当前课程知识点：线性代数(2) > 第五讲：线性变换 II > 5.4 矩阵分解与基变换 > 5.4 矩阵分解与基变换
上一小节讲到
向量空间V到自身的线性变换
在V的不同基下的矩阵表示
互为相似矩阵
所以对给定的线性变换
我们希望选取适当的基
使矩阵表示尽可能简单
而事实上呢
我们之前的矩阵分解
都可以理解成是线性变换
在基变换下矩阵间的关系
这一小节我们来看矩阵分解
和基变换
给定一个
R＾n到R＾m的线性变换σ
它在R＾n中的标准基e_1到e_n
和R＾m的标准基ẽ_1,…,
ẽ_m下的矩阵是A
σ作用在e_1 … e_n上面
就等于ẽ_1,…, ẽ_m
去乘以矩阵A
也就是说σ作用在e_j上
就等于A的第j列
也就是A去乘以e_j
因此这个线性变换
就可以表示成
对任何的n维向量v
那么σ作用在v上
就是矩阵A去乘以V
那接下来我们来作基变换
我们出发的向量空间R＾n
去作基变换
从标准基e_1, …, e_n变成v_1, … ,v_n
过渡矩阵是P
我们来看
这时候线性变换σ在v这组新基
和目标向量空间
R＾m上面的ẽ
这组标准基下的矩阵是什么
我们从线性变换的复合来看σ
是R＾n到R＾m的
一个线性变换
在标准基e和ẽ下的矩阵是A
我们对出发的向量空间
来作基变换
我们输入的基叫做v
这是恒同变换
这个恒同变换在输入基v
和输出基e下的矩阵表示是P
那么复合线性变换σ
在v这组基
和ẽ这组基下的矩阵就是AP
那如果
我们来改变目标向量空间的基
从ẽ变到w这组基 恒同变换
在这两组基下的矩阵表示
我们记成是 Q＾｛-1｝
于是复合变换在e这组基
和w这组基下的矩阵表示
就是Q＾｛-1｝A
那如果出发向量空间
目标向量空间都选成R＾n
我们标准基记成是e
我们对标准基来作一下基变换
变出v这组新的基底
那σ在这组新基底下的矩阵
就是P＾｛-1｝AP
综合了前面的两步
那接下来我们来看一下
之前对于能够相似于
对角阵的矩阵
我们说A是等于
S𝚲S＾｛-1｝
这个𝚲是一个对角阵
这时候A和𝚲
可以看成是一个线性变换
在不同的两组基下的矩阵表示
怎么来看这件事情
我们说线性变换σ
从R＾n到R＾n
在标准基下的矩阵是A
σ可以表示成
是把任何一个n维向量
变成是A去乘以v
那么A有n个线性无关的特征向量
x_1到x_n
构成R＾n的一组新的基底
σ在这组新基底下的矩阵
表示的就是对角阵𝚲
这是说σ作用在这组新的基下
那么根据σ（v）等于Av
那σ作用在x_1上就是Ax_1
σ作用在x_n上就是Ax_n
又因为Ax_1等于𝜆_1 x_1
Ax_n等于𝜆_n x_n
我们就有这件事情
这样说σ这个线性变换
在A的特征向量作为的新基下面
它的矩阵表示
是𝜦这个对角阵
而σ从R＾n到R＾n
在标准基下的矩阵是A
σ在特征向量基下的矩阵
表示是对角阵𝜦
那么输入x这组基 输出e这组基
这个恒同变换它的矩阵表示是S
如果输入e这组基 输出x这组基
这个恒同变换
它的矩阵表示是S＾｛-1｝
我们来看说比如这一步
这个恒同变换
恒同变换作用在x_1到x_n上
还等于它自己 输出e_1到e_n
我们就把这个矩阵记成S
这个S不是别的
就是x_1到x_n所构成的
作为列向量所构成的这个矩阵
而e_1到e_n它构成的这个矩阵
是单位阵
所以从矩阵上面
我们看出来
这就是S等于单位阵去乘以S
σ在标准基e_1到e_n下的
矩阵表示是A
输入是e_1到e_n 输出是x_1到x_n
其实这个是矩阵S
这是S乘以S＾｛-1｝等于单位阵
那么这里想说的是
这个恒同变换它在e和x
这样的两组基下的矩阵表示
是S＾｛-1｝
σ作用在这样的
这个特征向量
作为的这种新基下面
它的矩阵表示是对角阵𝜦
而我们有σ是等于恒同变换先作
然后再作σ 再作恒同变换 identity_2
那么相应的矩阵表示
就有𝜦等于S＾｛-1｝AS
也就是A等于S𝜦S＾｛-1｝
这是能够相似于对角阵的矩阵
事实上呢
这个东西表示的意思就是
我有一个线性变换
它在标准基下的矩阵是A
在以特征向量作为基下的矩阵
是𝜦
这两个矩阵是相似的关系
就是这样的一件事情
我们的SVD奇异值分解
A等于UΣV＾T
那么也可以看成是一个线性变换
在不同基下的矩阵表示σ
这时候是从R＾n到R＾m的
一个线性变换
在标准基下它的矩阵表示是A
这个m乘n的矩阵Σ
它是这个线性变换
在出发的R＾n里头取v这组基
在目标的向量空间
R＾m里头
取u这组基下的矩阵表示
那我们之前说过是σ(v_j )
等于奇异值σ_j去乘以u_j
这个是j是从1到r
这个r是矩阵A的秩
然后当j从r+1到n的时候σ
作用在v_j上是等于0
那么也就是说这个v_1到v_n
我们取的是A^T
乘以A的特征向量
并且单位正交的
那么这个u_1到u_m呢
我们是取得A A^T
这个对称矩阵的
单位正交特征向量基
我们取出来R＾n和R＾m的
两组好的基底
在这两组基底下σ
它的矩阵表示
是这个m×n的矩阵Σ
那么在R＾n里头从e到v
输入e 输出v
这个恒同变换
它的矩阵表示是V^T
那么这个V就是由v_1到v_n
作为列向量所构成的矩阵
我们从矩阵的角度上来看
左手边是恒同变换
所以其实它还是e_1到e_n
作为列向量构成的这个矩阵
这个不是别的东西
就是单位阵
那么右手边v_1到v_n构成的矩阵
是V乘以V^T等于单位阵
这个是 因为V是一个正交矩阵
那么这边在R＾m里头
输入u这组基底
输出ẽ这组基底
恒同变换作用在u_1到u_m上
等于ẽ_1, … ẽ_m去乘以这个U
而这个其实是一个m阶的单位阵
去乘以U
就等于U这个矩阵
事实上就是说
从这个矩阵的角度上看
这个式子也是显然的
那么我们有这个复合的变换
也就是说σ等于
先来作R＾n上的恒同变换
再来作这个σ
然后再作R＾m上的恒同变换
就等于这个σ
那么因此复合变换它的矩阵表示
也相应地有这是矩阵A
等于先来作V^T
再来作m乘n的矩阵Σ
那后再来作U
那么就有我们的SVD的这个分解
它对应着线性变换σ
在不同基下的两个矩阵表示
之间关系
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
