3.6.3 土的强度理论3在线视频

现在我们学习莫尔－库仑强度准则

莫尔1900年给出了强度公式τf=f(σn)

即一个平面上的抗剪强度τf

取决于作用于这个平面上的正应力σn

强度包线是由试验确定的单值函数

根据这一准则

当材料的最大应力莫尔园与强度包线相切时

材料就发生破坏

这也意味着中主应力σ2对强度无影响

在一定的应力范围内

可以认为抗剪强度τf

是正应力σ的线性函数

可用库伦于1776年提出的强度公式表示为

τf=c+σ∙tanφ

或者：

(σ1-σ3)/(σ1+σ3+2C ctgφ)=sinφ

根据这一准则

引起材料破坏的不是最大剪应力

而是某个平面上τ~σ的最危险组合

在三维空间

库伦公式可以表示为I1、J2和θ的函数

或者p、q和θ的函数

像这两个公式

这两个公式看起来比较复杂

并且抽象

如果把它们的轨迹

画在特征面上或空间上

看起来就比较直观

这里给出了莫尔-库伦强度准则

在三维空间、π平面

和三轴平面或某子午面上的破坏面或破坏线

如图a所示

莫尔-库伦强度准则的破坏面

在三维空间上是不规则六棱锥

如图b所示

莫尔-库伦强度准则

在π平面上的轨迹

是不规则六边形

它有两个半径

其大小随着φ值的增加而增大

如图c所示

莫尔-库伦强度准则

在子午面上的轨迹是两条相交的直线

从这些图可以看出

对应于常规三轴压缩试验

或CTC试验的半径ρc

大于对应于常规三轴伸长试验

或CTE试验的半径ρt

也可以通过具体的例子

来说明如何运用莫尔-库伦准则

这里给出了莫尔-库伦准则

在π平面上的轨迹

已知A点处的应力状态是

σ1=300kPa, σ2=σ3=100kPa

与前面的算例相同

空间破坏面过原点

求：参数c、φ和B、C点的应力状态

下面我们进行求解

由空间破坏面过原点可得：c=0

如前所述

π平面上应力状态的特点之一是

第一应力不变量I1是常数

因而B点和C点的I1值和A点相同

都是500kPa

考虑到A点的洛德角为-30度

同时根据已知条件可算得J2=13333

将它们带入到左下方的公式

可以算出φ = 30°

我们用其它形式的库伦公式可求得相同的结果

在B点

σ1=σ2

并且σ1+σ2+σ3=500kPa

由左下公式可以再列一个方程

根据这三个方程

可以求得 σ1=σ2=214kPa

σ3=71kPa.

通过将这个结果带入到库伦公式的另一种表达形式

可以验证答案的正确性

与前面的算例结果比较可知

在A点应力状态相同的前提下

根据莫尔-库伦强度准则

得到的B点的应力状态

与特雷斯卡和米泽斯准则的结果明显不同

在C点

θ= 0°

由tanθ的表达式可得

2σ2 =σ1+σ3

并且σ1+σ2+σ3=500kPa

还满足左下库伦公式

根据这三个方程

可以求得 σ1=250kPa

σ2=167kPa, σ3=83kPa.

通过将这个结果带入到莫尔-库伦强度准则的

另一种表达式

我们可以验证答案的正确性

与前面的算例结果比较可知

在A点应力状态相同的前提下

根据莫尔-库伦强度准则

得到的C点的应力状态

也与特雷斯卡和米泽斯准则的结果明显不同

计算得到的应力状态汇总到这个表里

可以看出

A、B、C三点的应力状态差别悬殊

但其共同的特征是

这三个点处最大和最小主应力的比值是相同的

当然

其成立的前提是c=0

下面我们对特雷斯卡

米泽斯和莫尔-库伦三个强度准则

进行更深入的比较讨论

莫尔-库伦、广义特雷斯卡

广义米泽斯

这三个强度准则的计算结果

分别汇总到这三个表中

在上面的例子中

这三个准则的共同点有两个

（1）在同一π平面上

常规三轴压缩试验

或CTC试验对应的破坏点相同

就是图中的A点

θ=-30°

σ1=300kPa

σ2=σ3=100kPa

（2）空间破坏面过原点

图中还给出了三个强度准则π平面上的破坏轨迹

红线表示莫尔-库伦准则

绿线表示广义特雷斯卡准则

黑线表示广义米泽斯准则

可以看出

在θ = 0 和 30° 处

这三个强度准则对应的应力状态差别很大

它们的特征也不同

对于莫尔-库伦强度准则

在这三点处

最大主应力和最小主应力的比值相同

对于广义特雷斯卡强度准则

在这三点处

最大主应力和最小主应力的差值相同

对于广义米泽斯强度准则

这三个点到圆心的距离相同

或者说它们位于同一个圆上

它们的特征可以分别简称为

等比值、等差值、等半径

根据莫尔-库伦准则

当黏聚力为0时

内摩擦角和主应力之间的关系可表示为

sinφ=(σ1-σ3)/(σ1+σ3)

或者σ1/σ3=(1+sinφ)/(1-sinφ)

这也是破坏时大小主应力的比值为常数的原因

如果我们把其它准则破坏时的主应力

带入到这个方程

也可以得到相应的φ值

因为从机理上讲

这些φ值与莫尔-库伦准则不同

我们称它们为换算内摩擦角

如前所述

我们假定三个准则在A点的应力状态相同

且空间破坏面过原点

三个强度准则在不同点处的换算内摩擦角

列在这个表中

M-C、E-T、E-M

分别表示莫尔-库伦、广义特雷斯卡、广义米泽斯

可以看出

在A点、即 θ = -30°时

三个强度准则的换算内摩擦角相同

在另外两点

广义特雷斯卡和广义米泽斯准则的

换算内摩擦角明显大于莫尔-库伦准则

如果我们以莫尔-库伦准则的内摩擦角为标准

广义特雷斯卡和广义米泽斯准则

过高地估计了土的强度

我们再次回顾下三维应力空间和π 平面

如果一个应力状态在三角形D1 D2 D3以外

将至少有一个主应力是负的

或者说是拉应力

这对土来讲一般是不可能的

这个图给出了莫尔-库伦

广义特雷斯卡、广义米泽斯

这三个强度准则在π平面上的轨迹

仍然假定三个准则在A点的应力状态相同

且空间破坏面过原点

随着内摩擦角的增加

破坏轨迹向外扩展

当莫尔-库伦准则的内摩擦角大于36.9°时

广义特雷斯卡和广义米泽斯准则的轨迹

都会超出三角形D1 D2 D3

伸长状态下小主应力最先变为拉应力

这不符合土的实际情况

莫尔－库仑强度准则描述了破坏面上

剪应力τ与正应力σ间的关系

表现了土作为散体材料的摩擦强度的基本特点

这是比较合理的

所以它在土力学中得到了广泛的应用

但是

它假设中主应力σ2对土的抗剪强度没有影响

其强度包线常常被假设为直线

即内摩擦角φ是常数

与围压无关

这些近似一般不会引起太大误差

但当应力水平很高时

可能会引起比较大的误差

当用莫尔－库仑准则

作为塑性模型的屈服准则时

其屈服面及其在π平面上轨迹

有导数不连续的角点

这在数值计算中不够方便

在应力空间的子午面上

广义特雷斯卡和广义密泽斯准则的

抗剪强度q与平均应力p之间

也是直线关系

同样未能反映在高围压下

土的抗剪强度的非线性

相对于广义特雷斯卡准则

和莫尔－库仑准则

广义米泽斯准则

在应力空间的曲面

和在π平面上的轨迹都是光滑的

因而作为屈服准则进行数值计算是比较方便的

为了避免用常规三轴压缩试验

得到的π平面上圆半径过大的问题

有时广义米泽斯准则

在π平面上的圆半径用三轴伸长试验确定

或采用上述两种试验的平均值

如这个图中所示

这三个圆分别称为压缩圆或外接圆

伸长圆或内接圆

以及折中圆