12.4 离散Fourier变换慕课视频播放-线性代数(2)-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

好下面我们来回忆一下

傅里叶变换的离散形成

那么这个

是我们复矩阵的一个应用

若f（x）满足f（x）f′（x）

是piecewise连续的

且f（x+L）等于f（x）

则f（x）有这样一个

傅里叶级数展开

那么an bn都可以通过f（x）

算出来

那么我们建立一个对应

就是把f（x）对应到

这个傅里叶级数展开的无穷个

系数上

那么这样一个对应过程呢

就是我们可以通过f（x）

来求ai bi

我们也可以通过ai bi求f（x）

那么当我们用f（x）

来求ai bi的时候呢

这个就是我们的傅里叶变换

当我们用ai bi来求f（x）的时候

就是我们的逆傅里叶变换

好我们这个傅里叶变换呢

我们刚才说的傅里叶级数

它有实的形成

也有复的形成

那么复的形式是用e＾ix

去做这种替换

我们就可以得到它的复形式

就是f（t）等于这样一个形式

其中的cn是等于L分之1

从-2分之L到2分之L这样作积分

那么我们大家可以回忆一下

当时我们令ωn

等于L分之2πn

那么我们就得到了

f（t）的傅里叶变换

就是这样一个积分

它的傅里叶变换

实际上就是关于频率的一个函数

那么我们把整个过程离散化

那么这时候离散化有两种选择

一个是把这个积分式子离散化

一个是把这个无穷和离散化

那么这两个离散化

得到的不同的离散傅里叶变换

那么它们差的n分之1

我们来看

第一个离散化呢

我们可以把这个f（t）e＾iωnt

换成这样一个形式

这个无穷和我们换成了

从k等于0到N-1这样一个形式

或者我们把这个式子离散化

这个式子离散化呢

我们可以令tj等于jL除以n

那么就得到了f（tj）

约等于这样一个形式

这样一个表达式就是

我们后面需要考虑的

离散傅里叶变换形式

实际上这是个逆的过程

就是逆的傅里叶变换

那么在其他书上

大家可能使用是这种形成

进行离散傅里叶变换

我们下面考虑这种形式

它的矩阵形式

我们看n等于4的情形

n等于4

就是A0 A1 A2 A3

跟小的a0 a1 a2 a3的关系

可以直接写出来

确切地用矩阵写呢

就是这样一个形式

那么我们可以看到

这个矩阵的特点

它的第i行第j列

我们这个i和j

第i行是从0开始算的

比如说这个是第0行第0列

这个是第0行第1列

如果我们用通常的习惯也可以

那么我们按照我们通常的习惯

我们把这个矩阵叫F

那么Fs，t

那么它应该等于什么呢

等于i的s-1乘上t-1

比如说第3行第3列

那么这个元素

应该是s取3

3-1 2 t取3

所以最后是i的4次方

比如说这个元素是第3行第4列

那么第3行第4列的元素

应该是2 3等于6

所以i的6次方

这样一个矩阵

我们称为傅里叶矩阵

而一般形式我们可以写出来

从A0到An-1等于F

小a0到aN-1

那么F（s，t）实际上是等于

e＾i 2πst/N

那么我们取单位根是ωN

等于e的i2π/n

所以第s行第t列的元素

实际上是ωst/n

那么我们看到这个矩阵

是个对称阵

注意这是个复矩阵

所以这个复矩阵

它只是元素对称

它并不保证是共轭对称的

所以我们这块要注意

另一方面我们说st呢

指的是从0开始算的

也就是说

F这个矩阵它有从0行

一直到N-1行

那么为了求出A0 小a0

a1一直到aN-1呢

我们可以把F移到左边取逆

也就是说

那我们可以算出

这个F的具体的逆是什么

那么F的逆实际上

就是把F共轭一样

取N分之1

因为F这个矩阵特点很明显

它非常类似于

我们的范德蒙行列式

范德蒙矩阵

就是下一行等于上一行的指数次

往上涨

那么我们看到a0 a1

一直等于F_-1乘上大的A0

A1 An-1

那么这个就是我们的

傅里叶变换的离散形式

那么我们可以看到

因为F这个矩阵是N平方个元素

所以我们可以看到

为了求出小a0 a1到aN-1

我们需要N＾2次乘法

N（N-1）次加法

当然除以N我们忽略了

就是计算量的是N＾2这个阶的

那么我们希望能引入一个方法

就是使得这个计算量大大减小

这个方法就是我们下面要说的

快速傅里叶变换

线性代数(2)课程列表：

第一讲：正定矩阵

-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件

-1.2 典型例题

-1.3 半正定矩阵及其判别条件

-1.4 二次型

-1.5* 有心二次曲线(central conic)

--1.5* 有心二次曲线(central conic)

-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面

--1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面

-1.7 二次型的分类

--1.7 二次型的分类

-1.8 矩阵的合同

--1.8 矩阵的合同

-1.9* 惯性定理的证明

--1.9* 惯性定理的证明

-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号

--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号

-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用

--1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用

-第一讲讲义

-第一讲：正定矩阵--课后习题

第二讲：相似矩阵

-2.1 引言

-2.2 相似矩阵的性质

-2.3 Jordan标准形

-2.4 定理的证明

-2.5 Jordan标准形的应用

-第二讲：相似矩阵--课后习题

第三讲：奇异值分解

-3.1 引言

--3.1 引言

-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

-3.3 例题

--3.3 例题

-3.4 奇异值分解的应用

--3.4 奇异值分解的应用

-第三讲讲义

-第三讲：奇异值分解--课后习题

第四讲：线性变换 I

-4.1 线性变换的定义和性质

-4.2 线性变换的运算

-4.3 线性变换的矩阵表示

-4.4 线性变换与矩阵之间的关系

-第四讲：线性变换 I--课后习题

第五讲：线性变换 II

-5.1 恒同变换与基变换

-5.2 图像压缩——基变换的应用

-5.3 线性变换在不同基下的矩阵

-5.4 矩阵分解与基变换

-5.5 线性变换的核与像

-5.6 不变子空间

-5.7* 幂零变换

-5.8* Jordan标准形

-第五讲：线性变换 II--课后习题

第六讲：伪逆

-6.1 伪逆

--6.1 伪逆

-6.2 Moore – Penrose 伪逆

--6.2 Moore – Penrose 伪逆

-6.3 最小二乘法

--6.3 最小二乘法

-第六讲讲义

-第六讲：伪逆--课后习题

第七讲：工程中的矩阵

-7.1 简介

-7.2 弹簧模型

-7.3 变量的线性关系

-7.4 刚度矩阵

-7.5 从离散到连续

-第七讲：工程中的矩阵--课后习题

第八讲：图与网络

-8.1 简介

--8.1 简介

-8.2 图和矩阵

--8.2 图和矩阵

-8.3 网络和加权Laplacian矩阵

--8.3 网络和加权Laplacian矩阵

-8.4 关联矩阵的四个基本子空间

--8.4 关联矩阵的四个基本子空间

-8.5 注记

--8.5 注记

-第八讲讲义

-第八讲：图与网络--课后习题

第九讲：Markov矩阵和正矩阵

-9.1 问题引入

-9.2 Markov矩阵

-9.3 正Markov矩阵

-9.4 正矩阵

-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题

第十讲：Fourier级数

-10.1 引言

-10.2 内积空间

-10.3 傅里叶级数

-10.4 投影

-10.5 关于Fourier变换的注记

--10.5 关于Fourier变换的注记

-第十讲讲义

-第十讲：Fourier级数--课后习题

第十一讲：计算机图像

-11.1 引言

-11.2 平移

-11.3 伸缩

-11.4 旋转

-11.5 投影和反射

-第十一讲：计算机图像--课后习题

第十二讲：复数与复矩阵

-12.1 引言

-12.2 复矩阵

-12.3 复正规阵

-12.4 离散Fourier变换

-12.5 快速Fourier变换

-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题

结课寄语

-结课寄语

--结课寄语

12.4 离散Fourier变换在线视频