4.4 线性变换与矩阵之间的关系在线视频

那由前面的讨论

我们知道在n维的向量空间V中

我们可以任取基底v1到vn

m维的向量空间W中

我们任取基底w1 wm

那么任何一个

从V到W的线性变换σ

总是对应着

唯一的一个m×n的矩阵

那么反过来

任何一个m×n的矩阵A

我们是否也有

唯一的一个线性变换

以它为给定基底下的矩阵

我们这节课来讨论

线性变换与矩阵之间的关系

我们设v1到vn是n维向量空间

V的一组基

w1 wm是是m维向量空间

W的一组基

A是任何一个m×n的矩阵

我们说

一定有唯一的一个线性变换σ

它满足σ

在V和W的这两组基底下

它们的矩阵表示

就是你给定的这个A

这样我们有线性变换

找到了矩阵A

我们要由A可以对应出

唯一的线性变换

好 我们来看一下

简单的证明思路

那我们来构造出这个线性变换来

怎么构造呢

我们就用矩阵A的第j列元素aij

这个i是从1到m的

作为坐标来构造向量β β_j β_

j是a_{1j}w_1 +a_{2j}w_2 +a_{mj}w_m

这样我们得到了n个向量β

1到β_n

然后我们来构造这个线性变换σ

它满足把V中的向量w_j

给映成β_j

那只要知道了σ(v_j)等于β_j

那么我们就知道对于

V中的任何向量V

设这个V它是v_1到v_n的线性组合

我们就会知道σ如何在V上作用

它一定等于Σc_j v_j

我们就确定了这个线性变换σ

那于是σ在

这样的两组基底下的作用

我们来看一下σ(v_1) σ(v_n)

那这是一个记号

它等于σ(v_1) σ(v_n)

而σ(v_1)等于β_1 σ_

(v_n)等于β_n

而β_1 β_n呢它分别由w_1 w_m

线性表示的坐标

就是我们A的列

因此我们一定有这个式子成立

这个式子就说明线性变换σ

在V的基 v_1到v_n和W的基

w_1 w_m下的矩阵

就是我们给定的m×n矩阵A

那我们构造出来了

这个线性变换σ

我们来看一下它的维性

我们说如果有两个线性变换σ

和τ

它们都满足说在给定的这个基

v_1,…,v_n;w_1,…,w_m下

它的矩阵都是A的话

那么这个意味着说σ

在v_1上的作用

等于τ在v_1上的这个像σ

在v_2上的像等于在v2上的像σ

在每一个基下的像

等于τ在这个相应的基底的像

那么线性变换σ

在任何的V中的向量

v的像就一定会等于

τ在这个v上的像

那σ一定和τ是相等的

那这样就说明

我们用上面的办法

构造出来的线性变换σ

它一定是唯一的

这样给定了基底

给定了m×n的矩阵A

我们有唯一的线性变换σ

在这两组基底下

它的矩阵表示是A

我们注意到

我们总结起来是说

取定向量空间V和W的基之后

V到W的所有线性变换的全体

跟m×n的矩阵的全体

是一一对应的

我们前面提到

V到W的线性变换的全体

它可以定义加法

可以定义数乘

它是一个向量空间

我们之前也讲过

对于m×n的矩阵的全体

我们可以定义加法

我们可以定义成数乘

它也是一个向量空间

那这样两个向量空间

我们有一一对应的关系

任何一个线性变换σ

我们可以对应

唯一地对应一个m×n的矩阵

同样对于线性变换τ

我们可以唯一地对应出来

一个m×n的矩阵B

那么σ+τ 我们说

它一定会对应着矩阵A+B

很容易可以看到

我们说σ+τ在基底

v_1到v_n下的作用

根据这个σ+τ的定义

它等于σ(v_1...v_n)

再加上τ(v_1 … v_n)

那么σ在基底下的矩阵是A

表示的是σ(v_1 … v_n)

被映成（w_1… w_m）A

同样τ(v_1...v_n)被映成

（w_1 … w_m）B

那么也就是说

我们σ+τ在(v_1...v_n)下的作用

可以用w_1… w_m

写成（w_1… w_m）（A+B）

那么A+B就是σ+τ

这个线性变换在给定基底

v w下的矩阵表示

同样地数k去乘以σ

得到的这个线性变换

它在给定基底下的矩阵是kA

那么这样的两个线性空间

V到W的全体

线性变换构成的向量空间

和m×n的矩阵的这个向量空间

它们保持加法 保持数乘

我们说这两个空间是线性同构

一一对应

并且保持线性运算

我们说这是保持线性运算的双射

它是一个所谓的线性同构

回顾一下英国数学家Arthur Cayley

他是为了表述线性变换的复合

引入矩阵的乘法运算

从而使矩阵

正式成为数学的研究对象的

那有限维向量空间的线性变换的

这个集合

它与给定数域上的m×n的

矩阵的这个集合一一对应

并且保持线性运算

是线性同构

我们想要说的是

它还保持乘法运算

我们来看线性变换的乘积

和矩阵乘积的关系

假设τ是U到V的一个线性变换

而σ是V到W的一个线性变换

我们取U的基记成是u_1...u_p

而V的基我们记成是v_1...v_n

W的基底呢我们取成w_1...w_m

我们设σ和τ

在给定基底下的矩阵是A和B

我们来看σ乘以τ

得到的这个线性变换的乘积

这个新的线性变换

在给定基下的矩阵

我们说一定是A和B的乘积

我们先由定义来看σ

在基底下的矩阵是A

τ在这组基底下的矩阵是B

因此来τ定义σ

和τ的乘积

它在U的基 u_1,…, u_p下的作用

先用τ去作用一下

因为τ作用在u_1,… ,u_p上

就等于v_1,…,v_n去乘以B

那么这时候这个打开来看

是一个线性组合

这个B都是一些数

可以扔出来等价于是σ作用在

v_1到v_n上

那么σ作用在v_1到v_n上

又可以写成w_1,…,w_m去乘以A

由这个式子得到

那么这样的话由结合律

乘法的结合律

我们说στ这个线性变换的乘积

在u_1,…,u_p下的作用

就等于w_1,…,w_m去乘以AB

因此它的矩阵表示是AB σ

的矩阵表示是A

τ的矩阵表示是B σ

和τ的乘积的矩阵表示是AB

我们说这个线性变换的乘积

一一地对应着

它们矩阵表示的乘积

Arthur Cayley就是因为这一条原因

他才这样子给出矩阵的乘积的

所以这点保持并不奇怪

那么特别的地

如果σ是V

到自己的一个可逆线性变换

那么σ在V的某一基下的矩阵

表示是v的话

我们说σ的逆变换σ^{-

1}在这组矩阵下的表示

就是A^{-1}

而这一点容易看出来

若有σ是可逆的

那么我们由σ^{-1}

它使得σ乘以σ^{-1}以后

等于恒同变换

那么在

任意一组给定基下的矩阵表示呢

如果σ的这个矩阵表示叫A

我们假设σ^{-1}的矩阵表示叫B

那么一定会有AB等于

这个恒同变换它的矩阵表示

是单位矩阵

所以我们一定有AB等于单位阵

那么的话这个B不是别的东西

就是A^{-1}

那这个A^{-1}是逆变换

在给定这组基下的矩阵表示

我们看一个例子

假设线性变换τ

它从R＾3映到R＾2

定义是它把x y z这个向量

映成x加y y减z这个二维的向量

而线性变换σ呢

它从R＾2映到R

定义是说u v这个二维向量

映成2u-v u这个二维向量

我们来求σ和τ的乘积

它从R＾3映到R＾2

它在R＾3 R＾2的

标准基下的矩阵

那我们注意到

我们是通过线性变换的合成

来定义线性变换的乘积的

所以στ作用在三维向量

x y z上

是等于τ先去作用一下

那么根据定义

它是x+y y-z

然后再用σ去作用

利用σ的定义我们说

最终的结果是映成2x+y+z

x+y 这个二维向量

所谓标准基呢

R＾3的标准基是e1 e2 e3

它分别是1 0 0

0 1 0和0 0 1

R＾2的标准基我们叫

𝛅_1 𝛅_2

它是1 0 0 1

那根据刚才给出来στ的定义

我们知道στ把e_1

给映到了2 1

那它等于2𝛅_1加𝛅_2 σ

τ(e2)被映到了 1 1

那么等于𝛅_1+𝛅_2 σ

τ(e_3)被映到了1 0

等于𝛅_1

因此而στ

把R＾3中的基底e_1 e_2 e_3

映成被R＾2中的标准基

𝛅_1 𝛅_2

去线性表示

表示的系数是2 1

1 1和1 0

那么这个矩阵C是两行三列

它就是στ

在两组标准基下的矩阵表示

那我们来看一下

说σ在𝛅_1

𝛅_2下的矩阵表示

是2 1 -1 0

我们把这个矩阵叫做A

τ呢在e_1 e_2 e_3

𝛅_1 𝛅_2下的

这个矩阵表示

是1 1 0 0 1 -1

这个矩阵B

很容易验证AB等于C

也就是我们线性变换乘积

它的矩阵表示

对应着矩阵的乘积

那在这里

我们把

有限维向量空间上的

线性变换的全体在基底取定之后

跟它的矩阵一一对应起来

那么这两个集合分别都是

向量空间它们保持线性运算

它们一一对应

所以线性同构

它们保持乘法运算

我们把有限维

向量空间的线性变换的研究

转化成对矩阵的研究

这是线性代数的一个核心的特点

这节课我们讨论了

线性变换的定义 性质 运算

及其矩阵表示

下节课我们将继续讨论

线性变换在不同级下

矩阵表示的关系

这节课就到这里