当前课程知识点：线性代数(2) > 第八讲：图与网络 > 8.5 注记 > 8.5 注记
我们在这一小部分呢
我们来证明回路矩阵的零空间
等于关联矩阵列空间
我们在前面已经说过
B乘上A等于零
就是回路矩阵乘上A的列等于零
这个意思我们大家可以回忆一下
A的列 或者由A的列
线性组合出来的向量
代表的从物理电路上来看呢
代表的是各个边上的电势差
那么各个边上的电势差
B的每一行代表的是一条回路
极小回路
那么用B的行跟A的列相乘
那么相当于呢
A的关于某一个回路电势差之和
那么由科尔霍夫电压定律
这个等于零是非常合理的
所以由科尔霍夫电压定律
我们首先就能得到
A的列空间
肯定是在B的零空间里面
反过来我们要说明
B的零空间中的任何一个向量
它都要属于A的列空间
我们刚才看一下
A的列空间中的
每一个向量的特点
比如说A乘上一个x_1到x_n
x_1到x_n是n个顶点的电势
A乘上这个向量以后呢
我们得到的是各个边上的电势差
那么相应的x_j-x_k
就是j和k两个顶点上的电势差
顶点连线
j和k连线的边上的电势差
那么我们要想说明
N（B）中的向量属于C（A）
那么我们只要说明
任何一个向量属于B的零空间
它最后都能写成
这样一种形式 就可以了
那么设e属于N（B）
那么我们可以取定
这个连通图的一个极大树子图
然后在这个极大树子图T上
取一个顶点作为基点
那么任意的另外一个顶点K
跟这个基点之间
它们连线的路
在T上只有一条这样的路
因为如果有两条
比如说这个是基点 这个是K
那么在T中如果有两条的话
这样的路呢
那么在T中就产生了一个回路
所以T是一个树
它不可能有回路
所以在T中有唯一的一条
连接K到基点的路
那么我们定义K的电势是什么呢
K的电势呢就是
在这条路上各边的电势之和
各边的电势之和
我们这个e_1到e_m呢
我们可以刻画各个边上的电势
那么我们可以看到e属于N（B）
我们实际上可以检查出
任意边上的电势差实际上是
e_j等u_k减u_1
那么其中的这个k呢为j的起点
l为j的终点
最后我们就可以得到e=-Au
所以e就属于C（A）
就是这个地方呢
我们要使用e属于N（B）
我们才能检查出
任意边上的这个电势差
等于u_k减u_l
就是要满足科尔霍夫电压定律
另外一个注记呢
我们想说明欧拉公式
就是给定一个连通图呢
有n个顶点 m条边
有l个极小回路
那么欧拉公式告诉我们
n减m加l等于1
大家注意 我们在立体几何
中学立体几何我们学过
一个公式是V-E+F=2
这是三维空间中的欧拉公式
也就是说给你一个多面体
这个多面体的顶点的个数V
减去这个多面体边的个数E
再加上这个多面体的面的个数F
等于2
不管这个多面体是什么形状的
那么在二维的时候呢
这个欧拉公式后面就变成1了
这个n呢 就是顶点个数
减去边的个数
加上回路的个数等于1
当然大家如果有兴趣
还可以考虑更高维的情形
比如说n维空间
给你一个多面体
那么n维空间呢
它不同维数有不同维数的面
我们比如说n维空间中
n-1维我们叫超平面
n-2维呢我们也可以叫做面或边
那么我们算各个维度的这个面
面的数量之和
然后我们来看一下
它们的公式呢 确切形式
那么在现在这种情况呢
我们这个回路的个数呢
等于边数减去n-1
那么我们从我们线性代数的角度
来理解一下
那么这个l呢
代表的极小回路的个数
那么l正好是我们B的行数
那么这个m是我们边数
也就是说代表的是B的列数
B的行数等于l
这个B就是我们回路矩阵
B的列数是等于m
那么这个n-1呢
n-1我们知道是C(A)的基的秩
或维数
我们设回路矩阵B的秩是r_B
那么我们可以看到
因为N（B）等于C（A）
所以N（B）就是B的列数
减去B的秩等于n-1
所以大家看到B的秩
应该是等于B的行数
也就是说B一个行满秩阵
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
