当前课程知识点：线性代数(2) > 第六讲：伪逆 > 6.2 Moore – Penrose 伪逆 > 6.2 Moore – Penrose 伪逆
那我们对于m×n定义一个伪逆
又被称为是
Moore—Penrose伪逆
或者是Moore—Penrose广义逆
它是以其发现者的名字来命名的
那Penrose
是当代著名的数学物理学家
E.H.Moore其实
也是在美国数学史上
非常重要的一位人物
他是20世纪初美国数学的奠基人
他是芝加哥大学
数学系第一任系主任
他担任系主任直到去世
而芝加哥大学的数学系
是美国历史上,继Johns Hopkins
大学之后第二个研究型的数学系
他在芝加哥大学期间
曾经培养了31名博士生
其中包括Birkhoff和Veblen
而这两个人呢
后来分别领导了哈佛
和普林斯顿的第一流的数学系
还有L. Dickson
Dickson是美国第一位代数学家
数论学家
还有Robert Moore
他奠定了美国的拓扑学基础
那1920年E.H.Moore提出了
矩阵伪逆的概念
而Penrose呢
当代英国著名的数学物理学家
1988年沃尔夫奖得主
著名的工作有他跟霍金合作
证明了广义相对论的奇点存在性
那Moore意义下的伪逆
是对一个m×n的矩阵
如果呢有一个n×m的矩阵X
满足AX等于到A的列空间的投影
XA呢等于到X的列空间的投影
那么我们就称这个n×m的矩阵X
叫做是m×n的矩阵A的伪逆
E.H.Moore意义下的伪逆
和Penrose意义下的伪逆
都是对复矩阵来讨论
那么我们在这里
限制到实矩阵上来说
是为了记号的方便
其实对于复矩阵有更大的自由性
E.H.Moore意义下的伪逆
虽然呢是只有两个方程
那么其实这个定义
不容易理解和应用
因为对这个投影矩阵
不好去应用
那么因此E.H.Moore给了定义之后
一直没有引起重视
到1955年 当时还是
博士研究生的Penrose给出了
伪逆的如下的定义
假设A是一个m×n的实矩阵
如果有一个n×m的矩阵X
满足下面的四个方程
AXA等于A XAX等于X
（AX）＾T等于AX
(XA）＾T等于XA
那注意到如果一开始
A是一个复矩阵
那我们在(3) (4)里头
转置就变成是共轭转置
好
那么对于实的m×n的矩阵而言
如果有一个n×m的实矩阵X
满足这样的四个方程
我们就把n×m的矩阵X
叫做m×n矩阵A的Penrose伪逆
那Penrose方程组
尽管是含有四个方程
但是呢它仅涉及了两个矩阵A和X
事实上它更易于研究和应用
而的确如此
自从Penrose关于伪逆的论文
发表之后
伪逆得到了更广泛的应用
我们还可以注意到
E.H.Moore意义下的伪逆
与Penrose意义下的伪逆
其实是相同的
二者的定义是等价的
那么Penrose的这四个方程呢
注意到（1） （3）方程
是说AX这个矩阵
是一个对称矩阵
AX这个矩阵是一个幂等矩阵
也就是说(AX)＾2等于AX
那么这两个呢是说AX这个矩阵
是一个投影矩阵
那同样地
（2） （4）这个方程是说XA这个矩阵
是一个投影矩阵
那么我们想要说给定一个
m×n的实矩阵
我们之前用A的奇异值分解
所定义的A^+
它是满足Penrose的四个方程的
唯一的一个n×m的矩阵
怎么来看
我们说由奇异值分解
所定义出来的这个A^+
等于V∑^+U^T
那么刚才由A的伪逆的性质
我们说A去乘以A^+
它是一个投影矩阵
从R＾m到A的列空间
到A的列空间的投影矩阵
而A^+乘以A呢
是R＾n到A的行空间的投影矩阵
A的行空间不是别的东西
就是A^+的列空间
我们注意到它们都是由v_1到v_r
所张成的子空间
好 这样的话
满足Penrose的四个方程
那么说Penrose的方程
它解释有存在性呢
我们来看一下唯一性
是有件有意思的事情
假设X和Y都是A的Penrose伪逆
它满足Penrose的四个方程
那么我们来证X和Y
一定要是相等的
那由Pnerose的第二个方程
我们知道X是等于XAX
那么把AX放在一起
我们说它是一个对称矩阵
所以它等于(AX)^T
那么(AX)＾T写出来
就是X＾T去乘以A＾T
那么再利用第一个方程
我们说A是等于AYA
而A＾T等于（AYA）＾T
这是第一条
那么写开来之后
就是X X＾T
去乘以A＾TY＾TA＾T
那么Y＾T乘以A＾T
是等于（AY）＾T
根据第三条它是等于AY
同样呢 X＾T乘以A＾T
是等于(AX)＾T等于AX
那么再根据第一条
AX去乘以A是等于A
那么我们就得到XA再去乘以Y
又因为Y等于YAY
这是第二条性质
那么YA又等于（YA）＾T
这是第四条性质
那我们把它给代到这边来
就变成是XA
（YA）＾T就是
A＾TY＾T再乘以Y
XA根据第四条是等于（XA）＾T
那么和这个A＾T的合在一起
变成是（AXA）＾T
而根据第一条
AXA是等于A
所以这一步得到A＾T
所以我们有A＾TY＾TY
那再利用
这个A＾TY＾T是（YA）＾T
利用第四条
（YA）＾T是等于YA
所以我们又等于YAY
那再利用第二条YAY是等于Y的
于是我们就有X等于Y
说Penrose伪逆它是唯一的
而我们由奇异值分解
所得到的这个伪逆
它是一个Penrose伪逆
那么它是一个唯一的
在Penrose意义下的伪逆
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
