当前课程知识点：线性代数(2) > 第四讲：线性变换 I > 4.4 线性变换与矩阵之间的关系 > 4.4 线性变换与矩阵之间的关系
那由前面的讨论
我们知道在n维的向量空间V中
我们可以任取基底v1到vn
m维的向量空间W中
我们任取基底w1 wm
那么任何一个
从V到W的线性变换σ
总是对应着
唯一的一个m×n的矩阵
那么反过来
任何一个m×n的矩阵A
我们是否也有
唯一的一个线性变换
以它为给定基底下的矩阵
我们这节课来讨论
线性变换与矩阵之间的关系
我们设v1到vn是n维向量空间
V的一组基
w1 wm是是m维向量空间
W的一组基
A是任何一个m×n的矩阵
我们说
一定有唯一的一个线性变换σ
它满足σ
在V和W的这两组基底下
它们的矩阵表示
就是你给定的这个A
这样我们有线性变换
找到了矩阵A
我们要由A可以对应出
唯一的线性变换
好 我们来看一下
简单的证明思路
那我们来构造出这个线性变换来
怎么构造呢
我们就用矩阵A的第j列元素aij
这个i是从1到m的
作为坐标来构造向量β β_j β_
j是a_{1j}w_1 +a_{2j}w_2 +a_{mj}w_m
这样我们得到了n个向量β
1到β_n
然后我们来构造这个线性变换σ
它满足把V中的向量w_j
给映成β_j
那只要知道了σ(v_j)等于β_j
那么我们就知道对于
V中的任何向量V
设这个V它是v_1到v_n的线性组合
我们就会知道σ如何在V上作用
它一定等于Σc_j v_j
我们就确定了这个线性变换σ
那于是σ在
这样的两组基底下的作用
我们来看一下σ(v_1) σ(v_n)
那这是一个记号
它等于σ(v_1) σ(v_n)
而σ(v_1)等于β_1 σ_
(v_n)等于β_n
而β_1 β_n呢它分别由w_1 w_m
线性表示的坐标
就是我们A的列
因此我们一定有这个式子成立
这个式子就说明线性变换σ
在V的基 v_1到v_n和W的基
w_1 w_m下的矩阵
就是我们给定的m×n矩阵A
那我们构造出来了
这个线性变换σ
我们来看一下它的维性
我们说如果有两个线性变换σ
和τ
它们都满足说在给定的这个基
v_1,…,v_n;w_1,…,w_m下
它的矩阵都是A的话
那么这个意味着说σ
在v_1上的作用
等于τ在v_1上的这个像σ
在v_2上的像等于在v2上的像σ
在每一个基下的像
等于τ在这个相应的基底的像
那么线性变换σ
在任何的V中的向量
v的像就一定会等于
τ在这个v上的像
那σ一定和τ是相等的
那这样就说明
我们用上面的办法
构造出来的线性变换σ
它一定是唯一的
这样给定了基底
给定了m×n的矩阵A
我们有唯一的线性变换σ
在这两组基底下
它的矩阵表示是A
我们注意到
我们总结起来是说
取定向量空间V和W的基之后
V到W的所有线性变换的全体
跟m×n的矩阵的全体
是一一对应的
我们前面提到
V到W的线性变换的全体
它可以定义加法
可以定义数乘
它是一个向量空间
我们之前也讲过
对于m×n的矩阵的全体
我们可以定义加法
我们可以定义成数乘
它也是一个向量空间
那这样两个向量空间
我们有一一对应的关系
任何一个线性变换σ
我们可以对应
唯一地对应一个m×n的矩阵
同样对于线性变换τ
我们可以唯一地对应出来
一个m×n的矩阵B
那么σ+τ 我们说
它一定会对应着矩阵A+B
很容易可以看到
我们说σ+τ在基底
v_1到v_n下的作用
根据这个σ+τ的定义
它等于σ(v_1...v_n)
再加上τ(v_1 … v_n)
那么σ在基底下的矩阵是A
表示的是σ(v_1 … v_n)
被映成（w_1… w_m）A
同样τ(v_1...v_n)被映成
（w_1 … w_m）B
那么也就是说
我们σ+τ在(v_1...v_n)下的作用
可以用w_1… w_m
写成（w_1… w_m）（A+B）
那么A+B就是σ+τ
这个线性变换在给定基底
v w下的矩阵表示
同样地数k去乘以σ
得到的这个线性变换
它在给定基底下的矩阵是kA
那么这样的两个线性空间
V到W的全体
线性变换构成的向量空间
和m×n的矩阵的这个向量空间
它们保持加法 保持数乘
我们说这两个空间是线性同构
一一对应
并且保持线性运算
我们说这是保持线性运算的双射
它是一个所谓的线性同构
回顾一下英国数学家Arthur Cayley
他是为了表述线性变换的复合
引入矩阵的乘法运算
从而使矩阵
正式成为数学的研究对象的
那有限维向量空间的线性变换的
这个集合
它与给定数域上的m×n的
矩阵的这个集合一一对应
并且保持线性运算
是线性同构
我们想要说的是
它还保持乘法运算
我们来看线性变换的乘积
和矩阵乘积的关系
假设τ是U到V的一个线性变换
而σ是V到W的一个线性变换
我们取U的基记成是u_1...u_p
而V的基我们记成是v_1...v_n
W的基底呢我们取成w_1...w_m
我们设σ和τ
在给定基底下的矩阵是A和B
我们来看σ乘以τ
得到的这个线性变换的乘积
这个新的线性变换
在给定基下的矩阵
我们说一定是A和B的乘积
我们先由定义来看σ
在基底下的矩阵是A
τ在这组基底下的矩阵是B
因此来τ定义σ
和τ的乘积
它在U的基 u_1,…, u_p下的作用
先用τ去作用一下
因为τ作用在u_1,… ,u_p上
就等于v_1,…,v_n去乘以B
那么这时候这个打开来看
是一个线性组合
这个B都是一些数
可以扔出来等价于是σ作用在
v_1到v_n上
那么σ作用在v_1到v_n上
又可以写成w_1,…,w_m去乘以A
由这个式子得到
那么这样的话由结合律
乘法的结合律
我们说στ这个线性变换的乘积
在u_1,…,u_p下的作用
就等于w_1,…,w_m去乘以AB
因此它的矩阵表示是AB σ
的矩阵表示是A
τ的矩阵表示是B σ
和τ的乘积的矩阵表示是AB
我们说这个线性变换的乘积
一一地对应着
它们矩阵表示的乘积
Arthur Cayley就是因为这一条原因
他才这样子给出矩阵的乘积的
所以这点保持并不奇怪
那么特别的地
如果σ是V
到自己的一个可逆线性变换
那么σ在V的某一基下的矩阵
表示是v的话
我们说σ的逆变换σ^{-
1}在这组矩阵下的表示
就是A^{-1}
而这一点容易看出来
若有σ是可逆的
那么我们由σ^{-1}
它使得σ乘以σ^{-1}以后
等于恒同变换
那么在
任意一组给定基下的矩阵表示呢
如果σ的这个矩阵表示叫A
我们假设σ^{-1}的矩阵表示叫B
那么一定会有AB等于
这个恒同变换它的矩阵表示
是单位矩阵
所以我们一定有AB等于单位阵
那么的话这个B不是别的东西
就是A^{-1}
那这个A^{-1}是逆变换
在给定这组基下的矩阵表示
我们看一个例子
假设线性变换τ
它从R＾3映到R＾2
定义是它把x y z这个向量
映成x加y y减z这个二维的向量
而线性变换σ呢
它从R＾2映到R
定义是说u v这个二维向量
映成2u-v u这个二维向量
我们来求σ和τ的乘积
它从R＾3映到R＾2
它在R＾3 R＾2的
标准基下的矩阵
那我们注意到
我们是通过线性变换的合成
来定义线性变换的乘积的
所以στ作用在三维向量
x y z上
是等于τ先去作用一下
那么根据定义
它是x+y y-z
然后再用σ去作用
利用σ的定义我们说
最终的结果是映成2x+y+z
x+y 这个二维向量
所谓标准基呢
R＾3的标准基是e1 e2 e3
它分别是1 0 0
0 1 0和0 0 1
R＾2的标准基我们叫
𝛅_1 𝛅_2
它是1 0 0 1
那根据刚才给出来στ的定义
我们知道στ把e_1
给映到了2 1
那它等于2𝛅_1加𝛅_2 σ
τ(e2)被映到了 1 1
那么等于𝛅_1+𝛅_2 σ
τ(e_3)被映到了1 0
等于𝛅_1
因此而στ
把R＾3中的基底e_1 e_2 e_3
映成被R＾2中的标准基
𝛅_1 𝛅_2
去线性表示
表示的系数是2 1
1 1和1 0
那么这个矩阵C是两行三列
它就是στ
在两组标准基下的矩阵表示
那我们来看一下
说σ在𝛅_1
𝛅_2下的矩阵表示
是2 1 -1 0
我们把这个矩阵叫做A
τ呢在e_1 e_2 e_3
𝛅_1 𝛅_2下的
这个矩阵表示
是1 1 0 0 1 -1
这个矩阵B
很容易验证AB等于C
也就是我们线性变换乘积
它的矩阵表示
对应着矩阵的乘积
那在这里
我们把
有限维向量空间上的
线性变换的全体在基底取定之后
跟它的矩阵一一对应起来
那么这两个集合分别都是
向量空间它们保持线性运算
它们一一对应
所以线性同构
它们保持乘法运算
我们把有限维
向量空间的线性变换的研究
转化成对矩阵的研究
这是线性代数的一个核心的特点
这节课我们讨论了
线性变换的定义 性质 运算
及其矩阵表示
下节课我们将继续讨论
线性变换在不同级下
矩阵表示的关系
这节课就到这里
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
