当前课程知识点：线性代数(2) > 第一讲：正定矩阵 > 1.8 矩阵的合同 > 1.8 矩阵的合同
我们假设C
是一个n阶的非退化矩阵
x等于Cy
我们称为是变量x到这个变量y
我们叫做一个非退化的变量代换
那么
在这个非退化的变量代换之下
一个二次型f（x）
等于X的转置乘以AX
可以变成什么样子呢
X的转置AX
这个X等于Cy
X的转置变成Cy的转置
那于是它变成Y的转置
去乘以C的转置AC
再乘以Y
我们把这个矩阵叫做是B矩阵
这仍然是一个对称矩阵
那这个样子就变成了是
Y的转置乘以B乘以Y
它是关于Y的一个二次型
它相应的矩阵
就是这个对称矩阵B
好 一个二次型
经过非退化的变量代换之后
化成了Y的转置BY
关于另外一个变量的一个
二次型的样子
那么这两个矩阵
A和B之间的关系
B等于C的转置乘以AC
我们说这叫合同关系
两个n阶矩阵A和B
如果存在着一个可逆矩阵C
使得C的转置AC是等于B的
我们就称A与B合同
两个矩阵合同这个关系呢
我们说是有自反性
有对称性 有传递性
也就是说一个实对称矩阵
它是跟自己是合同的
那么A如果和B合同
B也和A合同
A如果和B合同
B如果和C合同
A也和C是合同的
我们说
这个叫做一个等价的关系
那么有了合同这个概念之后
我们之前这个实对称矩阵
正交相似于对角阵
是任何一个实对称矩阵
是Q Q的转置等于对角阵
那么也可以叫
说正交合同于对角阵
因为Q是一个正交阵
那这是
我们主轴定理的另一个描述
事实上呢
不仅局限在Q是一个正交变换
只需要作一般的
这个非退化的变量代换
任意的一个实对称矩阵
都可以合同于对角阵
用二次型的语言来讲
就是对于实的二次型
我们总存在着非退化的变量代换
化成对角形的二次型
我们把二次型
和实对称矩阵的描述
它的本质上是一致的
我们看实对称矩阵
-1 2 -1矩阵
我们说它可以写成Q Lambda Q的转置
A这个矩阵
实对称矩阵它等于Q Lambda Q的转置
而这个Lambda呢
是一个对角阵
对角线上是它的特征值
2减根2 2 2加根2
然后Q这个矩阵
是它相应特征值的单位特征向量
这是我们之前做过
我们就说A和这个Lambda是合同的
这时候是正交合同
那么我们又知道了
这个实对称矩阵A
它有LDL转置分解
那D这个矩阵是以主元
作为对角元的对角矩阵
那么我们也说A和D是合同的
我们又可以说
这个A和单位阵是合同
比如我们又说
A和这个单位阵是合同的
这是我们写出来的
这个C和C的转置
所以在-1 2 -1这个实对称矩阵
它跟对角阵Lambda D
和单位阵都是合同
那合同变换
从A变成C的转置乘以AC
这个变换我们叫合同变换
它保持了矩阵的对称性
也就换成了C的转置AC以后
仍然还是对称矩阵
它能够保持矩阵的秩
因为我们知道C是一个可逆矩阵
它右乘等于A去做列变换
在左边乘是表示对A作行变换
那作行变换列变换
不改变矩阵的秩
那我们就要问
说除此之外合同变换
还保持矩阵A的什么性质
我们有下面的著名的惯性定理
我们说一个实对称矩阵A
与与它合同的这个矩阵
C转置AC
它们具有相同数目的正特征值
负特征值和0特征值
也就是说特征值的符号
在合同变换下是保持不变的
这是合同变换
所保持的一个性质
上面例子中的-1 2 -1矩阵
它与Lambda D以及单位阵合同
这三个对角阵的正特征值的个数
都是3
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
