当前课程知识点：线性代数(2) > 第五讲：线性变换 II > 5.8* Jordan标准形 > 5.8* Jordan标准形
我们回到任意的线性变换
V到V的线性变换𝛔
那么特征子空间V_𝜆
是使得线性变换𝛔
减掉𝜆乘以恒同变换
在其上作用为零的最大的子空间
类似地我们可以引入一个
根子空间的概念
这里我们不去详细地说明
我们说这个定义是说𝛔
减掉𝜆去乘以恒同变换
这个线性变换在某一个子空间上
它是幂零的最大子空间
我们称为是属于特征值
𝜆的根子空间
那么对于非零向量v
存在着一个整数m大于等于0
使得(𝛔-𝜆 I)^m
作用在v上等于0
我们就把v称为是属于特征值
𝜆的根向量
那么这个根子空间
是这种根向量再加上零向量的
这样一个子空间
根子空间是特征子空间的推广
我们不加证明地说明
根子空间R_𝜆是线性变换𝛔
减掉𝜆
乘以恒同变换的不变子空间
进而它是𝛔的不变子空间
那当𝜇不等于𝜆的时候𝛔
减𝜇乘以恒同变换
这个线性变换限制在
根子空间R_𝜆上是可逆的𝛔
减掉𝜆乘以恒同变换
限制在R_𝜆上
是一个幂零变换
那么它是不可逆的
那当这个数我们取成
不等于𝜆的时候
可以证明这是一个可逆的变换
而我们可以类似地去证明
属于不同特征值的根向量
是线性无关的
对于线性变换𝛔的任何特征值
𝜆的根子空间
R_𝜆的维数
是等于这个特征值的代数重数
而这是根子空间
比特征子空间的优越之处
我们知道特征子空间的维数
是等于几何重数
这是小于等于其代数重数的
但是对于根子空间而言
它的维数是等于
特征值的代数重数
好 那么对于任何一个
从V到V的线性变换
如果它的特征值都落在
我们相应的这个数域里头
那我们的这个大空间
V就可以写成线性变换
根子空间的直和
并且这些根子空间
又是线性变换𝛔的不变子空间
这样我们就把大空间分解成
不变子空间的直和
由于𝛔-𝜆I
这个变换限制在R_𝜆上
是幂零变换
根据前面关于幂零变换的讨论
每一个根子空间R_𝜆
它可以分解成
𝛔-𝜆I的不变子空间
W_i的直和
而这个这个𝛔-𝜆I
限制在每个W_i上是循环线性变换
这样也就是说
我们存在着一组基
使得𝛔-𝜆I
在W_i上的限制它的矩阵表示
是特征值为零的一些Jordan块
那么这个Jordan块
就是前面我们给的
这种样子的Jordan
那么我们找到了好基底
那么𝛔这个线性变换
它限制在W上呢
在这组基下的矩阵
就变成是特征值为𝜆的
相应阶数的Jordan块
那么这样呢我们对线性变换
把它分解成根子空间的直和
根子空间是不变子空间
我们每一个𝛔－𝜆I
限制在根子空间R_𝜆上
是幂零变换
然后幂零变换又可以
把相应的这个根子空间
去分解成W_i的直和
它限制在这上面是循环线性变换
从而使得我们能找到好的基底
在每一个根子空间上
这个𝛔在这组基底下的矩阵表示
是这种Jordan块的样子
那么这样的话
我们就证明了对于任何
V到V的线性变换
如果它的特征值
都落在数域F里头
我们要有特征值
那我们就可以找到好基底
这个基底又叫Jordan基
在这些基底下面
线性变换的矩阵是Jordan矩阵
也就是说我们的Jordan标准形
可以写成Jordan块的这种形式
每一个Jordan块是这种样子
那么这样上一节的讨论
我们就知道
在Jordan标准形中
m阶Jordan块的个数的公式
在这里照样是成立的
因为我们这些Jordan块
是来源于幂零变换的
那些个Jordan块
换言之刚才的定理也可以叙述成
如果F是一个代数闭域
也就是说我们的特征值
都能落在F里头
而V是F上的一个
有限维的向量空间𝛔
是V到V的线性变换
我们一定会存在着𝛔的好的基底
刚才找出来的基
起个名字叫Jordan基
使得𝛔在原来旧基底下的矩阵A
可以经过基变换化成Jordan矩阵
那么也就是说存在着
非退化的矩阵P
使得P＾｛-1｝AP
等于Jordan标准形J
那么这样的话
Jordan标准形J
和原来的矩阵A都可以看成
一个线性变换𝛔
在不同基下的矩阵表示
那么我们通过
对幂零变换的讨论
以及根子空间的这种粗略的讨论
我们最后给出了
Jordan标准形的证明
从理论层面上
向量空间及其线性变换
是线性代数的主要研究对象
给定向量空间的基底
线性变换与其矩阵表示一一对应
对线性变换的研究
可以转化成对矩阵的研究
当基底变换时
矩阵表示也会相应变化
特别是从向量空间
到自身的线性变换
在不同基下的矩阵表示
互为相似矩阵
所以我们往往希望找到好基底
使得矩阵表示尽可能简单
这种朴素而重要的思想
值得大家好好体会
这节课就到这里
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
