7.5 从离散到连续在线视频

我们在简介中说过

线性代数跟实际问题发生联系

主要是把实际问题中的非线性

转成了线性

然后把连续的转成离散的

那么实际问题

经常我们会得到一些微分方程

或者微分方程组

那么这些微分方程

或者微分组离散化以后

我们就得到了一个线性方程组

那么解线性方程组呢

就可以给出我们这个微分方程

微分方程解的一个

离散的逼近的形式

那么我们前面部分

讨论的四种弹簧模型呢

实际上是现实的某种弹性力学中

一个物质体受到弹力以后

发生形变这样的一个

复杂问题的一个简化形式

那么我们可以先看一下

下面这个跟一般连续化的情况

我们假设一段柱体上端固定

那么这个柱体在受到外力以后

会产生一些形变

那么我们考虑其中微小的一段

这一段上面是x 底下是x+⊿x

这段柱体受到的外力呢

在单位面积长度

和面积上受到的外力是f(x)

那么我们写成f(x)乘上⊿x

那么就是这一小段受到的外力

一个近似

那么我们可以把整个一小段

想成一个质体

它上下用弹簧来连接

那么整个这段柱体

可以想成非常多的很多小质体

用很多小弹簧

连接出来的一个模型

那么大家可以看到

当你把这样一个柱体

在受力情况发生形变的情况

想成很多质体

通过很多小的弹簧连接的

这样一个模型以后

那么我们可以写出

这个受力的一个

和弹性形变等等之间的一些关系

这个下面受到的力

这个y(x)+⊿x

这上端受到的力是y(x)

那么-f⊿x=y(x+⊿x)-y(x)

那么大家对应着我们前面说过的

这样一个质体

在上下弹簧连接以后

它受到的力f恰好就等于y_1-y_2

那么把这两个可以对照一下

那么它

我们把⊿x除过去以后呢

这就是f(x)等于

这样一个表达式

这个表达式呢实际上

如果⊿x取的很小的时候

那么我们可以看到实际上

这个当⊿x趋于0的时候

它恰好是y(x)的极限

就是y(x)的倒数

那么e(x)呢

我们作为单位长度

和面积上的伸缩

那么e(x)跟u(x)的关系

是这样一个关系

e(x)=(u(x+⊿x)-u(x))/⊿x

那么这个呢

我们可以跟刚才两个质体

通过一个弹簧相连

那么这个弹簧的形变量

和质体的位移之间的关系

大家可以跟这个

把它试着对照一下

这个弹簧的这个形变量e

就等于u2减u1

当⊿x趋于0以后呢

我们假设u(x)

有比较好的分析性质

那么可以类比du(x)/dx

它可以约等于这个式子

这当然之间有误差

但是当⊿x趋于0之后

这个极限呢我们知道

应该是在uu(x)在那一点的倒数

那么我们也可以写成

(u(x)-u(x-⊿x))/⊿x

或者写成这种形式

那么这个呢

这三种形式取的不一样以后

会有不同的误差

这也就概括了一个连续的

用离散的去换

那么这个离散呢

我们把这个是叫向前差分

这个是向后差分

而这个呢我们叫中心差分

而同样地 u的二阶倒数呢

那么我们最后使用这样一种形式

就是我们先考虑的是向前差分

再考虑向后差分

最后合在一起

得到了这样一个表达形式

也就是说这样一个连续的形式

我们用一个差分的离散形式去换

那么在我们现在的情况呢

我们还要加一个c(x)

c(x)是弹性系数

随着x的变化呢

这个柱体不同位置的伸缩量

不一样 所以有不同的c(x)

这样我们得到了这样一个形式

所以现在我们有一个微分方程

e(x)=du(x)/dx

这个微分方程呢

它对应着我们的离散形式

就变成了我们的一个差分方程

那么那个差分方程

就是我们前面的弹簧模型

给出来的

e=Au 这应该u u_1 u_m

e等于Au

那么受力f(x)跟y(x)

之间的求导关系呢

那么我们用f等于

它的差分形式呢

就是离散化的形式

正好是f等于A＾Ty

那么一般地f跟u的关系呢

这样一个表达形式呢

那么在我们这里面呢

就被这样一个形式代替

所以我们的求导

这个d(x)c(x)

这样一个连续的算子

实际上对应的就是

我们的刚性矩阵离散化的形式

这个离散化的形式对应刚性矩阵

也就是我们前面的

离散化的f=Ku

那么现在就变成了f(x)等于

跟u这样一个

连续的微分方程的关系

下面我们再看一下边界条件

而对一个微分方程呢

它有边界条件

那么这个边界条件呢

跟我们离散的时候

我们谈的在边界处的一些关系呢

之间一一对应

大家回忆一下在情形1的时候

在边界的时候呢

我们是u_0和u_4是0

这两个呢是0

那么这两个是0以后呢

我们在情形2的时候

它的边界的情形呢是

e_4=u_4-u_3=u_0=0

在情形3的时候

它的边界的情况是e_4=u_4-u_3=0

而e_1等于这两个 是0

那么这些边界的性质呢

我们都要转换成

微分方程的边界条件

那么这个情况是e_4等于e_1

因为首尾相接 e_4就跟e_1一样

那么相应的

我们得到了四种情形

它的微分方程的边界条件

第一种u_4=u_0=0这种离散的形式

它的边界条件呢

转换成连续的时候边界条件

是找一个u(x)

满足u_0等于u_1等于0

就是这面呢我们是f=Ku

那么这边呢我们是

f(x)=-d/dx (d(c(x)du/dx)

那么已知f 求u

这个呢是已知f(x) 求u(x)

那么这里面它的边界条件

转换这边呢就是求

u(x)满足u_0等于u_1等于0

那么e

我们知道e(x)是u(x)的导数所以e_4等于0

这变成u_1这个导数也为0

e_4等于e_1等于0

那么这边呢就变成相应的导数

我们考虑的区间

x是属于（0 1）的

正好是两个端 这是e_4 e_1

这边 0 1两端的

情形4呢 e_4等于e_1

那么u_4等于u_1

那么到我们这个就变成了u_0=u_1

这个跟这个对应的

e_1 e_4等于u_0 u_1

这样我们就把边界条件

这四个写出来了