当前课程知识点：线性代数(2) > 第二讲：相似矩阵 > 2.2 相似矩阵的性质 > 2.2 相似矩阵的性质
我们这小节来看一下
相似矩阵的性质
相似矩阵A和B等于P^{-1}AP
它具有相同的特征多项式
因此具有相同的特征值
相同的迹 相同的行列式
这是因为我们看B的特征多项式
入I-B的行列式
那么把B给换成P^{-1}AP
P^{-1}和P可以提出来
那么矩阵乘积的行列式
等于行列式的乘积
因此等于P^{-1}的行列式
乘以入I-A的行列式
去乘以P的行列式
那么P^{-1}的行列式
等于P的行列式的逆
因此等于1
那么就等于A的特征多项式
这样两个相似矩阵
A和B的特征多项式是相等的
那么它的根
也就是特征值是相等的
这些特征值的和
也就是矩阵的迹是相等的
特征值的乘积也就是行列式
是相等的
这是两个相似矩阵的性质
那么假设v是矩阵A关于特征值
入的特征向量
我们来看看它的相似矩阵B
等于P^{-1}AP
它的特征向量的性质
我们先看Av等于入v
那么A和B的关系
A等于PP^{-1}乘以v等于入v
然后我们把P这个矩阵
可逆矩阵同边同乘以它的逆矩阵
我们就得到B去乘以P^{-1}v
等于入去乘以P^{-1}V
那么我们因此得到说
P^{-1}v它是A的相似矩阵B
关于特征值入的特征向量
这是相似矩阵特征向量的关系
相似矩阵我们刚才看到
它具有相同的特征值
但是反过来两个矩阵如果
具有相同的特征值的话
它未必是相似的
我们看例子A这个3乘3的矩阵
B是一个对角阵5 -1 -1
而C是对角线是5 -1 -1
然后这个位置上有一个1
那么这三个矩阵
它们的特征值都是5 -1 -1
我们可以证明说
大家看A因为是一个对称矩阵
它一定是相似于对角阵
我们可以说A和B是相似的
但是注意到C这个矩阵
它和AB都是不相似的
那么虽然具有相同的特征值
但是不相似
我们的问题是说
给定两个矩阵A和B
如何判定它们是不是相似
简单的情况
如果A B都是可以对角化的
那么我们就可以比较
是否具有相同的特征值
如果具有相同的特征值的话
A和B就相似
这是因为如果A和B都可以对角化
也就是说我存在着可逆矩阵
使得A相似于对角矩阵
那么同样存在可逆矩阵
使得B相似于对角阵
那么这个对角阵上的元素
对角元就是各自的特征值
如果二者具有相同的特征值
那么根据传递性
它们俩一定是相似的
这是简单的情况
那一般的情况呢
我们不见得能够对角化
但这时候
我们可以像简单情形一样
去找一个所谓的最简形式
我们叫做相似标准形
那么给你两个矩阵
我们去各自比较
各自去得到它的相似标准形
然后比较相似标准形是不是相同
来借此判断它们是否相似
这个相似标准形是什么样子呢
是我们接下来
要介绍的Jordan标准形
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
