当前课程知识点：线性代数(2) > 第七讲：工程中的矩阵 > 7.3 变量的线性关系 > 7.3 变量的线性关系
大家好
我们在简介中我们说过
我们要把物理定律
应用到实际问题中呢
我们是通过
一个简单的框架图走的
那么现在呢
在现在这个弹簧模型中
我们讨论这些量之间的关系
也是这样子的
第一个u和e的关系
第二个胡克定律
第三个呢 受理平衡
那么它们的关系呢
在第一部分的时候
简介中我们是考虑
u和e之间的一个线性关系
然后e跟y之间
我们刚才已经说过
这是一个对角阵C等于c_1, ..., c_m
然后y跟f的关系
这就是我们第三部分要讨论的
这样一个矩阵
这个呢是将在第一部分讨论
那么我们先对于我们
去掉r部分的那四种情况
一般性地讨论一下
我们先考虑一根弹簧
它连接两个质体
那么我们看一下弹簧的形变
跟质体的位移之间的关系
这张图左边代表
形变之前原始状态
这时候弹簧的长度是L
那么m_1m_2当受到外力
比如说重力
那么这时候弹簧开始发生形变
那么质体也开始移动
那么我们假设m_1这个质体
从原来这个位置移到了这个位置
那么这之间的位移量呢
就是我们的u_1
那么m_2这个质体
从原来这个位置
移到了现在这个位置
那么它的移动量就是u_2
这两个质体
那么同时弹簧也发生了形变
弹簧的长度由原来的L
变成了L+e
那么我们要讨论一下
这一个变化量e
弹簧的变化量e
和m_1 m_2的变化量
位移量之间的关系
那么很显然e=u_2-u_1
等于m_2的移动量减去m_1移动量
导致的m_2移动量的那一部分
e=u_2-u_1
那么我们再看受力的情况
那么一个质体
它上下连接两根弹簧
那么质体受到了外力f
这个外力可能是重力
也可能带其他力
那么导致了这个弹簧的形变
弹簧1和弹簧2它们发生形变
可能伸长了 也可能缩短
那么就产生了两个弹力
分别成为y_1 y_2
那么当这个系统保持平衡的时候
那么在m这个质体这一块
它受到的外力f跟y_1 y_2之间
也有一个关系
这个关系就是f=y_1-y_2
我们刚才说的一般情况呢
实际上都没有考虑边界的情况
就是刚才我们讨论的四种情况中
当考虑边界的时候
比如说在边界的时候
经过2呢
在第三个质体下面没有弹簧了
在情况3上下两个m_1 m_3质体上
也没有弹簧了
那么在这些情况的时候
都属于边界的时候
就不能简单地写成u_2-u_1
那么我们来看一下边界的情况
假如说在边界的时候呢
那么这时候有两种情况
一种是u_1等于0
那么这种情况呢就是说
这个m_1这个质体没有
也就是说m_2只有下面这一部分
而另一种呢是u_2等于0
那么这种情况呢
就是m_2这个质体没有
所以也没有任何位移
那么这时候呢
我们仍然能把这个e写成
e就等于u_2
那这时候呢这个e就等于0减u_1
而下面这种情况也是
当考虑边界的时候呢
它也会产生极端的情况
那么比如说m下面没有弹簧了
没有弹簧了
那么y_2这个力就不存在
一个是2不存在
这个弹簧不存在
那么这时候这个f呢
就只有跟y_1平衡一下 y_2是0
通过这样一个考虑以后呢
我们能够完全地列出质体的形变
位移和弹簧形变之间的关系
还有质体所受外力
跟弹力之间的关系
我们下面分四种情况
来列出这些关系
下面我们来看情形1
情形1呢
是三个质体弹簧相连
然后弹簧的两端被固定住了
那么质体的位移
因为弹簧形变产生的位移
分别是u_1 u_2和u_3
那么弹簧的形变量
和质体的位移量
它们的关系呢
是左边这个表达式
那么
这是根据刚才我们一般性讨论
我们看到e_2等于u_2减u_1
也就是说e_2 第二个弹簧
这是第一个弹簧
第二个弹簧 第三个 第四个
第二个弹簧它的形变量
等于第二个质体的移动量
减去第一个质体的位移量
那么e_1和e_4
它们对应的正好是边界情形
我们可以把e_1等于u_1
理解为u_1减u_0
也就是说在第一个质体
它上面没有质体了
那么这个u_0呢实际上是0
e_4情况是相同的
我们可以把它理解成u_4减u_3
也就是说
在第三个质体下面没有质体了
所以u_4等于0
那么u_1和u_4这两个表达式
它们分别对应着我们的边界情形
那么边界的情况呢
我们可以写u_0等于u_4等于0
那么我们可以把它
写成一个矩阵的形式
e等于e_1 e_2 e_3 e_4 和u的关系
我们写矩阵的时候
我们就不写u_0和u_4了
我们只是反映
实际存在的量的关系
那么我们可以看到这个A呢
是一个四行三列的矩阵
就是这是三个质体的位移
和四根弹簧弹性形变量
之间的一个向量之间的关系
那么我们在关系情形1呢
我们来看一下受力的情况
那么这时候f_1 f_2 f_3
我们前面讨论了
第一个质体所受的外力
就等于它的上下两根弹簧
之间的弹性形变引起的弹力
之间的差
那么我们得到了
这个一般的向量形式
这个我们叫f 这个叫y
就是f等于这样一个矩阵乘上y
那么大家可以看到
这个中间这个过渡矩阵呢
跟刚才那个弹簧形变的量
和位移之间这个矩阵的关系
恰好跟这个矩阵的关系
它们恰好互为转置
如果我们把这个矩阵叫A的话
那么现在呢
这个矩阵就是我们的A＾T
所以我们现在可以把这个图
可以看出来了
u通过一个表示质体的位移
e就是弹簧的伸缩量
那么它们之间
这两个向量之间通过一个矩阵
互相转换
e跟y通过的是这样一个对角阵
弹性系数转换
那么这个呢
是我们的胡克定律给出来的
那么通过受力平衡呢我们看到
f这个外力跟弹力之间的关系
恰好这两个之间互为转置
那我们连接起来
我们得到f跟u的关系
就是f就等于Ku
K正好是这样一个形式
那么我们确切地可以把这个K
确切地算出来
这样一个K呢
我们给它起个名字叫刚度矩阵
它实际上反映了整个这个系统
它的弹性形变的程度
当受到外力的时候
那么K等于A＾T乘上C再乘上K
那么我们确切算出来呢是等于
这样一个三乘三的矩阵
那么通过地我们现在来算情形2
情形2呢这时候
这三个质体弹簧相连以后
只有上面一端固定
下面一端没有固定
那么这时候弹簧的形变量e
跟质体的位移量u之间的关系
通过这样的表达式
那么我们可以看到e_1
实际上是e_1减u_0 这个u_0等于0
也就是说
这个质体上面没有质体了
u_0等于0
那么这边
我们实际上可以再写个e_4
e_4呢等于u_4减u_3
那么这个e_4也没有 也是0
同样我们对这个也进行受力分析
那么这个受力分析我们发现
跟刚才情形1完全一样
就是外力跟弹力之间的关系
恰好是刚才这个矩阵的转置
那么最后我们算出
这个K等于A＾TCA
等于这样一个表达形式
那么从这个图上我们可以看到
始终这个e和u的关系
和f和y的关系
正好是A和A转置
我们再来看情形3
在情形3中呢
那么这时候我们可以看到
有同样的e和u的关系 f
这时候三个质体
通过两个弹簧相连
那么e_1 e_2就是两根弹簧
它们的形变量等于u_2减u_1
e_2等于u_3减u_2
那么e呢
我们就可以确切地写出来了
那么在这种情况我们看到
如果按照我们刚才的记号呢
实际上这一块呢
就是在我们这个上面这个弹簧
和下面这个弹簧都没有
u_0等于u_1减u_0 是0
这个呢 e_3等于u_4减u_3 也是0
这个上面呢 弹簧这都没有
那么它们的受力也是f_1 f_2 f_3
确切地
我们可以写出这样的表达式
这时候得到的刚度矩阵呢
就是A＾TCA
这个就是我们的A
那么在这种情况大家可以看到
如果u_1 u_2 u_3都是0的话
也就是说
这三个质体没有发生位移
那么e就是0
就是弹簧就没有发生形变
而第二点呢我们可以看到
f_1+f_2+f_3等于0
也就是说这样一个系统
要保持平衡呢
必须是外部总和的力是0
也就是包括重力
所以大家可以看到
这三个质体在受到重力以后
使弹簧发生形变
要能保证平衡
必须还有另外的跟重力相反的力
抵消掉重力
才能使这个表达式成立
也才能使系统发生平衡
这是情形3
那么在情形3中
大家已经可以看到
这里面这个A呢
它不是一个列满秩的
从这可以看出
下面我们来看一下情形4
这时候是三个质体通过三根弹簧
首尾相接
那么我们按照我们刚才的
一般性讨论呢
得到了这样一个表达式
那我们来看一下
我们怎么来通过一般性看这个呢
那么我们可以心目中想着
是m_3下面接了了一个m_4
然后这个m_4就是我们的m_1
所以这一根弹簧
跟这一根弹簧是一样的
所以我们看e_1等于u_1减u_3
那么实际上这个u_1呢
就是我们的u_4减u_3
那么我们从这个角度看呢
它的次序就比较合理
那么同样呢受力分析y也是
那我们可以看到
这一块这个f恰好是A＾T y
那么我们最后我们得到了
这个刚度矩阵就是A＾TCA
我们算出来了
这样一个刚度矩阵的形式
我们现在讨论的四种情况
得到了四个刚度矩阵
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
