7.3 变量的线性关系在线视频

大家好

我们在简介中我们说过

我们要把物理定律

应用到实际问题中呢

我们是通过

一个简单的框架图走的

那么现在呢

在现在这个弹簧模型中

我们讨论这些量之间的关系

也是这样子的

第一个u和e的关系

第二个胡克定律

第三个呢 受理平衡

那么它们的关系呢

在第一部分的时候

简介中我们是考虑

u和e之间的一个线性关系

然后e跟y之间

我们刚才已经说过

这是一个对角阵C等于c_1, ..., c_m

然后y跟f的关系

这就是我们第三部分要讨论的

这样一个矩阵

这个呢是将在第一部分讨论

那么我们先对于我们

去掉r部分的那四种情况

一般性地讨论一下

我们先考虑一根弹簧

它连接两个质体

那么我们看一下弹簧的形变

跟质体的位移之间的关系

这张图左边代表

形变之前原始状态

这时候弹簧的长度是L

那么m_1m_2当受到外力

比如说重力

那么这时候弹簧开始发生形变

那么质体也开始移动

那么我们假设m_1这个质体

从原来这个位置移到了这个位置

那么这之间的位移量呢

就是我们的u_1

那么m_2这个质体

从原来这个位置

移到了现在这个位置

那么它的移动量就是u_2

这两个质体

那么同时弹簧也发生了形变

弹簧的长度由原来的L

变成了L+e

那么我们要讨论一下

这一个变化量e

弹簧的变化量e

和m_1 m_2的变化量

位移量之间的关系

那么很显然e=u_2-u_1

等于m_2的移动量减去m_1移动量

导致的m_2移动量的那一部分

e=u_2-u_1

那么我们再看受力的情况

那么一个质体

它上下连接两根弹簧

那么质体受到了外力f

这个外力可能是重力

也可能带其他力

那么导致了这个弹簧的形变

弹簧1和弹簧2它们发生形变

可能伸长了 也可能缩短

那么就产生了两个弹力

分别成为y_1 y_2

那么当这个系统保持平衡的时候

那么在m这个质体这一块

它受到的外力f跟y_1 y_2之间

也有一个关系

这个关系就是f=y_1-y_2

我们刚才说的一般情况呢

实际上都没有考虑边界的情况

就是刚才我们讨论的四种情况中

当考虑边界的时候

比如说在边界的时候

经过2呢

在第三个质体下面没有弹簧了

在情况3上下两个m_1 m_3质体上

也没有弹簧了

那么在这些情况的时候

都属于边界的时候

就不能简单地写成u_2-u_1

那么我们来看一下边界的情况

假如说在边界的时候呢

那么这时候有两种情况

一种是u_1等于0

那么这种情况呢就是说

这个m_1这个质体没有

也就是说m_2只有下面这一部分

而另一种呢是u_2等于0

那么这种情况呢

就是m_2这个质体没有

所以也没有任何位移

那么这时候呢

我们仍然能把这个e写成

e就等于u_2

那这时候呢这个e就等于0减u_1

而下面这种情况也是

当考虑边界的时候呢

它也会产生极端的情况

那么比如说m下面没有弹簧了

没有弹簧了

那么y_2这个力就不存在

一个是2不存在

这个弹簧不存在

那么这时候这个f呢

就只有跟y_1平衡一下 y_2是0

通过这样一个考虑以后呢

我们能够完全地列出质体的形变

位移和弹簧形变之间的关系

还有质体所受外力

跟弹力之间的关系

我们下面分四种情况

来列出这些关系

下面我们来看情形1

情形1呢

是三个质体弹簧相连

然后弹簧的两端被固定住了

那么质体的位移

因为弹簧形变产生的位移

分别是u_1 u_2和u_3

那么弹簧的形变量

和质体的位移量

它们的关系呢

是左边这个表达式

那么

这是根据刚才我们一般性讨论

我们看到e_2等于u_2减u_1

也就是说e_2 第二个弹簧

这是第一个弹簧

第二个弹簧 第三个 第四个

第二个弹簧它的形变量

等于第二个质体的移动量

减去第一个质体的位移量

那么e_1和e_4

它们对应的正好是边界情形

我们可以把e_1等于u_1

理解为u_1减u_0

也就是说在第一个质体

它上面没有质体了

那么这个u_0呢实际上是0

e_4情况是相同的

我们可以把它理解成u_4减u_3

也就是说

在第三个质体下面没有质体了

所以u_4等于0

那么u_1和u_4这两个表达式

它们分别对应着我们的边界情形

那么边界的情况呢

我们可以写u_0等于u_4等于0

那么我们可以把它

写成一个矩阵的形式

e等于e_1 e_2 e_3 e_4 和u的关系

我们写矩阵的时候

我们就不写u_0和u_4了

我们只是反映

实际存在的量的关系

那么我们可以看到这个A呢

是一个四行三列的矩阵

就是这是三个质体的位移

和四根弹簧弹性形变量

之间的一个向量之间的关系

那么我们在关系情形1呢

我们来看一下受力的情况

那么这时候f_1 f_2 f_3

我们前面讨论了

第一个质体所受的外力

就等于它的上下两根弹簧

之间的弹性形变引起的弹力

之间的差

那么我们得到了

这个一般的向量形式

这个我们叫f 这个叫y

就是f等于这样一个矩阵乘上y

那么大家可以看到

这个中间这个过渡矩阵呢

跟刚才那个弹簧形变的量

和位移之间这个矩阵的关系

恰好跟这个矩阵的关系

它们恰好互为转置

如果我们把这个矩阵叫A的话

那么现在呢

这个矩阵就是我们的A＾T

所以我们现在可以把这个图

可以看出来了

u通过一个表示质体的位移

e就是弹簧的伸缩量

那么它们之间

这两个向量之间通过一个矩阵

互相转换

e跟y通过的是这样一个对角阵

弹性系数转换

那么这个呢

是我们的胡克定律给出来的

那么通过受力平衡呢我们看到

f这个外力跟弹力之间的关系

恰好这两个之间互为转置

那我们连接起来

我们得到f跟u的关系

就是f就等于Ku

K正好是这样一个形式

那么我们确切地可以把这个K

确切地算出来

这样一个K呢

我们给它起个名字叫刚度矩阵

它实际上反映了整个这个系统

它的弹性形变的程度

当受到外力的时候

那么K等于A＾T乘上C再乘上K

那么我们确切算出来呢是等于

这样一个三乘三的矩阵

那么通过地我们现在来算情形2

情形2呢这时候

这三个质体弹簧相连以后

只有上面一端固定

下面一端没有固定

那么这时候弹簧的形变量e

跟质体的位移量u之间的关系

通过这样的表达式

那么我们可以看到e_1

实际上是e_1减u_0 这个u_0等于0

也就是说

这个质体上面没有质体了

u_0等于0

那么这边
我们实际上可以再写个e_4

e_4呢等于u_4减u_3

那么这个e_4也没有 也是0

同样我们对这个也进行受力分析

那么这个受力分析我们发现

跟刚才情形1完全一样

就是外力跟弹力之间的关系

恰好是刚才这个矩阵的转置

那么最后我们算出

这个K等于A＾TCA

等于这样一个表达形式

那么从这个图上我们可以看到

始终这个e和u的关系

和f和y的关系

正好是A和A转置

我们再来看情形3

在情形3中呢

那么这时候我们可以看到

有同样的e和u的关系 f

这时候三个质体

通过两个弹簧相连

那么e_1 e_2就是两根弹簧

它们的形变量等于u_2减u_1

e_2等于u_3减u_2

那么e呢

我们就可以确切地写出来了

那么在这种情况我们看到

如果按照我们刚才的记号呢

实际上这一块呢

就是在我们这个上面这个弹簧

和下面这个弹簧都没有

u_0等于u_1减u_0 是0

这个呢 e_3等于u_4减u_3 也是0

这个上面呢 弹簧这都没有

那么它们的受力也是f_1 f_2 f_3

确切地

我们可以写出这样的表达式

这时候得到的刚度矩阵呢

就是A＾TCA

这个就是我们的A

那么在这种情况大家可以看到

如果u_1 u_2 u_3都是0的话

也就是说

这三个质体没有发生位移

那么e就是0

就是弹簧就没有发生形变

而第二点呢我们可以看到

f_1+f_2+f_3等于0

也就是说这样一个系统

要保持平衡呢

必须是外部总和的力是0

也就是包括重力

所以大家可以看到

这三个质体在受到重力以后

使弹簧发生形变

要能保证平衡

必须还有另外的跟重力相反的力

抵消掉重力

才能使这个表达式成立

也才能使系统发生平衡

这是情形3

那么在情形3中

大家已经可以看到

这里面这个A呢

它不是一个列满秩的

从这可以看出

下面我们来看一下情形4

这时候是三个质体通过三根弹簧

首尾相接

那么我们按照我们刚才的

一般性讨论呢

得到了这样一个表达式

那我们来看一下

我们怎么来通过一般性看这个呢

那么我们可以心目中想着

是m_3下面接了了一个m_4

然后这个m_4就是我们的m_1

所以这一根弹簧

跟这一根弹簧是一样的

所以我们看e_1等于u_1减u_3

那么实际上这个u_1呢

就是我们的u_4减u_3

那么我们从这个角度看呢

它的次序就比较合理

那么同样呢受力分析y也是

那我们可以看到

这一块这个f恰好是A＾T y

那么我们最后我们得到了

这个刚度矩阵就是A＾TCA

我们算出来了

这样一个刚度矩阵的形式

我们现在讨论的四种情况

得到了四个刚度矩阵