当前课程知识点：线性代数(2) > 第七讲：工程中的矩阵 > 7.1 简介 > 7.1 简介
大家好
现在我们开始线性代数
后6讲的内容
后6讲
包括了线性代数的一些主要应用
包括刚性矩阵
马尔可夫矩阵 关联矩阵等等
我们将介绍大家怎么把
线性代数运用到实际问题中
它的这个框架
主要包括两个原则
一个把非线性的问题
转化成线性问题
一个是把连续的问题
转化成离散的问题
现在我们开始这一讲的主要内容
大家好
这一节呢我们开始介绍
工程中的一些数学
那么我们除了网页上的参考文献
我们也参考Strang的另外一本书
就是计算科学和工程
在应用数学中
把实际问题转化成数学问题
特别是转化成线性代数问题
我们两个主要的原则
第一点就是将非线性的问题
转化成线性问题
将连续问题转化成离散的问题
比如说我们的连续数列变换
我们用线性代数来解
我们就考虑离散的数列变换
比如说小波分析
我们都可以转化成
一些离散的基 去表示
正交基来表示
一个映射 或者一个向量的坐标
许多的物理问题
它们的关系呢都是反映了
一个近似
现实世界的一种近似
它们的关系都是线性的
比如说胡克定律
就是弹性力学里面的胡克定律
欧姆定律
又比如说牛顿的第二定律 F=ma
这些线性定律呢
我们是怎么通过线性代数
应用到实际问题中的
那么它的一个框架
是下面这种形式
我们考虑几个量 e是一个向量
这个向量跟u这个向量
通过一个矩阵进行互相转换
y=Ce f=A＾Tw
其中u是初始的未知量
f是外部的输入
那么它们的关系
我们可以通过这张图看一下
u左乘一个A就变成向量e
然后从e到y 通过一个矩阵C
那么这个C这个矩阵呢
从e到y它反映了我们刚才说
这个物理定律的一些线性关系
最后我们得到了f跟u的关系
f=Ku=（A＾TCA）u
那么现在主要的问题是
就是已知外部输入的量f反求u
怎么来求u
当系统处于平衡的时候呢
我们通过外部的作用
然后反求出来它系统的变化量u
比如胡克定律中
它反映的f
就反映的是外部作用力
u就反映的是物体的形变
形变量
欧姆定律中呢
而电流和电压差之间的关系
在我们前面学过的解线性方程组
实质上是使用了同样一个框架
我们回忆一下
在求线性方程组的时候
一个方程组Ax=b
而无论这个方程组有没有解
我们都可以转化成
下面这个法方程组
A＾TAx=A＾Tb
那么由这个法方程组呢
我们可以求出一些x
这些x呢 当Ax=b的时候
无解的时候
这个x求出来的就是
我们的最小二乘解
如果Ax=b有解呢
那么这个求出来的x
也是Ax=b的解
那么我们可以画一个
刚才相似的图
就是输入的x 这是未知的
不知道
当这个x乘以一个A以后
得到一个p
这个p通过我们上学期看到的
实际上是b在A的列空间上的投影然后这块取了一个C
刚才那个C就是我们这块的恒等
然后再从A＾T
得到了一个A＾Tb
A＾Tp和A＾Tb这两个相等
因为b在A上的投影
A的列空间上的投影是p
所以b-p跟A的行空间是
这个应该等于0
也就是b-p应该属于
N（A＾T）的
在这个问题中呢
就是我们已知A＾Tb来求这个x
反求x
所以这样一个模型实际上
它用在很多方面
-1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
-1.2 典型例题
--1.2 典型例题
-1.3 半正定矩阵及其判别条件
-1.4 二次型
--1.4 二次型
-1.5* 有心二次曲线(central conic)
-1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
-1.7 二次型的分类
-1.8 矩阵的合同
-1.9* 惯性定理的证明
-1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
--1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
-1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
-第一讲：正定矩阵--课后习题
-2.1 引言
--2.1 引言
-2.2 相似矩阵的性质
-2.3 Jordan标准形
-2.4 定理的证明
-2.5 Jordan标准形的应用
-第二讲：相似矩阵--课后习题
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
--3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
-3.3 例题
--3.3 例题
-3.4 奇异值分解的应用
-第三讲：奇异值分解--课后习题
-4.1 线性变换的定义和性质
-4.2 线性变换的运算
-4.3 线性变换的矩阵表示
-4.4 线性变换与矩阵之间的关系
-第四讲：线性变换 I--课后习题
-5.1 恒同变换与基变换
-5.2 图像压缩——基变换的应用
-5.3 线性变换在不同基下的矩阵
-5.4 矩阵分解与基变换
-5.5 线性变换的核与像
-5.6 不变子空间
-5.7* 幂零变换
-5.8* Jordan标准形
-第五讲：线性变换 II--课后习题
-6.1 伪逆
--6.1 伪逆
-6.2 Moore – Penrose 伪逆
-6.3 最小二乘法
-第六讲：伪逆--课后习题
-7.1 简介
--7.1 简介
-7.2 弹簧模型
--7.2 弹簧模型
-7.3 变量的线性关系
-7.4 刚度矩阵
--7.4 刚度矩阵
-7.5 从离散到连续
-第七讲：工程中的矩阵--课后习题
-8.1 简介
--8.1 简介
-8.2 图和矩阵
--8.2 图和矩阵
-8.3 网络和加权Laplacian矩阵
-8.4 关联矩阵的四个基本子空间
-8.5 注记
--8.5 注记
-第八讲：图与网络--课后习题
-9.1 问题引入
--9.1 问题引入
-9.2 Markov矩阵
-9.3 正Markov矩阵
-9.4 正矩阵
-第九讲：Markov矩阵和正矩阵--课后习题
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 内积空间
-10.3 傅里叶级数
-10.4 投影
--10.4 投影
-10.5 关于Fourier变换的注记
-第十讲：Fourier级数--课后习题
-11.1 引言
--11.1 引言
-11.2 平移
--11.2 平移
-11.3 伸缩
--11.3 伸缩
-11.4 旋转
--11.4 旋转
-11.5 投影和反射
-第十一讲：计算机图像--课后习题
-12.1 引言
--12.1 引言
-12.2 复矩阵
--12.2 复矩阵
-12.3 复正规阵
-12.4 离散Fourier变换
-12.5 快速Fourier变换
-第十二讲：复数与复矩阵--课后习题
-结课寄语
--结课寄语
