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6.2 Moore – Penrose 伪逆在线视频

6.2 Moore – Penrose 伪逆

下一节:6.3 最小二乘法

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6.2 Moore – Penrose 伪逆课程教案、知识点、字幕

那我们对于m×n定义一个伪逆

又被称为是

Moore—Penrose伪逆

或者是Moore—Penrose广义逆

它是以其发现者的名字来命名的

那Penrose

是当代著名的数学物理学家

E.H.Moore其实

也是在美国数学史上

非常重要的一位人物

他是20世纪初美国数学的奠基人

他是芝加哥大学

数学系第一任系主任

他担任系主任直到去世

而芝加哥大学的数学系

是美国历史上,继Johns Hopkins

大学之后第二个研究型的数学系

他在芝加哥大学期间

曾经培养了31名博士生

其中包括Birkhoff和Veblen

而这两个人呢

后来分别领导了哈佛

和普林斯顿的第一流的数学系

还有L. Dickson

Dickson是美国第一位代数学家

数论学家

还有Robert Moore

他奠定了美国的拓扑学基础

那1920年E.H.Moore提出了

矩阵伪逆的概念

而Penrose呢

当代英国著名的数学物理学家

1988年沃尔夫奖得主

著名的工作有他跟霍金合作

证明了广义相对论的奇点存在性

那Moore意义下的伪逆

是对一个m×n的矩阵

如果呢有一个n×m的矩阵X

满足AX等于到A的列空间的投影

XA呢等于到X的列空间的投影

那么我们就称这个n×m的矩阵X

叫做是m×n的矩阵A的伪逆

E.H.Moore意义下的伪逆

和Penrose意义下的伪逆

都是对复矩阵来讨论

那么我们在这里

限制到实矩阵上来说

是为了记号的方便

其实对于复矩阵有更大的自由性

E.H.Moore意义下的伪逆

虽然呢是只有两个方程

那么其实这个定义

不容易理解和应用

因为对这个投影矩阵

不好去应用

那么因此E.H.Moore给了定义之后

一直没有引起重视

到1955年 当时还是

博士研究生的Penrose给出了

伪逆的如下的定义

假设A是一个m×n的实矩阵

如果有一个n×m的矩阵X

满足下面的四个方程

AXA等于A XAX等于X

（AX）＾T等于AX

(XA）＾T等于XA

那注意到如果一开始

A是一个复矩阵

那我们在(3) (4)里头

转置就变成是共轭转置

好

那么对于实的m×n的矩阵而言

如果有一个n×m的实矩阵X

满足这样的四个方程

我们就把n×m的矩阵X

叫做m×n矩阵A的Penrose伪逆

那Penrose方程组

尽管是含有四个方程

但是呢它仅涉及了两个矩阵A和X

事实上它更易于研究和应用

而的确如此

自从Penrose关于伪逆的论文

发表之后

伪逆得到了更广泛的应用

我们还可以注意到

E.H.Moore意义下的伪逆

与Penrose意义下的伪逆

其实是相同的

二者的定义是等价的

那么Penrose的这四个方程呢

注意到（1） （3）方程

是说AX这个矩阵

是一个对称矩阵

AX这个矩阵是一个幂等矩阵

也就是说(AX)＾2等于AX

那么这两个呢是说AX这个矩阵

是一个投影矩阵

那同样地

（2） （4）这个方程是说XA这个矩阵

是一个投影矩阵

那么我们想要说给定一个

m×n的实矩阵

我们之前用A的奇异值分解

所定义的A^+

它是满足Penrose的四个方程的

唯一的一个n×m的矩阵

怎么来看

我们说由奇异值分解

所定义出来的这个A^+

等于V∑^+U^T

那么刚才由A的伪逆的性质

我们说A去乘以A^+

它是一个投影矩阵

从R＾m到A的列空间

到A的列空间的投影矩阵

而A^+乘以A呢

是R＾n到A的行空间的投影矩阵

A的行空间不是别的东西

就是A^+的列空间

我们注意到它们都是由v_1到v_r

所张成的子空间

好 这样的话

满足Penrose的四个方程

那么说Penrose的方程

它解释有存在性呢

我们来看一下唯一性

是有件有意思的事情

假设X和Y都是A的Penrose伪逆

它满足Penrose的四个方程

那么我们来证X和Y

一定要是相等的

那由Pnerose的第二个方程

我们知道X是等于XAX

那么把AX放在一起

我们说它是一个对称矩阵

所以它等于(AX)^T

那么(AX)＾T写出来

就是X＾T去乘以A＾T

那么再利用第一个方程

我们说A是等于AYA

而A＾T等于（AYA）＾T

这是第一条

那么写开来之后

就是X X＾T

去乘以A＾TY＾TA＾T

那么Y＾T乘以A＾T

是等于（AY）＾T

根据第三条它是等于AY

同样呢 X＾T乘以A＾T

是等于(AX)＾T等于AX

那么再根据第一条

AX去乘以A是等于A

那么我们就得到XA再去乘以Y

又因为Y等于YAY

这是第二条性质

那么YA又等于（YA）＾T

这是第四条性质

那我们把它给代到这边来

就变成是XA

（YA）＾T就是

A＾TY＾T再乘以Y

XA根据第四条是等于（XA）＾T

那么和这个A＾T的合在一起

变成是（AXA）＾T

而根据第一条

AXA是等于A

所以这一步得到A＾T

所以我们有A＾TY＾TY

那再利用

这个A＾TY＾T是（YA）＾T

利用第四条

（YA）＾T是等于YA

所以我们又等于YAY

那再利用第二条YAY是等于Y的

于是我们就有X等于Y

说Penrose伪逆它是唯一的

而我们由奇异值分解

所得到的这个伪逆

它是一个Penrose伪逆

那么它是一个唯一的

在Penrose意义下的伪逆

线性代数(2)课程列表：

第一讲：正定矩阵

-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件

--1.1 实对称矩阵A正定的充要条件

-1.2 典型例题

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-1.3 半正定矩阵及其判别条件

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-1.4 二次型

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-1.5* 有心二次曲线(central conic)

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-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面

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-1.7 二次型的分类

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-1.8 矩阵的合同

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-1.9* 惯性定理的证明

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-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号

--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号

-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用

--1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用

-第一讲讲义

-第一讲：正定矩阵--课后习题

第二讲：相似矩阵

-2.1 引言

--2.1 引言

-2.2 相似矩阵的性质

--2.2 相似矩阵的性质

-2.3 Jordan标准形

--2.3 Jordan标准形

-2.4 定理的证明

--2.4 定理的证明

-2.5 Jordan标准形的应用

--2.5 Jordan标准形的应用

-第二讲讲义

-第二讲：相似矩阵--课后习题

第三讲：奇异值分解

-3.1 引言

--3.1 引言

-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

-3.3 例题

--3.3 例题

-3.4 奇异值分解的应用

--3.4 奇异值分解的应用

-第三讲讲义

-第三讲：奇异值分解--课后习题

第四讲：线性变换 I

-4.1 线性变换的定义和性质

--4.1 线性变换的定义和性质

-4.2 线性变换的运算

--4.2 线性变换的运算

-4.3 线性变换的矩阵表示

--4.3 线性变换的矩阵表示

-4.4 线性变换与矩阵之间的关系

--4.4 线性变换与矩阵之间的关系

-第四讲讲义

-第四讲：线性变换 I--课后习题

第五讲：线性变换 II

-5.1 恒同变换与基变换

--5.1 恒同变换与基变换

-5.2 图像压缩——基变换的应用

--5.2 图像压缩——基变换的应用

-5.3 线性变换在不同基下的矩阵

--5.3 线性变换在不同基下的矩阵

-5.4 矩阵分解与基变换

--5.4 矩阵分解与基变换

-5.5 线性变换的核与像

--5.5 线性变换的核与像

-5.6 不变子空间

--5.6 不变子空间

-5.7* 幂零变换

--5.7* 幂零变换

-5.8* Jordan标准形

--5.8* Jordan标准形

-第五讲讲义

-第五讲：线性变换 II--课后习题

第六讲：伪逆

-6.1 伪逆

--6.1 伪逆

-6.2 Moore – Penrose 伪逆

--6.2 Moore – Penrose 伪逆

-6.3 最小二乘法

--6.3 最小二乘法

-第六讲讲义

-第六讲：伪逆--课后习题

第七讲：工程中的矩阵

-7.1 简介

--7.1 简介

-7.2 弹簧模型

--7.2 弹簧模型

-7.3 变量的线性关系

--7.3 变量的线性关系

-7.4 刚度矩阵

--7.4 刚度矩阵

-7.5 从离散到连续

--7.5 从离散到连续

-第七讲讲义

-第七讲：工程中的矩阵--课后习题

第八讲：图与网络

-8.1 简介

--8.1 简介

-8.2 图和矩阵

--8.2 图和矩阵

-8.3 网络和加权Laplacian矩阵

--8.3 网络和加权Laplacian矩阵

-8.4 关联矩阵的四个基本子空间

--8.4 关联矩阵的四个基本子空间

-8.5 注记

--8.5 注记

-第八讲讲义

-第八讲：图与网络--课后习题

第九讲：Markov矩阵和正矩阵

-9.1 问题引入

--9.1 问题引入

-9.2 Markov矩阵

--9.2 Markov矩阵

-9.3 正Markov矩阵

--9.3 正Markov矩阵

-9.4 正矩阵

--9.4 正矩阵（第一部分）

--9.4 正矩阵（第二部分）

-第九讲讲义

-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题

第十讲：Fourier级数

-10.1 引言

--10.1 引言

-10.2 内积空间

--10.2 内积空间

-10.3 傅里叶级数

--10.3 傅里叶级数

-10.4 投影

--10.4 投影

-10.5 关于Fourier变换的注记

--10.5 关于Fourier变换的注记

-第十讲讲义

-第十讲：Fourier级数--课后习题

第十一讲：计算机图像

-11.1 引言

--11.1 引言

-11.2 平移

--11.2 平移

-11.3 伸缩

--11.3 伸缩

-11.4 旋转

--11.4 旋转

-11.5 投影和反射

--11.5 投影和反射

-第十一讲讲义

-第十一讲：计算机图像--课后习题

第十二讲：复数与复矩阵

-12.1 引言

--12.1 引言

-12.2 复矩阵

--12.2 复矩阵

-12.3 复正规阵

--12.3 复正规阵

-12.4 离散Fourier变换

--12.4 离散Fourier变换

-12.5 快速Fourier变换

--12.5 快速Fourier变换

-第十二讲讲义

-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题

结课寄语

-结课寄语

--结课寄语

6.2 Moore – Penrose 伪逆笔记与讨论

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