当前课程知识点：线性代数(2) > 第五讲：线性变换 II > 5.3 线性变换在不同基下的矩阵 > 5.3 线性变换在不同基下的矩阵
接下来我们来看一下
一般的线性变换
在不同基下的矩阵
假设V是n维持的向量空间
α_1, …, α_n, β_1,…,β_n是V的两组基
并且它们有基变换公式
β_1到β_n等于α_1,…,α_n去乘以矩阵P
P是一个可逆矩阵
那假设σ是V到V的一个线性变换σ
在这两组基的矩阵
分别是A和B
也就是σ作用在α_1,…,α_n上
等于α_1,…,α_n去乘以矩阵A
而σ作用在β_1,…,β_n上
等于β_1,…,β_n去乘以矩阵B
那么再次来强调一下说
左手边这个记号
它其实表示的意思就是σ
作用在α_1上 σ
作用在α_n上
作为列向量构成的这个矩阵
这个只是我们的一个记号
接下来我们来看一下σ
作用在β_1,…,β_n上
一方面呢因为β_1,…,β_n
可以用α_1,…,α_n去乘以过渡矩阵P
来表示
那由于线性变换σ
它实际上是作用在这些向量上
P这个矩阵是一些系数或者坐标
它可以提出来 可以扔出来
这样σ作用在向量α_1到α_n上
就等于α_1,…,α_n去乘以矩阵A
而另外一方面σ
作用在β_1到β_n上
可以用β_1,…,β_n去乘以矩阵B
线性表示出来
而β_1到β_n又等于α_1,…,α_n
去乘以过渡矩阵P
于是我们就有α_1,…,α_n去乘以AP
等于α_1,…,α_n去乘以PB
而α_1,…,α_n是向量空间V的基
所以它是线性无关的
那么右手边这个相等的式子
告诉我们AP到等于PB
而P是一个可逆矩阵
所以我们就有B等于P＾{-1}AP
也就是说n维向量空间
V上的线性变换σ
在V的不同的两组基α
基和β基下的矩阵A和B
它们是互为相似矩阵的
那这是线性变换
在不同基下矩阵表示的关系
那么这点也可以从
线性变换的复合的
矩阵表示的性质可以看出来
我们说
给一个向量空间
V到V的线性变换σ
那么它在旧的一组基底
α_1,…,α_n上的矩阵表示
我们说假设是A
在一组新的基底β_1到β_n
它下面的矩阵表示呢
我们记为是B
那么从V到V的恒同变换
从输入基β到输出基α
这个矩阵表示叫做是矩阵P
那么也就是说我恒同变换I_1
把输入基放进去等于输出基
去乘以矩阵表示P
那么注意到
我们上一节讲过的这个
因为是恒同变换
所以也就是这两组基间的基变换
那么同样地
从V到V的恒同变换I_2
作用在输入基α_1到α_n上
而输出基β_1到β_n
去表示出来的这个矩阵呢
自然的就是P＾{-1}
那么由于σ等于
先作I_1这个恒同变换
再作σ这个变换
再作这个I_2这个恒同变换
也说是σ可以写成一个复合
好 可以写成这样的复合
而I_1所有对应的矩阵表示是P
这个σ对应的矩阵表示是A
那这个I2所对应的矩阵表示
是P＾{-1}
那最上端的这个σ
它的矩阵表示我们记成是B
于是我们就有B等于P＾{-1}AP
这也是我们刚才求出来的
这个表达式
所以从线性变换的复合的角度
我们也得到n维向量空间
V到的自身的线性变换
在两不同基下面的矩阵表示
是互为相似矩阵的
那么我们也可以讲说
两个相似矩阵B和A
实质上是同一个线性变换
在不同基下的矩阵
而这个过渡矩阵P
P这个矩阵是两组基的过渡矩阵
当我们借助于矩阵
来研究线性变换的时候
我们希望研究线性变换
与基底选取无关的性质
由以上的讨论我们知道
这个向量空间
V到自身的线性变换
在不同基下的矩阵表示是
互为相似矩阵的
因此所谓与基底选取无关的性质
也就是相似变换下不变的性质
那么这样自然地
研究相似不变量
是线性代数中很重要的内容
我们知道对于一个矩阵而言
特征多项式 特征值 迹
行列式 矩阵的秩等等
都是矩阵的相似不变量
这样我们就称
一个n维向量空间V上线性变换
在V的一组基下的矩阵A
它的特征多项式
我们说
把矩阵表示A的特征多项式
特征值 迹行列式等等
就叫做
这个线性变换的特征多项式
特征值 迹 行列式
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
