当前课程知识点：线性代数(2) > 第五讲：线性变换 II > 5.5 线性变换的核与像 > 5.5 线性变换的核与像
对于线性变换呢
我们有两个跟它密切相关的集合
线性变换𝛔的核 kernel
它定义成什么呢
它定义成所有被𝛔
映成零向量的集合
那么这个集合是长在V里头的
另外一个集合
是𝛔作用在V上的所有向量
打到这个W里头去的集合
这个集合叫做是𝛔的像
或者是𝛔的值域
那么这两个集合
跟𝛔有密切的关系
我们来看
我们说这样的两个集合
分别是长在V和长在W的子空间
我们注意到这两个集合
首先它们都是非空的
我们说𝛔（0）是等于0的
线性变换把零向量变成零向量
所以这个零向量
一定是落在𝛔的核里头的
那这个𝛔的核
它是V里头的
一个非空的一个子集
并且呢
这个集合关于V中的加法和数乘
是封闭的
那么我们就叫做
它是V的一个子空间
怎么封闭呢
我们来看说你在核里头
任意去找两个向量v_1和v_2
也就是𝛔（v_1）=0,𝛔（v_2）=0
那么𝛔作用在v_1+v_2上
根据线性变换保持加法
它就等于𝛔（v_1）+𝛔（v_2）
=0+0=0
因此v_1+v_2也落在𝛔的核里头
对于数域F中的任何一个数k, 𝛔（kv_1）
就等于k𝛔（v_1）, 𝛔（v_1）是等于0
所以是等于k乘以0等于零向量
因此k（v_1）也长在核里头
也就是说线性变换的核
它对于加法是封闭的
对于数乘是封闭的
因此它是这个向量空间
V的一个子空间
同理你可以证明𝛔的像
是向量空间W的子空间
因为它一定是个非空的
也是说0可以落在里头
那么w_1和w_2如果落在像里头
也就是存在着v_1和v_2 从V里头
使得𝛔（v_1）等于w_1 ， 𝛔（v_2）等于w_2
那么𝛔（v_1+v_2）就等于w_1+w_2
那么也就是说w_1+w_2
它可以写成v_1+v_2的像
那么它落在𝛔的像空间里头
那么也就是说𝛔的像
它关于加法是封闭的
同理k长在数域里头
kw_1总是可以写成是k𝛔（v_1）
那么就等于𝛔（kv_1）
所以kw_1是kv_1的像
那么它也落在𝛔的像里头
像这个集合
它是向量空间
W的非空的一个子集
并且关于加法和数乘是封闭的
因此它也是它的一个子空间
好 这样我们对线性变换𝛔
找到了两个跟它密切相关的
分别落在V和W的子空间
既然是子空间
我们就可以谈谈维数
我们把𝛔的核的维数
叫做线性变换𝛔的零度
把这个像的维数叫做𝛔的秩
我们来看下面一种特殊的情况
假设A是一个m×n的实矩阵
我们看x变成Ax
这是从R＾n到R＾m的一个
线性变换
这个用矩阵来定义的线性变换
它的核是说把Ax都变成零的
这种x
那么也就是A的零空间
那么这个核空间它的维数
也就是n减掉A的秩
我们把这个n减掉A的秩
这是等于𝛔的零度
我们也把这个数有时候称为
是矩阵A的零度
那么𝛔的像
也就是对于任意的这个x
被Ax打过去在R＾m里头
所构成的那个子空间
那么它不是别的东西
它是A的列空间
这个像的维数
也就是𝛔的秩呢恰巧就是A的秩
那这是线性变换
在这种特殊的
由矩阵给出的例子里头
跟我们之前矩阵的秩的概念
是相一致的
我们再来看一个简单例子
从次数小于等于n的
实系数一元多项式集合P_n
到它到自身的求导变换
这是一个线性变换
那么很容易看到
这个线性变换它的像是P_｛n-1｝
也就是次数小于等于n-1的
一元多项式集合
那么它的核是所有的常数
是实数集合
那么𝛔的秩它的维数是等于n
𝛔的零度是它的维数是等于1
从上面这两个例子里头我们发现
这个秩和零度加起来 n+1
这个的秩是r(A)
这个是n-r(A)
所以加起来是等于n
它们都等于所要研究的这个
这个V的这个维数
也就是我们有核的维数
加上像的维数
等于出发的这个向量空间的维数
这里也是如此
那么说事实上这件事情
对于有限维向量空间
到自身的线性变换都是成立的
我们来看说设𝛔
是V到V的线性变换
而v_1到v_n是V的一组基
记𝛔在这组基下的矩阵是A
我们就有𝛔的像
它是等于𝛔在基下的像
𝛔(v_1)到𝛔(v_n)所生成的子空间
而𝛔的秩等于矩阵A的秩
我们说V中的任何一个向量v
它一定可以写成
基底v_1到v_n的线性组合
组合系数我们叫c_1到c_n
那么被𝛔作用一下
就等于c_i 𝛔(v_i)
然后i从1到n去求和
那么也就是说𝛔(v)
就是可以表示成𝛔
v_1到𝛔v_n的线性组合
那也就是说我𝛔的像
一定会落在由𝛔(v_1)到𝛔(v_n)
线性张成的这个子空间里
那反过来𝛔(v_1)是落在像空间
𝛔(v_n)是落在像空间里头
所以这一堆向量
它们的线性组合也一定是落在
像空间里头
而像空间是一个子空间
它关于加法数乘是封闭的
那么由左右包含关系
这两件事情就告诉我们𝛔
这个线性变换的像
就等于在基底上的像
𝛔(v_1)到𝛔(v_n)线性张成的子空间
于是𝛔的像的维数
就等于生成它的这个向量组
𝛔(v_1)到𝛔(v_n)这个向量组的秩
而我们又知道
A的列向量就是𝛔（v_1） … 𝛔（v_n）
在基v_1到v_n下的坐标
我们之前学过说
给定一个向量空间
V的一组基之后
V和这个F^n是有同构的
也就是说是V中的任何一个向量
跟它在这组基下的坐标
是一一对应的
并且线性同构
保持向量组的一切的关系
因此向量组𝛔(v_1)到𝛔(v_n)它的秩
就等于它的坐标向量组的秩
而坐标向量组
就是A的列向量组
而A的列向量组的秩也就是A的秩
那么这样我们就得到𝛔
的秩等于向量组
𝛔(v_1)到𝛔(v_n)的秩
𝛔(v_1)到𝛔(v_n)的秩
又等于它的坐标向量组的秩
也就是A的列秩
也就是A的秩
那𝛔的秩就等于A的秩
好 这样
我们可以来看刚才的维数公式𝛔
是v到v的一个线性变换
V的维数等于n
我们就一定有𝛔的核的维数
加上𝛔的像的维数
是等于V的维数
证明也很简单
假设这个核的维数是等于q
在这个核中取一组基叫e_1到e_q
那么我们可以把它扩充成
V的一组基
e_1 … e_q e_｛q+1｝… e_n
由上面的定理呢我们知道𝛔
的像是由𝛔(e_1) … 𝛔(e_n)
去线性张成的
而e_1和e_q
e_1到e_q是落在核空间里头的
所以𝛔(e_1)一直到𝛔(e_q)
它们是等于零的
那么它在这个线性扩张里头
不起作用
也就是说𝛔的像
它是等于𝛔(e_｛q+1｝)到𝛔(e_n)
给线性扩张出来
我们只要证这个𝛔(e_｛q+1｝)
到𝛔(e_n)线性无关
我们就有这个像的维数是n-q
从而我们就有n-q 这个是q
从而这个维数是等于n了
所以只要证这个线性无关
那么惯用的办法
我们去取它的线性组合等于0
那么k_｛q+1｝ 𝛔(e_｛q+1｝)
一直加到k_n 𝛔(e_n)等于0
根据线性变换的性质
它等于𝛔作用在k_｛q+1｝e_｛q+1｝
一直加到k_n e_n上面
等于零的话
也就是说里面的这个向量
是落在𝛔的核里头
既然落在𝛔的核里头
所以它一定要可以由𝛔的核的基去线性表示
核的基是e_1到e_q
这是我们之前设的
所以它可以写成
e_1到e_q的一个线性组合
那么而e_1,…,e_q,e_｛q+1｝到e_n
是V的一组基底 它线性无关
那么它们的线性组合
满足这个式子的话
我们一定知道
这个系数一定要等于0
而特别地回到原来这个式子
这些系数如果等于0的话
也就告诉我们𝛔(e_｛q+1｝)
一直到𝛔(e_n)是线性无关的
那么构成𝛔的像的一组基
从而我们就有它的维数等于n-q
代回到原来的公式里头
我们就得到核的维数
加上像的维数是等于V的维数
有了维数公式
而我们注意到这里
说尽管核的维数加上像的维数
是等于向量空间V的维数
但是我们作为空间来说
核的这个子空间
去加上像这个子空间
它未必是V这个大的空间
比如说我们求导变换
从P_n到P_n
那么刚才已经作过说
核是等于实数
所在的这个一维的空间
像呢是P_｛n-1｝ 而R＋P_｛n-1｝
是不等于P_n的
接下来我们来看一个
维数公式的应用
也是有限维向量空间上
线性变换的一个特性
那么假设𝛔是有限维向量空间
V上的一个线性变换
我们说𝛔是单射等价于𝛔是满射
等价于𝛔是可逆线性变换
我们首先来回顾一下
什么叫单射
单射是说如果𝛔(v_1)等于𝛔(v_2)
我们一定有v_1要等于v_2
那么满射是说你的像
要等于整个的这个目标的空间V
我们先来看单射和满射是等价的
若𝛔是单射
等价于它的核只有零向量
这个怎么讲呢𝛔
是单射
如果它的核不是只有零的话
那么就存在着一个非零的向量α
长在核空间里头
那么就由𝛔(α)等于0
我们又有𝛔(0)也等于0
这样我们就找到了
两个不等的向量
它们的像都打到同一个零向量
这与𝛔是单射是矛盾的
所以𝛔是单射的时候
它的核空间一定是只有零向量
那反过来
如果它的核空间只有零向量
我们一定说它是单射
我们来看假设
任意的𝛔(v_1)等于𝛔(v_2)
那我们就有𝛔(v_1-v_2)
是等于0的
也就是v_1－v_2
是长在𝛔的核里头
而这时候假设核是等于零向量
只有零向量
因此v_1－v_2是等于零向量
也就是v_1等于v_2
也就是说我任意两个向量v_1和v_2
被𝛔打过去
如果像相等的话
这两个向量一定相等 它是单射
单射等价于
它的核空间只有零向量
那么根据维数公式
像空间的维数
就等于大空间的维数
因为核空间的维数等于0了
好 又因为像空间
是落在V里头的一个子空间
那么它的维数如果相等的话
它就一定是等于整个的大空间V
那么这也就是𝛔是满射
好 我们证明了
对有限维向量空间上的线性变换
单射和满射是等价的
接下来我们来看说𝛔
是一个可逆的线性变换
我们一定可以推出来
它是一个满射
而如果𝛔是可逆线性变换
也就是说它存在着一个逆变换
我们把它叫𝝉
𝛔𝝉等于V的恒同
那么我们来证这个𝛔一定是满射
V上的任何一个向量x
它一定会有原像
那么这个原像怎么构造呢
我们这个原像就等于𝝉(x)
我们叫成y
我们来验证一下y是𝛔的原像
也就是说𝛔(y)
根据定义y是等于𝝉(x)
那么𝛔 𝝉呢等于恒同
恒同作用在x上等于x
这样我们就有𝛔作用在y上
是等于x的
对于V上的任何一个向量x
我们总能找到y
使得它是y的像
那么𝛔就是一个满射
由𝛔是一个可逆线性变换
我们证明了𝛔是一个满射
接下来我们来看一下
是单射的话
一定是一个可逆的线性变换𝛔
是一个单射
我们对于V中的任何一组基
e_1到e_n
而𝛔(e_1)到𝛔(e_n)也是V的一组基
我们首先来看这件事情
我们来考虑
𝛔（e_1）到𝛔(e_n)的线性组合
k_1𝛔(e_1)加到k_n𝛔(e_n)等于0
那么就有𝛔作用在k_1e_1
加到k_ne_n上面等于零向量
于是里面的这个向量呢
它就落在𝛔的核里
而𝛔的核这时候是只有零向量
因为𝛔是单射
那么k_1e_1+...+k_ne_n就等于零向量
而e_1到e_n是V的一组基底
所以这些系数
k_1到k_n一定是等于0
那么回到我们原来这个式子
𝛔(e_1) … 𝛔(e_n)的线性组合等于0
系数必须等于0
这样就知道说𝛔(e_1)到𝛔(e_n)
是线性无关的
我们在V里头
找到了n个线性无关的向量
那么这n个线性无关的向量
一定是V的一组基
有一组基e_1到e_n
被𝛔打过去得到的𝛔(e_1)到𝛔(e_n)
也是V的一组基
好 这样我们来
用它来构造一个新的线性变换
这个线性变换将要作为𝛔
的逆变换
怎么来构造呢
因为𝛔(e_1)到𝛔(e_n)是V的一组基
我们想要知道
怎么来映射这组基向量
如果我们这个新的变换
它把这个基向量都明确出来
它的像是什么
那么我们这个线性变换就确定了
通过构造基底上的像
从而确定这个线性变换
我们这里特别地
把𝛔(e_1)到𝛔(e_n)就映成e_1到e_n
我们来验证这个线性变换
是𝛔的逆变换
而𝛔把e_j映到𝛔(e_j)
𝝉把𝛔(e_j)映到e_j
于是这个复合变换
𝝉 𝛔是把e_j映成e_j的
所个复合变换
是V上的一个恒同变换
同样地𝛔(e_j)被𝝉映成e_j
e_j又被𝛔映成𝛔(e_j)
于是这个复合变换𝛔𝝉
是把基向量𝛔(e_j)映到𝛔(e_j)
那么也是一个恒同变换
因此𝛔是一个可逆的线性变换
它的逆变换
就是我们构造出来的这个𝝉变换
这样我们由𝛔是单射
证明了𝛔一定是可逆的
从而在有限维向量空间上面
它到自身的线性变换单射
等价于满射
等价于可逆线性变换
这是有限维向量空间
V到自身线性变换的一个特性
接下来我们来看一个例题
这个例题来说明
非齐次线性方程组Ax等于b
对于任意的b都有解
等价于齐次线性方程组Ax等于0
只有零解
我们从线性变换的角度上来看
那这时候A是一个n阶的实方阵
b是一个n维的实向量
我们用A来定义一个线性变换
它把x映成矩阵A去乘以x
那这个𝛔
是R＾n到R＾n的一个线性变换
我们说方程组Ax等于b
对于任意的b都有解
那等价于是说
这个线性变换𝛔的像
是等价于整个的R＾n的
所以对于任何的b
我都可以写成Ax的样子
所以𝛔的像等于R＾n
那么这也就说𝛔是一个满射
利用有限维向量空间的线性变换
是满射就一定是单射
那么如果是单射的话
也就是说它的核是只有零向量
而在这个情况下𝛔
的核就是A的零空间
那么A的零空间只有零
那么也就是说齐次线性方程组
Ax等于0是只有零解
那么我们用线性变换的角度
来说明了非齐次线性方程组
Ax=b对任意b都有解
等价于齐次线性方程组Ax等于0
只有零解
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
