10.2 内积空间在线视频

为了从线性代数的角度

来理解傅里叶级数呢

我们先考虑内积空间的定义

设V是个向量空间

R上或C上的

也就是说它是定义在实数域上的

或者复数域上的

换句话说就是它的数乘

或者它的线性组合

用的是实数还是复数

而V上的一个内积是一个函数

从V乘V到R

或者到复数的这样一个函数

那么它要满足下面这三条

这第一条说u跟自己的内积

必须是一个实数 是一个正数

或者说更确切地是一个非负数

如果u跟自己的内积是等于0的

那么就可以确定u就是0向量

第二条说两个向量的线性组合

跟另一个向量的内积呢

相当于两个向量

跟另一个向量先作内积

再做线性组合

第三条说两个向量的内积

和倒过来

u和v的内积

和v和u的内积 之间的关系呢

是一个共轭的关系

如果我们这个函数

是定义在V叉乘V到R上的

那第三条实际上就是说

这个内积函数是个对称的

uv的内积

和vu的内积是一样的

如果定义在复数上呢

那么就差一个共轭

本身这一块我们并没有假设

V是有限维的

我们先看一些例子

首先一个向量跟自己的内积

它实际上我们把这个定义成

这个向量长度的平方

换句话说 对于带着内积

这样一个函数的向量空间

我们可以给每一个向量

赋予一个长度

这个长度就是它自己

和自己的内积

因为这是个正数 非负数

所以可以开根号

如果这个向量

它的长度是1的话

我们把这个向量叫做单位向量

那么任给一个向量v

我都可以除以它自己的长度

那么这个向量呢

如果v不等于0的话

这个向量就是一个单位向量

那么最常见的内积呢

实际上就是我们通常的

u^T乘上v

就是如果u和v是二维空间中

两个实向量 注意这是实向量

那么它们的内积实际上就是

对应元素相乘再加起来

那么这个u的长度呢

就等于两个分量的平方和开根号

那么大家可以看到

这个一般的内积呢

实际上就是我们

最熟悉的这种

最普通内积的推广

那么如果V等于C^2

或者叫二维复空间

也就是说这时候呢

u和v它们的分量都是复数

那么这两个向量的内积

我们定义成u^T乘v的共轭

换句话说

就是用a_1乘上v的分量的共轭

a_2乘上v的第二个分量的共轭

那么大家可以看到

这个定义呢

跟我们这个内积定义的第三条

是符合的

就是u和v的内积

等于v和u的内积的共轭

那么

为什么要加上共轭这个条件呢

就是为了保证u和自己作内积

它是一个实数

因为我们内积定义的第三条

如果把u等于v的话

那就是u和u自己作共轭

等于u和u自己的内积

那么它是一个实数

那么我们来看

这个内积这个定义是非常广泛的

如果我们取这样的一个向量空间

也就是说[a,b]区间上的

全体连续实函数构成的向量空间

那么大家可以看到

这个空间是一个无限维的空间

在这个空间上呢

我们可以定义一个内积

这个内积就是把f(x)

和g(x)乘起来

然后在[a,b]区间上去积分

这个就是函数的内积

我们把这两个

f、g这两个函数想成

C[a,b]这个向量空间上的两个向量

那么这时候C[a,b]上的一个内积

我们可以看出呢

这时候随便取一个f(x)

跟自己作内积的

它是大于等于0的

因为它跟自己的内积就是f＾2

在[a,b]上的积分

因为f＾2(x)是大于等于0的

特别地我们看内积定义的第一条

说如果f和f自己作内积等于0的话

它必须等于0

那么从现在这个定义的内积

可以来验证一下

就是如果这个等于0的话

那么实际上我们可以取一个函数

F(t)等于a到t的积分

那么F(t)

实际上是个恒等于0的一个函数

并且F(t)当然它可导了

那么F(t)的导数正好f＾2(t)

那么F(t)

因为是恒等于为0的一个函数

所以它的导数也是0

这样就推出了f(t)就等于0

那么如果要在上面这个例子中

我们把实函数改成复函数

就是C[a,b]是[a,b]区间上的

连续复函数

也就是说，定义域还是取实的空间

但是取值是复的

函数值是复的

那么这个内积定义就是fg跟

那么这块我们加上一个共轭

而一般的呢

我们在原来的内积引入了

它们的目的是为了刻划

两个向量的夹角的余弦

那么现在这个内积呢

我们也可以看出

是夹角余弦的一个推广

在原来的内积定义中

因为两个向量它们是垂直的

也就是它们的内积等于0

那么现在呢

我们为了说任何两个

一般的抽象的向量是正交的

那么我们倒过来

因为它内积等于0呢

那么就是说这两个向量

是正交或垂直的

在R^n中呢

我们可以定义标准的正交基

在这里呢

因为V是无限的维的

所以我们就牵扯到

一些无穷和的问题

首先我们可以定义

标准正交向量系

这也就是意思就是说

给V中的一组向量

它满足任意两个不同的向量

它们的内积等于0

就互相是垂直的

那么这一组向量呢

我们就称为一个正交向量系

这一组如果一个向量

跟自己的内积是等于1

也就是说它的长度等于1的话

那么我们就叫标准正交向量系

这跟我们原来的标准正交基

这个概念有些类似

那么因为V是无限维的时候

那么这时候标准正交向量系

虽然可以看作标准正交向量

跟标准正交基的推广

但是它有一个无穷和的问题

就是无穷和这样写的合理性

比如说v_1到v_k到无穷

是一个标准正交系

那么当我们把它们

无穷的线性组合起来

那么我们怎么能保证

这一个向量存在

或者说

这个向量属于我们的空间V呢

就是这个东西呢

这个无穷和

代表的是一个什么意思

那么实际上就是说

我们可以先取有限个

从v_1到v_n它们的一个

有限个线性组合

那么这个呢是有含义的

那么上述这个无穷和呢

我们就把它理解成S_N呢

这个有限的线性组合的一个极限

那么这个极限确切的含义就是说

这个存在就表示的是S-S_N

这个是趋于0的

当n趋于无穷的时候趋于0

我们所谓的无穷和

就理解成S_N的一个极限状态

当N趋于正无穷的时候

对于无限维空间呢

这个标准正交向量系呢

如果满足任意的v属于V

那么我们就把这个标准正交向量系

称为闭的

这个类似于起着一种基的作用

就是表示任何一个向量

都可以用我们给定这组向量呢

线性表示出来

比如说R^n中你随便取两个向量

1 0 0 0和0 1 0 0 0

那么这两个呢

它们是互相垂直的

而且长度为1

所以是一个标准正交向量系

在C[a,b]上我们可以看到

就是我们在泰勒级数展开

所使用的x, x＾2等等

这一列多项式函数

它们并不是标准正交向量系

它们是互相不正交的

可以使用a到b

给出了x跟x＾2 dx

一般来说这个东西

它一般来说不等于0

除非a b取的比较好

但是a b取的比较好以后

可能x跟另外的一个（x^n）

又不互为垂直的

但是这一组向量

或者这一组函数 周期函数

它们是一个标准正交向量系

当我们的a取-π b取π

那么可以看到这一组函数

它们之间是互相垂直的

比如第一个我们可以看到

我们看一下根号下2π分之一

那么这个向量和coskx是

互相垂直的

那么我们为什么要考虑

垂直的向量呢

比如说我们给出1 2 , 3 4

是R＾2中的两个无关向量

那么这样两个无关向量呢

我们实际上可以建立一个类似的

比如说1 2和3 4这两个向量

那么它的夹角就不是90度

也就是它们不是互相垂直的

那么如果

我们随便给另外一个向量

我们想把它表示成

这两个向量的线性组合

那么有一个主要的问题就是

怎么来写这个线性组合系数

x和y

或者说x y

有没有确切的几何含义呢

那么实际上

我们就要解一个方程组

但是如果我们换一组基

用1 2和-2 1

那么大家可以看到

这两个向量互相是垂直的

那么我们在给

任何一个R＾2中的向量呢

我们想把它写成1 2

和-2 1的线性组合

这个相对就容易

而且有几何含义

那么它的几何含义我们可以看到

是因为1 2和-2 1互相垂直

所以这里面这个c_1和c_2

是有确切含义的

我们就在这个表达式里面

两边同时用α跟1 2作内积

或者α跟-2 1作内积

也就是说先跟1 2作内积

两边左乘以1 2

相当于α和1 2作内积

那么这时候呢

1 2跟-2 1的内积那就是0了

最后那么α跟1 2作内积

就只得到c_1了 留下c_1 1 2

这样我们就实际上得到了

c_1就等于α跟v_1的内积

除以v_1长度的平方

同样地道理呢

我们在这个式子两边左乘-2 1

也就是说α跟-2 1作内积

那右边呢

这个向量跟-2 1作内积是0

因为它们互相垂直

那么就只留下这个向量

跟-2 1作内积

就是它自己的内积

就是长度的平方

这样推出c_2

就等于这样一个表达式

那么一般地呢

我们有下面这个定理

就是说如果v_1到v_m

这样有限个向量

它们是互相垂直的

并且α能够写成

这些向量的线性组合

那么这时候我们

就可以确切地写出

这种线性组合的系数

这些系数分别是α跟相应的向量

作内积

再除以相应向量长度的平方

那么这个定义里

它的含义是什么呢

它的含义是说

给定一个向量α

比如说我们以两个为例

就是m取2的时候

因为v_1和v_2垂直

所以我们可以找α

在v_1和v_2上分解出的两个向量

这是直观上的

实际上

我们这些v_1到v_m都是抽象的

那么第一个α_1 第二个α_2

那么α_1这个向量是谁呢

α_1这个向量就是c_1 v_1

换句话说呢

这个实际上呢

这个α_2就是c_2 v_2

所以呢把α写成这样一个形式

实际上就是相当于一个向量

等于它在一个正交向量组

每个向量上的投影加起来

更简练地说

一个向量等于什么呢

就等于它的投影之和

那么这个向量的长度的平方

那么它就等于

它的投影的长度平方和

我们看第一个呢

就是它的在v_1上的投影

长度的平方

这个就是在v_m上的投影

长度的平方

在二阶的时候呢

m等于2的时候我们看到

这个长度平方

等于这个长度的平方加这个长度

这就是我们通常的勾股定理

在高阶的时候

比如说三维的时候

那么我们就可以看到

一个长方体

它的三条棱的平方和

那么就等于对角线的长度的平方

这是高阶的勾股定理

那么我们现在把

这个内积中的这个性质呢

我们可以推广到无限维的情形

无限维的情形

那么有个主要的问题

就是收敛性问题

就是无穷和有收敛性

那么我们说如果u属于V

那么可以先考虑

这个标准正交系的一部分

就是前n项

那么这样一个向量呢

在前n项上的投影呢

我们可以确切算出来

也就是说这个投影它是等于

实际上就是u_N

作为u在这个空间上的投影

那么它实际上是用u在v_1上的投影

u在v_2上的投影

u在v_n上的投影 把它们加起来

所以在一个大的空间上的投影

实际上是在每一个向量上投影

然后投影之和

我们比如说我们可以直观地看

这是v_1到v_n伸出来的一个

一个子空间

这个是我们的u

那么这个向量就是我们的u_N

那么u-u_N是跟u_N垂直的

因为这是投影的定义

就是要作为投影呢

那么u-u_N这个向量

它是跟u_N垂直的

那么由勾股定理我们可以写出

u的长度的平方等于

u-u_N的长度平方

加上u_N的长度的平方

那么我们从这已经看到

u_N的长度实际上是

小于等于u的长度的

而另一方面我们看到

随着N增大呢

这个u_N的长度

实际上在不断地变大的

因为这个u_N长度的平方

实际上是这些长度的平方和

就是u_N的长度的平方

等于(u, v_1)长度的平方

一直加 加到(u, v_n)的长度平方

那么随着N增大呢

u_N实际是个单调递增的一个数列

这个长度的平方

那么而且这个单调递增的数列

有上限

所以呢这个u_N这个长度

都N趋于无穷时极限存在

这样我们可以推出来

它这个极限就是这样一个无穷和

它确实是小于等于u的长度的平方

因为它当任意N

它都是小于等于上界的

那进一步如果v_1到v_n是闭的

换句话说就是u能够写成

v_1到v_2 一直到无穷个v_i

它们的线性组合

那么实际上这个u

作为这个线性组合的系数

也是知道的

就是u跟相应的v_k作内积

那么当n趋于正无穷的时候呢

u-u_N它的长度就趋于0了

在这时候呢

我们就可以写出广义的勾股定理

就是无穷和的形式

这每一个相当于

直观上相当于u

在每一个v_k上的投影的长度

因为v_k的长度是1

那么u跟v_k的内积的平方呢

实际上就是u在v_k上的投影的长度

它的平方

这个我们把它可以看作

广义的勾股定理

我们看到根号2 π分之一

根号π分之一 sinx

根号π分之cosx等等

是C[a,b]的标准正交向量系

它们互相垂直 而且长度为1

那么我们假设C[a,b]中

有一个函数

可以写成它们的线性组合

那么这些系数呢

它的确切含义实际上

我们可以看到这里面的随便一项

它实际上就是f(x)呢

在根号π分之一sin2x上的投影

那个向量

又因为

根号π分之一sin2x的长度为1

所以前面的系数c_2

实际上它的绝对值就是

f(x)在这个函数上的

投影的长度

比如说这个f(x)

这个是比如说根号π分之一cos2x

那么它的在这上面的投影是谁呢

投影的这个向量呢

当然是另外一个函数

我们把它（记为）g(x)

g(x)就等于c'_2

根号π分之一cos2x

所以c'_2呢

实际上就是f(x)呢

跟根号π分之一cos2x的内积

好 那么刚才在等式右边呢

我们可以写出

f(x)的傅里叶级数

那么由广义的勾股定理

实际上f(x)的长度的平方

就等于这些无穷的平方和

我们可以理解这样

就是f(x)它的长度的平方

实际上是等于它在每个

正交向量系上的投影长度的平方

这些都是它在

不同的标准正交向量的

上的投影的长度的平方

那么这些平方和呢

最后和加在一起就等于

f(x)长度的平方

那么如果把这个长度的具体含义

写出来呢

左边就是f＾2(x)的一个积分

右边就是a_i、b_i这些的平方和