当前课程知识点：线性代数(2) > 第十讲：Fourier级数 > 10.1 引言 > 10.1 引言
大家好
这一讲我们来学习傅里叶级数
傅里叶级数和傅里叶变换
是傅里叶分析的重要组成部分
傅里叶级数来自于求偏微分方程的周期解
我们将从线性代数的角度来理解
傅里叶级数展开
特别的
我们将把有限维向量空间的正交基
和有限维向量空间向量用正交基的线性组合
这些形式呢转化到无限维的情形
好 大家好
从这一讲我们开始
学习傅里叶级数
一个复杂的函数
经常被展开成一些基本的函数
的组合或者叠加
以便于我们的研究
比如如果f(x)在x=x_0某临域内
是光滑的
光滑的意思就是说
它在这个临域内是无穷阶可导
任意阶导数都存在
则在此邻域中f(x)
可以写成这样一个和式
那么在写成这样一个和式
实际上我们只需要f(x)
有n+1阶导数就够了
最后一项是我们的余项
那么当x非常趋近于x_0的时候呢
那么这个可以看作
一个无穷小阶的就是x-x_0＾n+1
或者我们写成n吧
如果这个余项呢
当n趋于无穷的时候
一致地趋于0
也就是跟x的取值无关
则f(x)可以写成
这种无穷和式
那右边这样一个无穷和的级数
我们称为泰勒级数
换句话说
当f(x)它满足某些条件
就是刚才我们说光滑的
那么或者余项趋于0
则f(x)可以写成
这种基本的函数
它们的线性组合
线性组合意思就是说加法和数乘
那么我们看这些函数
它们组合成泰勒级数呢
就通过加法和数乘
组合成一个复杂的函数
那么如果f(x)
y=f(x)是一个周期函数的话
那么有时候呢
我们取这种sinx cosx
这一类基本的周期函数
把这些函数线性组合出来
得到f(x)
这样可能比泰勒级数更简单一些
首先我们来定义傅里叶级数
就是f(x)是一个周期为2π的
这个piecewise连续函数
也就是说它周期为2π
那么在它的一个周期里面
-π到π 这里面呢
它只有有限个点不连续
而且不连续的点
它的左和右极限是存在的
那么比如说
如果f(x)在这一点上不连续
那么这种情况呢
它就是属于左右极限存在的
那么再看另外一种情况呢
-1到1
那么在0点呢它取这个值
那么看这种情况
就是当x趋于0的时候呢
它的左和右极限都不存在
那么这种就不是我们要的
piecewise连续定义函数
所以我们考虑的这种函数呢
它的傅里叶级数我们写成
就是刚才我们说的cos
或者sin这种周期函数
它们的线性组合 无限的线性组合
其中a_k是等于这样一个积分形式
b_k是f(x)跟sinx
相乘的一个积分形式
我们把下面这个级数呢
称为f(x)的傅里叶级数
更确切地说
就是f(x)的傅里叶级数的实形式
那么这里呢
我们并不知道f(x)
是否等于这个无穷和级数
所以一般呢
在这个时候我们是这样写的
f(x)
我们用这样一个符号
去代替等于号
如果我们说明了这个是
右边是收敛的
那么我们实际上可以写出
f(x)等于右边这个无穷和
那么傅里叶级数
还有一个复形式
它的复形式就是把这一列函数
作为基本函数
那么这一列函数呢
e＾ikx 它等于coskx+isinkx
就是在复函数的时候
我们把这个作为基本函数
像这种基本函数呢
它们的无穷线性组合
成一个无穷和的形式
我们称为
其中这个c_k
等于这样一个积分形式
我们把f(x)呢
这样一个无穷和形式称为
f(x)的傅里叶级数的复形式
那么这两个定义呢
实际上是等价的
那么我们可以看到在定义1中
如果我们使用这样一个公式
就是因为e^ix等于cosx+isinx
所以我们考虑e＾ix+e＾-ix
除以2就等于cosx
sinx就等于e＾ix-e＾-ix除以2i
那么把这两个式子代入到
定义1中的傅里叶级数
我们就得到了这样一个表达形式
把它稍微整理一下呢
我们就写成了e＾ikx
或者e＾i-kx的线性组合
那么令c_k等于a_k-ib_k除以2
那我们把a_k b_k的这两个表达式
代进去呢
我们就得到了c_k是等于1/2π
然后乘上这个积分形式
我们刚才说了不管是定义1
还是定义2
他们作为傅里叶
f(x)的傅里叶展开的实形式
和复形式
我们并没有断言f(x)
就等于它的傅里叶级数
事实上我们有下面这个定理
设f(x)呢
是周期为2π的周期函数
f(x)和f(x)的导数
它们在一个周期里面-π到π
在这个上面
它们都是piecewise连续的
那么f(x)的傅里叶级数
就是收敛的
那么如果
f(x)的傅里叶级数收敛呢
那么我们就说
在任意连续点x等于a
这个傅里叶
无穷和的傅里叶级数
它是等于f(a)的
那么在不连续点呢
它等于f(x)
在这一点的左右极限和的平均值
因为我们说piecewise连续的呢
保证了这两个极限是存在的
例如f(x)是等于
这样一个分段函数
那么这个分段函数
我们看它的一个周期里面呢
从-π到π
-π到π呢这一块呢 它取的是0
从0到π它取的是1
我们这个地方打个圆圈
表示在这个π这一点呢
它不取1
这一块呢
在这一块打一个空心的
就表示它在-π到0的时候呢
0这一点呢它没取到
所以我们打个空心
那这样一个函数呢
我们可以看到
它是这样一个周期函数
那么我们过会可以计算出
它的傅里叶展开是这个样子
那么这样展开的结果呢
是当x不等于nπ的时候
我们看在一个周期里面呢
它不连续的地方只有在x等于
在这个周期里面
只有在x等于0处
它是不连续的 还有边界处
所以在这个周期里面有
-π 0 π这三个点不连续
所以我们检查一下这些点
那么在x趋于0的时候
f(x)等于1
那么它从负的这儿趋于0的时候呢
这是f(x)的左
在0点的左极限
f(x)在0点的右极限
那么我们可以看出
它的傅里叶级数呢
在这一点处
是等于这两个和的平均值
所以等于1/2
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
