5.1 恒同变换与基变换慕课视频播放-线性代数(2)-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

大家好

上节课我们引入了线性变换

及其矩阵表示

这节我们继续讨论

线性变换在不同基下

矩阵表示之间的关系

对于给定的线性变换

选取适当的基底

使得其矩阵表示尽可能简单

在本节最后

我们还将作为补充内容

从幂零变换角度出发

再来讨论矩阵的Jordan标准形

上节课呢

我们引入了线性变换的矩阵表示

对于从n维的向量空间

V到m维的向量空间

W的线性变换σ

我们取定V的一组基v_1到v_n

取定W的一组基 w_1到w_m

那线性变换σ作用在v_1到v_n上

可以被w_1,…,w_m线性表示

表示的系数

我们被一个m×n的矩阵A去描述

那么这样线性变换σ

就跟这个m×n的矩阵A一一对应

线性变换的矩阵表示

要依赖于我们基底的选取

一般说来如果基做了改变

同一个线性变换

它会有不同的矩阵表示

那我们希望找出线性变换

与基底选取无关的性质

这样当我们借助矩阵来研究

线性变换的这些性质的时候

就可以利用好基底下面

尽可能简单的矩阵表示

因此首先我们需要搞清楚

线性变换的矩阵表示

如何随着基底的改变而改变

那么我们首先来看一下

恒同变换与基变换之间的关系

假设σ是一个n维向量空间

V上的恒同变换

也就是它把V中的任何一个向量

小V变成它自己

那如果我们取定V的一组基α_

1到α_n

而恒同变换把每一个α_j

映成它自己

于是在这同一组基下σ

作用在α_1,…,α_n上

就等于α_1到α_n

去乘以n阶的单位阵

那也就是说恒同变换σ

在这组基下的矩阵

是n阶的单位阵

那如果我们取V的两组基α_

1到α_n和β_1到β_n

我们把α_1到α_n输入进去 σ

作用在上面

还等于α_j自己

那么α_j又可以被另一组基β_

1到β_n线性表示

表示的系数我们用P_{ij}来记录

也就是说σ作用在α_1到α_n上

可以用β_1到β_n线性表示

那么注意到

表示出来的这个矩阵

它的比如说第二列

是σ(α_2_在β_1,…,β_n

这组基下的坐标

这样我们得到了P这个矩阵

那另外一方面呢

因为σ是恒同变换

所以它是等于α_1到α_n的

而我们注意到

这样我们把α_1,…,α_n

用β_1,…,β_n去乘以P这个矩阵

表示出来

因为α_1到α_n是V的基底

而它作为列向量

做出来的这个矩阵

是一个列满秩的矩阵

是一个可逆的矩阵

同理β_1到β_n

作为列向量构成的这个矩阵

也是一个可逆的矩阵

那么因此P这个矩阵

也是一定是可逆的矩阵

这样恒同变换在α和β

这样两组基下的矩阵表示

就是可逆矩阵P

那我们也注意到恒同变换

不见得矩阵表示一定是单位阵

当我们输入的基底

和输出的基底不同的时候

它往往是一个

不是单位阵的一个可逆阵

好那我们也可以注意到

说恒同变换

在两组基下的矩阵表示P

它就是这样两组基之间的

基变换矩阵

有的又叫做是过渡矩阵

我们看两个简单的例子

在R＾3

如果给一组输入基𝜺_1,𝜺_2,𝜺_3,

而输出基是R＾3的标准基

e_1,e_2,e_3

我们求基变换矩阵 σ（𝜺_1 𝜺_2 𝜺_3）

输入进去

它等于（𝜺_1 𝜺_2 𝜺_3）自己

因为σ现在是恒同变换

那它一定可以由标准基

给表示出来

表示的东西不是别的

它就是这三个向量

在标准基下的坐标

那也就是1 0 0

1 1 0和1 1 1

构成了这个P矩阵

而这个P矩阵

是两组基的基变换矩阵

那如果我们仍然采用

这里的记号

我们来看

我们令输入基是标准基

e_1 e_2 e_3

输出基是𝜺_1 𝜺_2 𝜺_3

我们求相应的基变换公式

我们仍然把恒同变换

作用在输入基上

用输出基去线性表示

我们就看到

这时候表示的矩阵是P^{-1}

也就是

这时候两组基的这个变换矩阵

是矩阵P^{-1}

线性代数(2)课程列表：

第一讲：正定矩阵

-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件

-1.2 典型例题

-1.3 半正定矩阵及其判别条件

-1.4 二次型

-1.5* 有心二次曲线(central conic)

--1.5* 有心二次曲线(central conic)

-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面

--1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面

-1.7 二次型的分类

--1.7 二次型的分类

-1.8 矩阵的合同

--1.8 矩阵的合同

-1.9* 惯性定理的证明

--1.9* 惯性定理的证明

-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号

--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号

-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用

--1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用

-第一讲讲义

-第一讲：正定矩阵--课后习题

第二讲：相似矩阵

-2.1 引言

-2.2 相似矩阵的性质

-2.3 Jordan标准形

-2.4 定理的证明

-2.5 Jordan标准形的应用

-第二讲：相似矩阵--课后习题

第三讲：奇异值分解

-3.1 引言

--3.1 引言

-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

-3.3 例题

--3.3 例题

-3.4 奇异值分解的应用

--3.4 奇异值分解的应用

-第三讲讲义

-第三讲：奇异值分解--课后习题

第四讲：线性变换 I

-4.1 线性变换的定义和性质

-4.2 线性变换的运算

-4.3 线性变换的矩阵表示

-4.4 线性变换与矩阵之间的关系

-第四讲：线性变换 I--课后习题

第五讲：线性变换 II

-5.1 恒同变换与基变换

-5.2 图像压缩——基变换的应用

-5.3 线性变换在不同基下的矩阵

-5.4 矩阵分解与基变换

-5.5 线性变换的核与像

-5.6 不变子空间

-5.7* 幂零变换

-5.8* Jordan标准形

-第五讲：线性变换 II--课后习题

第六讲：伪逆

-6.1 伪逆

--6.1 伪逆

-6.2 Moore – Penrose 伪逆

--6.2 Moore – Penrose 伪逆

-6.3 最小二乘法

--6.3 最小二乘法

-第六讲讲义

-第六讲：伪逆--课后习题

第七讲：工程中的矩阵

-7.1 简介

-7.2 弹簧模型

-7.3 变量的线性关系

-7.4 刚度矩阵

-7.5 从离散到连续

-第七讲：工程中的矩阵--课后习题

第八讲：图与网络

-8.1 简介

--8.1 简介

-8.2 图和矩阵

--8.2 图和矩阵

-8.3 网络和加权Laplacian矩阵

--8.3 网络和加权Laplacian矩阵

-8.4 关联矩阵的四个基本子空间

--8.4 关联矩阵的四个基本子空间

-8.5 注记

--8.5 注记

-第八讲讲义

-第八讲：图与网络--课后习题

第九讲：Markov矩阵和正矩阵

-9.1 问题引入

-9.2 Markov矩阵

-9.3 正Markov矩阵

-9.4 正矩阵

-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题

第十讲：Fourier级数

-10.1 引言

-10.2 内积空间

-10.3 傅里叶级数

-10.4 投影

-10.5 关于Fourier变换的注记

--10.5 关于Fourier变换的注记

-第十讲讲义

-第十讲：Fourier级数--课后习题

第十一讲：计算机图像

-11.1 引言

-11.2 平移

-11.3 伸缩

-11.4 旋转

-11.5 投影和反射

-第十一讲：计算机图像--课后习题

第十二讲：复数与复矩阵

-12.1 引言

-12.2 复矩阵

-12.3 复正规阵

-12.4 离散Fourier变换

-12.5 快速Fourier变换

-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题

结课寄语

-结课寄语

--结课寄语

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