12.3 复正规阵在线视频

好 下面我们来看

实的正交阵和实的实对称阵

它们都满足一个性质

就是A＾TA等于AA ＾T

这样一对矩阵我们叫实正规阵

同样地

实对称阵它的推广

就是我们的厄米特阵

实正交阵它的推广

就是我们的酉矩阵

那么这两类呢

它们都满足A＾HA等于AA＾H

我们把这个叫做复正规矩阵

那么我们现在想看

复正规矩阵

它的相似的标准形

那么首先我们要说相似

那么我们在实矩阵中的相似

我们有一个特殊的相似

就是用正交阵作为P

那么P的逆就变成P的转置

那么现在呢

我们把正交阵改成酉阵

那就变成了酉相似

设AB是两个n阶复矩阵

若存在着酉阵U

使得A等于U＾HBU

则A和B是酉相似

这个就类比到

我们实矩阵中的正交相似

设A为复正规阵

则向量U

是A的关于的λ的特征向量

那么U也是A＾H的关于λ

共轭的特征向量

就是U既是A的特征向量

又是A＾H的特征向量

是它们共同的特征向量

但是属于不同特征值的

第二个不同特征值的特征向量

是相互正交的

这个在实对称的时候

我们已经看到了

或者说厄米特阵的时候

也有相似的性质

我们现在来看一下

性质1的证明

设Au等于λu

那么我们可以写成这样一个形式

B=A-λu

我们想说明

U又是A＾H的特征向量

那么我们先来看

B＾HU它的长度的平方

长度平方我们知道

一个向量长度的平方

实际上是向量的共轭转置

乘上这个向量

如果是实的时候呢

这个H就直接写成T

那么这个我们就写成B＾HU

和它的共轭转置之间一个乘

因为B是一个正规阵 复正规阵

因为A＾HA等于AA＾H

所以我们容易地推出

B＾HB等于BB＾H

这样子我们把这两个互换一下

就变成这个形式

这样换的好处呢

我们看到B跟U乘在一块

前面就是BU的共轭转置

所以这个等于BU的长度的平方

从而等于0

这样我们推出什么呢

推出了B＾HU就是0

B＾HU就是A＾H减去λ共轭

再乘上i 再乘u

这个就等价于B＾HU等于0

性质2的证明

跟厄米特阵的时候

情形是完全一样的

那么我们下面的主要定理说明

大家回忆一下

在实正交阵的时候

我们的矩阵能够正交相似于

一个对角阵

一个实对称阵也是

我们可以正交相似于一个对角阵

那么复正规阵是类似的

任何一个复矩阵

它首先酉相似于一个上三角阵

注意我这是任一个复矩阵

然后用的是U相似

相似于一个上三角阵

存在着U满足U＾H等于U的逆

就是不是一般的相似

是酉相似

那么由这一点呢

我们只要使用A的复正规性

就可以不太难证明

复正规阵它是酉相似于对角阵

特别地酉阵相似于对角阵

一个酉阵是一种特殊的复正规阵

那么大家注意这个结论呢

和我们的实对称阵相似于

或者实正交阵

相似于对角阵的区别

因为我们这块用的酉相似

那里我们使用的是正交阵

我们看到一个实矩阵是正规的

就是实正规

也就是说

那么这时候我们就不用共轭了

因为用共轭和不用共轭

是效果一样的

就是A＾TA等于AA＾T

也就是A和A＾T交换

典型的例子就是A是正交阵

或者A是实对称阵

那么对于实正规阵呢

我们希望考虑它的相似标准形

那么这里面有两点

一点是实正规阵

它也是复正规阵

所以存在着一个酉阵U

U＾HAU等于一个对角阵

但是因为A是实正规的

我们希望这块不要取U阵

取正交阵

那么结果会怎么样呢

结果就是这样

就是如果A是正规的

那么如果我们这块取的不是酉阵

而是取的一个是实正交阵

那么结果就没有这么好

不是个对角阵了

那么这块就是分块对角

其中有一些是二阶的分块阵

有一些是一些数

那么其他地方全是0

所以实正规阵

它正交相似于

这样一个形式的矩阵

它酉相似于一个对角阵

注意这两者之间的关系

那么肯定会问这个U

和这个正交阵有什么关系呢

还有这些矩阵

二阶矩阵和这些特征值

A的特征值又有什么关系呢

实际上呢我们可以看到

在这个情况下呢

U的每一列

实际上都是A的特征向量

我们随便取一个列

比如说β+iγ是U的某一列

那么A乘上这一列呢

就应该等于特征值

某一个λ乘上β+iγ

这个βγ是这个实向量

也就是说U的每一列呢

实际上是复数构成的列

那么这个复数

我给它拆成实部虚部呢

最后可以写成一个

两个实向量通过i来组合起来

比如说我举个例子

比如说1+i 1-i

假如u的某一列是这样的形式

那么我们可以把它

实和实地结合起来

复跟复的写在一起

这样就表示出两个实向量

通过i组合出来

所以我们任何一个u的向量

都可以写成一个β+iγ

然后乘A以后等于这样一个形式

那λ呢它也是复数A+iB

那么我们把整个代进去

我们看到

代这里面我们看到

A乘上β等于aβ-bγ

A乘上γ等于bβ+aγ

换句话说呢

我们写这一块

A乘上β γ等于β γ

乘上a -b b a

所以大家可以看到这个形式

不恰好就是我们这些形式

也就是说

如果某一个β+iγ是A的特征向量

那么我们把β和γ写成两列

用A乘以后

乘出来的效果就是这样一个矩阵

所以我们看到

这个ω的列呢

实际上是由U的特征向量的实部

和虚部组成的

这样一个形式，那么现在有个自然的问题是

ω是个正交阵

那β和γ是不是正交的呢

或者说β和γ长度是不是一样呢

不然就不能保证

ω是个正交阵

我们说实际上是这样子的

设A是一个n阶的实正交阵γ

等于α+iβ是A的特征值

那么x等于x1+ix2呢

是A的关于λ的特征向量

那么我们说了

如果这个是它的特征向量的话

那我们就可以看到

这个特征向量的实部这个向量

和虚部这个向量

它的长度是相同的

而且x1和x2相互正交的

这个证明是直接验证

我们说λ等于α+iβλ

的共轭等于α-iβ

因为A是实正交阵

所以它的特征值是成对出现的

复特征值

通过共轭成对出现

所以一旦这个是它的特征值

那么这个也同时是它的特征值

那么我们可以写一下

ix等于λx

两边同时取共轭

A是实的 它的共轭不动

x变成x共轭

等于λ共轭乘上x的共轭

因为λ不是个实数

因为β不等于0

所以λ不会等于λ的共轭

这样我们看到

X和X共轭是

属于不同特征值的特征向量

所以应该是互相正交的

那么这里面正交这个含义

就是通过共轭转置等于0

那么由此可以我们推出

x1的长度等于x2的长度

x1这个实向量

跟x2这个实向量就互相垂直

我们再看个例子

cosθ sinθ -sinθ cosθ

这个就是一个旋转矩阵

当然是一个实正交阵

那么这个实正交阵

我们可以让它相似到一个对角阵

注意这个相似是酉相似

那么取的酉阵就是这样一个矩阵

实际上是这个旋转矩阵

关于特征值

e＾iθ和e＾-iθ的特征向量

这两列

我们再看另外一个例子

A是一个厄米特阵

我们知道一个厄米特阵

它的特征值都是实数

那我们再来看这样一个矩阵

i加上i乘A

那么这样一个矩阵呢

我们可以看到它的特征值

实际上就是1+i倍的λ

也就是说λ是A的特征值

所以这个i+iA

它的特征值就是1+iλ

但是λ是个实数

所以大家可以看到

这个绝对不会等于0

因为如果这个等于0的话λ

必须取一个复数

换句话说i+iA它不包含0特征值

所以它是可逆的非奇异矩阵

那么当A是厄米特阵的时候呢

我们来看i-iA和i+iA的逆

这样一个矩阵呢

乘起来得到的矩阵是一个酉阵

这就是说给出了

我们通过实对称阵

构造正交阵的办法

或者通过厄米特阵

构造酉阵的办法

我们可以验证

也可以看到U＾H正好是等于

i-iA的逆乘上i+iA