当前课程知识点：线性代数(2) > 第一讲：正定矩阵 > 1.7 二次型的分类 > 1.7 二次型的分类
接下来我们来看一下
二次型的分类
我们说当这个A
是一个n阶的实对称矩阵的时候
二次型f（x）
也就是X转置AX
可以看成它是一个
定义在n维实向量空间上的
一个实值的函数
我们来讨论这个函数的图
我们把这个函数是叫做z
z等于f（x）等于X的转置AX
它的图
我们举几个简单的例子来看
那这个是3x1的平方加5x2的平方
等于z 它的图象
我们发现它除了x等于0点之外
这个f（x）的值都是正数
b）z等于3x1的平方
它的图象是这样
c）z等于3x1的平方减5x2的平方
d）z等于-3x1的平方减5x2的平方
那这张图呢
除了x1x2都等于0的点之外
这个z函数的值都是负数
好 根据这样的特点
我们来看
我们说我们把一个二次型
f（x）等于X的转置乘以AX
叫做是正定的
是指的对于所有非零的向量x
如果我们f（x）的这个函数值
都是大于0的
我们就叫这个二次型
是正定二次型
相应地
如果对于所有的非零的向量x
f（x）的值都是小于0的
我们就把这个二次型
叫做是负定的
那么如果f（x）的值
既有正的 又有负的
我们就自然地给它一个名字
叫这个二次型是不定的
不能确定符号的
如果对于所有的x
f（x）这个函数值
都是大于等于0的
我们就叫这个二次型是半正定的
相应呢
如果对于所有x，f(x)函数值都是小于等于0的
我们就叫作这个二次型是半负定的
那我们前面已经提到过说
你的二次型
跟你相应的实对称矩阵
它们有一个一一对应的关系
我们从刚才这个
二次型的正定 负定 不定
半正定 半负定的定义里头
我们看出来它对应着
比如说我们正定矩阵
来判断的等价条件的第2条
那么我们说
相应于二次型的这些个定义
我们可以给实对称矩阵
来定义正定实对称矩阵
负定 不定 半正定和半负定
这个是有一一对应的关系
那我们又知道呢
正定矩阵我是有若干条
来判别条件的
我们说有一条呢
我们作为正定矩阵的定义给出来
是所有的特征值都是正数
那么对于二次型
我们也可以给出来
它与特征值的关系
我们说A是一个n阶的实对称矩阵
二次型f（x）等于X的转置
乘以AX是正定的
等价于这个实对称矩阵
所有特征值都是正数
如果它是负定的呢
等价于它的所有特征值都是负数
它是不定的
等价于它的特征值既有的正的
又有负的
那这是对应着我们这个矩阵
A正定
我们矩阵也可以有负定矩阵
特征值都是负数
对应着A
特征值既有正的 又有负的
我们叫这个矩阵是不定矩阵
二次型的分类
和对应的这个实对称矩阵的分类
是一一对应的
好 下面我们来给一道题目
我们为什么前面来看二次曲面
为什么二次曲面给的方程
有二次项 有常数项 有一次项
这样的一个方程
比如说下面这个方程
它的几何形状我们给出来
六类基本的二次曲面
那么
它是怎样跟我们的二次型
结合在一起
怎么跟我们的实对称矩阵
结合在一起
下面这个例子是一个好例子
化简二次方程
这个二次方程前面的几项
是二次项
它变量是x1 x2 x3
前面是二次项
然后有一次项
然后有常数项等于0
我们来判断
它表示三维空间中的一张
什么样的曲面
好 我们先把它化成
我们能够处理的形状
我们可以把这个二次项的部分
写成一个二次型的样子
那这是二次齐次多项式函数
这一部分
我们总是可以对应出来
它的实对称矩阵
那完全平方根的部分
这个系数是1 2 2
也就是对角线上的1 2 2
然后有一个交叉项
x2 x3的系数是-4
我们分成两半
在2 3的位置上我们写上-2 -2
这是我们二次型部分
对应出来的实对称矩阵
我们把x1 x2 x3
作为向量x的分量
记成是x向量
我们把常数项的系数-2
2倍的根2 -6倍的根2
叫做是常数向量b
那么这个曲面的方程
就可以写成X转置AX
这个二次型部分再加上b
作下转置以后去乘以X
这个列向量 这是一次项部分
然后再加上常数项5等于0
这样的一种形式
好 我们希望对它进行化简
然后去跟
我们已经给出来的六类
基本的二次曲面的方程去靠拢
我们看是哪一种形状
对于A这个实对称矩阵
我们可以求出来它的特征值
分别是1 4 0
可以求出来相应的单位特征向量
Xi 1是1 0 0
Xi 2是根下2分之1 0 1 -1
Xi 3是根下2分之1 0 1 1
我们用这三个单位特征向量
因为它分属于不同的特征值
它们是相互正交的
我们用它们来作为列向量
作出矩阵Q
那Q这个矩阵是正交矩阵
于是
我们使得A正交相似于对角阵
因为是正交矩阵
所以前面是Q的转置
AQ等于对角阵
对角线上的元素
是我们相应的特征值1 4 0
那么我们刚才的这个X转置AX
再加上B转置X
再加上5等于0
这是我们二次曲面的方程
把A用Q转置AQ等于Lambda
给换成A等于Q Lambda Q转置
代入到这里头去
那我们就变成了是
X转置Q Lambda Q转置X
那我们把这个Q转置X叫成是y
因此X就等于Qy
好 我们把这个x等于Qy
代到里头
那么就出现下面这种样子
B转置乘以Qy
这个第一项是x给换成Qy
这种样子
那么这个用分量的形式写出来
也就是y1的平方加4y2平方
减2y1加8倍的y2减4y3加5等于0
这是一次项部分
这是把二次型化成对角形的
标准二次型部分
因为我们特征值是1 4 0
所以我们有两项完全平方项
好 变成这种样子之后
我们可以去做配方
我们可以做配方给化成
y1-1的平方
再加上4倍的y2+1的平方
等于4倍的y3
那去跟六类基本的二次曲面方程
作比较 我们知道
这是一张椭圆抛物面
好 这样我们就求出来
给定的二次方程
所代表的曲面的形状
从这个过程里头
我们看我们把二次方程
给做了转换
写成二次型的部分
再加上常数向量
去乘以我们的变量
再加上常数项等于0的这种形状
把二次型的部分
去化成对角形的标准型
相应的这个一次项也作了变换
于是我们再做配方
然后去跟基本的形状做比较得出
这个曲面的几何形状
这是二次型的一个应用
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
