9.2 Markov矩阵在线视频

好 我们现在呢

来确切地引入Markov矩阵的定义

一个n乘n矩阵的

我们说它是实矩阵

就是元素都是实数

它被称为Markov矩阵

如果它的元素均为非负的

且每个列向量分量之和等于1

这样一个矩阵

我们就叫Markov矩阵

比如说这些例子

特别是有些地方呢我们可以取0

只要保证这一列之和等于1

元素又是非负的

Markov矩阵呢

因为它是用在概率里面的

是随机过程所使用的矩阵

我们也把它称为随机矩阵

有些书上可能分得更细

因为我们是

列向量的分量之和等于1

有些也叫列随机矩阵

有些是行向量的分量之和等于1

那叫行随机矩阵

那么这两种矩阵

实际上就差个转置

我们在这一讲中

只考虑列随机矩阵

也就是说列分量之和等于1的

那么Markov矩阵的列向量

它所满足这个性质呢我们抽出来

把这种向量称为随机向量

也就是说

一个向量如果它的每一个分量

是非负的

分量之和又等于1

我们就把它称为随机矩阵

我们在下面的讨论中呢

要使用这个技巧

就是关于非负矩阵的某些技巧

我们设A是一个n阶的实矩阵

Aij呢如果都大于0的话

那么这样一个矩阵呢

我们有时候就写成A大于0

当然这块我们要注意

这跟A是正定的不要混淆了

如果容易产生混淆的时候

我们就不这样写

直接写A是正矩阵

就是每个元素都大于0的矩阵

如果α和β是两个实向量α

如果它的每个分量

均大于等于β的相应分量

那我们就写α大于等于β

那么两个向量可能不可以比较

比如说一个向量的某一个分量

大于另一个向量的相应分量

但是这个向量

可能另一个分量又小于

那个向量的相应分量

所以有可能两个向量不可以比较

所以我们说两个向量

如果可以比较的话

就是每个分量均大于等于

这有个均大于等于

我们才叫α大于等于β

比如这个例子

我们可以有些分量都相等

比如说这两个分量是相等的

这两个分量也相等

只有一个分量是大于等于

那么还是α仍然是大于等于β

我们如果把等于号去掉

只写α大于β

表示的是α的每一个分量

都严格大于β的相应分量

比如说上面这个例子中呢α

就只是大于等于

而不是大于β

那么我们要使用的一个

主要的一个技巧是下面这个

如果A是一个正矩阵

也就是A的每一个元素都大于0α

和β这两个向量呢α

是大于等于β

并且α不等于β

那么我们给α和β的两边都左乘A

那么我们就可以看到

Aα是大于Aβ的

也就是说我们使用这三条

A大于0 α大于等于βα

不等于β

那么我们可以推出Aα是大于Aβ

那我们要注意

这一块一定要要求A是大于0的

如果A不是大于0的

就是A存在着零元

那么有可能Aα就不是大于β

比如说上面这个例子

这个例子中

我们取A等于1 0 0 1

那么A是一个非负的矩阵

有零元

那么Aα仍然是大于等于Aβ

但是呢Aα大于Aβ不成立

因为它们有

这两个向量有相同的分量

Aα要大于等于Aβ

必须每个分量都是严格的大于

那么Aα大于Aβ呢

我们就可以找到一个

足够小的大于0的ε

使得Aα大于（1+ε）Aβ

就满足这个性质

这两个是等价的

好 现在我们来看

Markov矩阵的一些基本性质

那么根据Markov矩阵的定义呢

它的每一列元素之和等于1

每一列的列向量的分量

都是非负的

那么这个知识说明它的列向量

是随机向量

Markov矩阵的列向量

是随机向量

我们先来看

Markov矩阵的第一个基本性质

如果A是n阶Markov矩阵

P是n维随机向量

则Ap是一个n维的随机向量

我们来证明一下

那么这些刻画呢

我们都把它转化成数学的语言

设A是v1到vn 有n列

vi是A的第i列 p是一个随机向量

那么p1+...+pn等于1

那么我们看到A乘上p

等于p1v1+ 一直加到pnvn

就是A的n个列向量的线性组合

它们的系数呢是p1到pn

系数和等于1

那么因为A的每一列

都是随机向量

所以我们可以看到1 1 1

乘上vi等于什么呢

因为这个向量乘上vi

就等于vi的分量之和

那么我们可以看到它是等于1的

所以这个向量

行向量乘上A

就等于乘到A的每一个vi上

所以结果就是还是这个向量

那么这个p是随机向量

所以这个向量乘上p

就等于p1加到pn

从而也等于1

所以由这个我们想看

Ap是不是一个随机向量

我们只要看

用1构成的这个行向量

乘这个向量是不是等于1的

就可以了

那么由这个呢

由这条性质我们看到

这个乘A就等于1 1 1

那么再乘以p呢

就使用这个性质 就等于1

所以我们就推出了

Ap是个随机向量

那么大家在这里面可以看到

这个等式呢

如果我们把它转置一下

就是A＾T乘1 1 1

等于1 1 1乘以

这个说明1是A＾T的特征值

这个向量是A＾T

关于特征值1的特征向量

我们看

Markov矩阵的第二个性质是

一个Markov矩阵A

总有特征值1

它的其余特征值都是长度小于等于1

我们刚才已经看到

A转置呢

一个Markov矩阵的转置

它有特征值1

它的特征向量包含了1 1 1

全是1构成的列向量

那么因为A跟A转置

有相同的特征值

注意A和A转置

它们的特征多项式是一样的

因为这样一个矩阵

和这个矩阵是互为转置

两个互为转置的矩阵

有相同的行列式

所以我们推出A和A转置有

相同的特征多项式

那么A和A转置相同的特征值

也就因此可以得到

但是我们大家要注意

A和A转置的特征向量

一般来说并不一样

比如说1 1是A转置的

关于特征值1的特征向量

但是这一个向量并不是

A的关于特征值1的特征向量

好 这样我们

从这儿已经开始推出了

A有特征值1

那么现在我们想说明

其他特征值长度

都是小于等于1的

那么我们有反证法

假设A它存在着特征值

这个特征值是个复数

我们知道Markov矩阵的特征值

它有可能是复数

比如说置换矩阵

任何一个置换的阵

就是把单位阵交换行

得到的矩阵就是置换阵

那么这样一个置换阵

它的特征值有可能就是复数

而置换阵都是Markov阵

我们现在假设A存在特征值λ

0属于C

那么λ0它的长度是大于1的

一个复数a加bi

它的长度呢

就等于根号a＾2+b＾2

那么我们还假设

存在着一个向量α Aα=λ0α

也就是α是属于特征值λ

0的特征向量

那么这块讨论呢

我们可以看到λ0是个复数α

有可能是一个复数构成的向量

那么我们来看一下

这时候我们需要使用的一个技巧

就是α是由复数构成的向量

那么我们为了使用A

作为Markov矩阵的

它的元素都是非负的

使用这个性质

那么我们考虑一下

这个α阵这个向量

这个向量是什么呢

就是把α的每一个分量

取它的长度

比如说α等于1-i 1+i

那么α阵呢就等于它的长度

根号2

那么Aα阵呢得到的一个向量β

A是一个

它的元素都是非负的α

阵呢元素也是非负的

所以Aα阵得到的ββ

肯定它的分量都是实数了

而且也是非负的

那么我们下面来考虑一下

Aα=λ0α和Aα阵跟

左边把α取它的每一个分量长度

右边我们也考虑一下λ0

和α的长度

也就是说α阵

我们来比较一下

这两个之间的关系

那么我们看到用A的每一行

去乘上α阵

那么得到的ωi

是等于这样一个结果

那么这个结果当然明显

是大于等于

长度的和 注意这个Ai1

到Ain都是非负的

长度的和大于等于和的长度

这是复数的性质

就是复数z1+z2的

两个复数的和的长度

小于等于长度的和

由此我们推出了ωi

是大于等于λ0的长度

乘上zi的长度

那么也就推出了Aα阵

是大于等于λ0的长度乘上α阵

也就是说刚才我们讨论的时候

使用了Aα等于λ0α

但是这种讨论中呢λμ

0是个复数α

也是一个复数构成的向量

所以为了方便呢

我们把它转化到

用它的长度说话

那么最后关系得到是大于等于

就得到了两个实向量

是一个大于等于关系

那么因为A是非负的

所以我把这两个向量的两边

同时左乘一个A

那么这个大于等于号不变

大家回忆一下

我们刚才说的那个技巧

所以A的平方

这个左边是A＾2α阵

就大于等于A乘上λ0的长度α阵

那么这一块呢

我们再使用一下这个式子到这儿

就推出了A＾2α阵

大于等于λ0长度的平方乘上α阵

那么递归的呢

我们可以推出A的k次方α阵

大于等于λ0长度的k次方α阵

那么由此大家可以看到

如果这个λ0的这个长度

如果是大于1的话

那么当k趋于无穷的时候

这个东西就趋于正无穷了

那么我们两边要注意

A是一个Markov阵

所以它的每一列元素和

不会变大

就是A的k次方

A是个Markov阵

A的k次方它还是Markov矩阵

所以它的元素和

元素并不会变大

多少次方它还是保证

列向量分量之和等于1

所以我们看到

大概猜一下左边呢

它的元素分量

向量的分量应该不会变得太大

是有界的

而这个不等式的右边呢

当k趋于正无穷的时候

就趋于无穷

所以这就产生了一个矛盾

那确切地说呢

就是我们两边同时给它乘上

对这个不等式两边同时乘上

1 1 1这个向量

那么左边乘完以后呢

我们就得到了它正好是α

的长度 分量的长度的和

右边长度乘完以后呢

得到λ0的k次方的长度

乘上这个分量长度的和

那么由此我们可以看到λ0

的长度不可能是超过1的

这里面我们使用了

我们在这一节开头所使用的技巧

我们刚才已经看到

Markov它的第一个性质是

有特征1

并且其他特征值的长度

是小于等于1的

那么由此呢我们可以看到

关于特征值1的有一个特征向量α0

当然这样α0是不唯一的

我们可以取比如说它的长度和

等于1的这样一个向量

比如说假如α0比如说1 2

那么我们可以把它取成1/3 α0

那么1/3 2/3

那么这个还是

A关于特征值1的特征向量

但是它的分量和就可以变成1了

所以我们可以通过除上一个倍数

使得这个α0它的分量之和等于1

那么后面我们可以看到

如果A

它这个Markov矩阵

如果它的分量都是正的

就是A中没有出现0

那么我们可以看到

这个α0的分量也都是非负的

而且都是大于0的

所以α0呢 这时候就是随机向量

因为随机向量我们要有两条

分量是非负的

而且长度和等于1

就是现在我们只能说明

长度和等于1

好 性质二中呢

其余特征值的长度满足λ0λ

的长度小于等于1

这个等号不能去掉

就是有可能存在着Markov矩阵

它的特征值不等于1

但是这个特征值的长度却等于1

比如说我们看下面一个例子

最直观的一个置换阵

就是置换阵中有大量这种例子

比如说p等于这样一个置换阵

这个置换阵是把单位阵的第三行

放到了第一行

单位阵的第一行放到第二行

单位阵的第二行放到第三行

所以等于

把单位阵的每一行的次序打乱

那么这个矩阵呢

它的特征值可以算一下

是三阶的单位根

那么这三个根大家可以看到

它正好是在单位圆上走的

所以这三个根呢

它的长度是一样的

这个P它的三次方等于i3

那大家可以看到

如果一个矩阵它的多少次方

等于单位阵

那么你可以马上推出

这个矩阵的特征值也要满足λ

的立方等于1

那么因为这个3是最小的了

就是p的平方不可能等于单位阵

所以λ的三次方等于1

解出的所有的解都是它的根

那么大家可以看到

因为p的三次方等于单位阵

所以当k趋于正无穷的时候

p的k次方是没有极限的

因为p的k次方

当k取3的倍数的时候

它的极限是单位阵

当k取3 3的倍数余1的

那么它的极限就是p

所以它的极限是不存在的

但是我们下面考虑

特殊的Markov矩阵

使得它的p的k次方的极限存在

A的k次方的极限存在

我们知道这种k次方的极限

通过我们在第一部分的内容

可以看到

它刻画了这样一个

向量序列未来的发展趋势