复数的实部
b就是复数的虚部
这个复数的长度
等于根号a＾2+b＾2
那么一个复数它的共轭
是把它虚部的b改成-b
共轭运算
是复数特有的一种运算
一个复数
我们也可以在坐标轴上写出来
取a b这个点
那么这样一个向量
对应着一个复数a+bi
那么对于一个复数构成的矩阵
这个aij是复数
那么它的共轭就定义成
每个元素取共轭
比如说1+i i 1-i 2
这样一个矩阵
那么它的共轭
就是把每个元素取共轭
1+i的共轭是1-i
1-i的共轭是1+i
i的共轭是-i 2的共轭还是2
那共轭呢是
复数的共轭
诱导了复数矩阵的共轭
那么它的主要性质
a乘b的共轭
等于a的共轭乘b的共轭
这个性质是由复数乘法
z1 z2两个复数的乘的共轭
等于共轭的乘
诱导出来的
那么一个复数乘上它自己的共轭
结果就是它的长度的平方
我们看
长度为1的单位元上的复数
跟二阶旋转矩阵
能够作个一一对应
那么长度为1的单位元上的复数
都可以写成cosθ+i倍的sinθ的形式
那么它对应的这个矩阵呢
正好是我们的二阶的旋转矩阵
实际上我们可以想
如果我们给一个复数z1
当我们用这个z
去乘上z1的时候
那么实际上是将z1呢
逆时针旋转θ角度
那么这个去乘上一个向量
也相当于把这个向量
逆时针旋转θ角度
所以这两个
它们的作用方式非常相似
那进一步我们可以看到
如果z1乘z2
就是单位圆上两个复数相乘
那么这个乘完以后
还是在单位圆上的复数
因为这个长度还是1
那么按我们这个对应呢
它应该对应到Az1z2
比如说z1等于e的iθ1
z2等于e的iθ2
那么z1 z2就等于e的i（θ1+θ2）
那我们看这个矩阵
就是cos（θ1+θ2）
-sin（θ1+θ2） sin（θ1+θ2）
cos（θ1+θ2）
那么现在这个实际上它等于
Az1对应的旋转矩阵
Az2对应的旋转矩阵
换句话说
就是当我们把Az1z2
作用在一个向量上的时候
相当于先对这个向量
逆时针旋转θ2角度
再逆时针旋转θ1角度
那么这个效果呢
等价于直接对这个向量
逆时针旋转θ1+θ2角
极分解
就是一个复数
我们可以写成一个长度乘上
cosθ+isinθ
这个是单位长度
就是相当于这个复数的单位化
比如说一个复数的长度就等于
比如说z等于a+bi
那么这个长度就等于
根号下b＾2+a＾2
一个复数
所以它可以写成一个
r乘e＾iθ的形式
那么e的n次方就相对于
用这种极分解的形式就容易算
就是r的n次方乘上cosnθ+sinnθ
一个xn次方等于1
这样一个方程呢它有n个单位根
这个单位根的特点很有规律
我们用ω表示的是
e的2πi除以n
就相当于把单位圆的360度角
n等份
第一个等份2π除以n
就是ω
那么ω的平方
ω的立方一直到
ω的n-1次方
这些都是这个单位根
xn次方等于1的单位根
也就是ω
x的n次方等于1呢
任何一个ωi的n次方都等于1
i从0到n-1
那么这些单位根
它的和等于1
这个实际上韦达定理的推广
比如说1+i的8次方
那么要算这个8次方呢
我们使用这种极分解形式
1+i的极分解它的长度是根号2
角度是45度
所以最后直接算出来这个
我们再来看代数基本定理
就是ai是复数
这样一个一元n次方程
它有n个复根
可能有重复的
如果这些ai取特殊的取成实数
那么这个就变成实系数的方程
那么它的根呢会有两种情况
实根 复根
如果它是复根呢
那么a+bi是它的根
那么a-bi也是它的根
它的复根是成对出现的
注意这个只是对
这个ai是实系数的
这样一个一元n次方程才成立
如果是复系数呢
这一条就不成立
那么我们看奇数次的实系数方程
它总有一个实根
因为我们知道复根是成对出现的
所以对于一个实系数方程
它的复根实际上是2的倍数
因为它是成对出现的
但是奇数次实系数呢
所以它必然
除了复根应该有个实根
不然的话它只有偶数的根
这样就跟它的奇数次矛盾
实系数多项式f（x）
可以分解成下面这种形式
这个其中λi就是实根
那么对于这种形式
就是由复根给出来的
这种形式是无法写成
实根的一次的形式
也就是说
它的判别式是小于0的
好 现在我们来看x＾m-1
那么因为x＾m等于1呢
有m个根
那么这m个根就构成了
x＾m-1的一个因式分解
就是x减去ωk
k就是360度角
然后乘上这个k
那么x减去ωk
和x减去ωm-k
那么这个形式
它写出来实际是个实系数的
因为ωk
和ωm-k是共轭关系
x＾m+1
因为x＾m+1它的根
实际上就是x＾m等于-1
求出的一些根
这个也是m的根
那么注意这块变成奇数次的
这一块是偶数次的
好
我们可以用这些性质
去证明这样一个等式
这个等式的特点是cos2n+1 π
第二项是cos2n+1 2π
第三项就是cos3π除以2n+1
一直到nπ 这个
那么这个连乘等于2的n次方之1
我们通过这个例子
是熟悉一下这个复数
为了证明我们这个连乘
我们可以使用下面这三个事实
第一个我们看
-1-cos2θ-isin2θ
这样一个复数呢
我们可以通过2倍角公式
把这个写成一个cos＾2
2倍的cos＾2θ
那么我们就可以提出来一个
2倍的cosθ
那么sin2θ可以写成2sinθcosθ
所以最终我们写成这种形式
那么现在我们来看一下
这个复数的长度
这个长度呢
因为这个括号里面的长度等于1
所以这个复数的长度
是2cosθ绝对值
好 我们再来看第二个事实
假设ω是这样一个复数
那么我们可以得到
这样一个分解
这个分解怎么来的呢
这个分解我们同时乘上x-1
就可以看出来
左边就变成了x的2n+1-1
右边就是x-1
所以这个式子就来源于
把这个根分解中的x-1
那个因式去掉
好 为了算我们那个
cosθ的连乘公式
我们主要在这个式子里面
我们令x等于-1
令x等于-1以后呢
我们可以看到右边部分呢
和左边部分去比较一下
那么我们来比较它们的长度
那么x减ω
x减ω的平方
它们的长度就可以使用
第一个事实
那么我们就可以算出
x减ω的长度
减ω平方的长度
这些x减ω这个长度
那么这个就等于-1 2n
一直加 加到1它的长度
它的长度就等于1
这一块我们有2n项
得到了2n个cosθ
那么再使用事实3
就是当这个角和这个角
它们之间互补的时候
那么它们的cos值是一样的
然后实行第三个事实呢
我们就可以推出
我们的cos的连乘公式
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
