当前课程知识点：线性代数(2) > 第七讲：工程中的矩阵 > 7.5 从离散到连续 > 7.5 从离散到连续
我们在简介中说过
线性代数跟实际问题发生联系
主要是把实际问题中的非线性
转成了线性
然后把连续的转成离散的
那么实际问题
经常我们会得到一些微分方程
或者微分方程组
那么这些微分方程
或者微分组离散化以后
我们就得到了一个线性方程组
那么解线性方程组呢
就可以给出我们这个微分方程
微分方程解的一个
离散的逼近的形式
那么我们前面部分
讨论的四种弹簧模型呢
实际上是现实的某种弹性力学中
一个物质体受到弹力以后
发生形变这样的一个
复杂问题的一个简化形式
那么我们可以先看一下
下面这个跟一般连续化的情况
我们假设一段柱体上端固定
那么这个柱体在受到外力以后
会产生一些形变
那么我们考虑其中微小的一段
这一段上面是x 底下是x+⊿x
这段柱体受到的外力呢
在单位面积长度
和面积上受到的外力是f(x)
那么我们写成f(x)乘上⊿x
那么就是这一小段受到的外力
一个近似
那么我们可以把整个一小段
想成一个质体
它上下用弹簧来连接
那么整个这段柱体
可以想成非常多的很多小质体
用很多小弹簧
连接出来的一个模型
那么大家可以看到
当你把这样一个柱体
在受力情况发生形变的情况
想成很多质体
通过很多小的弹簧连接的
这样一个模型以后
那么我们可以写出
这个受力的一个
和弹性形变等等之间的一些关系
这个下面受到的力
这个y(x)+⊿x
这上端受到的力是y(x)
那么-f⊿x=y(x+⊿x)-y(x)
那么大家对应着我们前面说过的
这样一个质体
在上下弹簧连接以后
它受到的力f恰好就等于y_1-y_2
那么把这两个可以对照一下
那么它
我们把⊿x除过去以后呢
这就是f(x)等于
这样一个表达式
这个表达式呢实际上
如果⊿x取的很小的时候
那么我们可以看到实际上
这个当⊿x趋于0的时候
它恰好是y(x)的极限
就是y(x)的倒数
那么e(x)呢
我们作为单位长度
和面积上的伸缩
那么e(x)跟u(x)的关系
是这样一个关系
e(x)=(u(x+⊿x)-u(x))/⊿x
那么这个呢
我们可以跟刚才两个质体
通过一个弹簧相连
那么这个弹簧的形变量
和质体的位移之间的关系
大家可以跟这个
把它试着对照一下
这个弹簧的这个形变量e
就等于u2减u1
当⊿x趋于0以后呢
我们假设u(x)
有比较好的分析性质
那么可以类比du(x)/dx
它可以约等于这个式子
这当然之间有误差
但是当⊿x趋于0之后
这个极限呢我们知道
应该是在uu(x)在那一点的倒数
那么我们也可以写成
(u(x)-u(x-⊿x))/⊿x
或者写成这种形式
那么这个呢
这三种形式取的不一样以后
会有不同的误差
这也就概括了一个连续的
用离散的去换
那么这个离散呢
我们把这个是叫向前差分
这个是向后差分
而这个呢我们叫中心差分
而同样地 u的二阶倒数呢
那么我们最后使用这样一种形式
就是我们先考虑的是向前差分
再考虑向后差分
最后合在一起
得到了这样一个表达形式
也就是说这样一个连续的形式
我们用一个差分的离散形式去换
那么在我们现在的情况呢
我们还要加一个c(x)
c(x)是弹性系数
随着x的变化呢
这个柱体不同位置的伸缩量
不一样 所以有不同的c(x)
这样我们得到了这样一个形式
所以现在我们有一个微分方程
e(x)=du(x)/dx
这个微分方程呢
它对应着我们的离散形式
就变成了我们的一个差分方程
那么那个差分方程
就是我们前面的弹簧模型
给出来的
e=Au 这应该u u_1 u_m
e等于Au
那么受力f(x)跟y(x)
之间的求导关系呢
那么我们用f等于
它的差分形式呢
就是离散化的形式
正好是f等于A＾Ty
那么一般地f跟u的关系呢
这样一个表达形式呢
那么在我们这里面呢
就被这样一个形式代替
所以我们的求导
这个d(x)c(x)
这样一个连续的算子
实际上对应的就是
我们的刚性矩阵离散化的形式
这个离散化的形式对应刚性矩阵
也就是我们前面的
离散化的f=Ku
那么现在就变成了f(x)等于
跟u这样一个
连续的微分方程的关系
下面我们再看一下边界条件
而对一个微分方程呢
它有边界条件
那么这个边界条件呢
跟我们离散的时候
我们谈的在边界处的一些关系呢
之间一一对应
大家回忆一下在情形1的时候
在边界的时候呢
我们是u_0和u_4是0
这两个呢是0
那么这两个是0以后呢
我们在情形2的时候
它的边界的情形呢是
e_4=u_4-u_3=u_0=0
在情形3的时候
它的边界的情况是e_4=u_4-u_3=0
而e_1等于这两个 是0
那么这些边界的性质呢
我们都要转换成
微分方程的边界条件
那么这个情况是e_4等于e_1
因为首尾相接 e_4就跟e_1一样
那么相应的
我们得到了四种情形
它的微分方程的边界条件
第一种u_4=u_0=0这种离散的形式
它的边界条件呢
转换成连续的时候边界条件
是找一个u(x)
满足u_0等于u_1等于0
就是这面呢我们是f=Ku
那么这边呢我们是
f(x)=-d/dx (d(c(x)du/dx)
那么已知f 求u
这个呢是已知f(x) 求u(x)
那么这里面它的边界条件
转换这边呢就是求
u(x)满足u_0等于u_1等于0
那么e
我们知道e(x)是u(x)的导数所以e_4等于0
这变成u_1这个导数也为0
e_4等于e_1等于0
那么这边呢就变成相应的导数
我们考虑的区间
x是属于（0 1）的
正好是两个端 这是e_4 e_1
这边 0 1两端的
情形4呢 e_4等于e_1
那么u_4等于u_1
那么到我们这个就变成了u_0=u_1
这个跟这个对应的
e_1 e_4等于u_0 u_1
这样我们就把边界条件
这四个写出来了
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
