当前课程知识点：高等土力学 > 第4章 土中渗流 > 4.4 饱和渗流数值计算方法 > 4.4.4 饱和渗流数值计算方法4
同学们好
下面我们学习
“饱和非稳定渗流有限元方法”
这一节主要包括
控制方程及边界和初始条件
有限元方程、时间导数项处理
以及边界条件处理共4个部分
我们前面已经学习了
饱和非稳定渗流的控制方程
和常用的4类边界条件
由于是和时间有关的非稳定渗流
因此求解时
还需要知道相应的初始条件
也即时间t=0时刻
水头在域内的初始分布
根据变分原理
这个问题等价于图中
这个泛函I(h,t)的极值问题
从这个泛函I(h,t)的欧拉方程可知
该泛函包括了前述
非稳定渗流的运动方程
以及在边界Ω2上的法向流速边界条件
其它边界条件需要在
有限元的求解过程中得到强制满足
将上式和稳定渗流的泛函相比
可以发现
两式仅相差 Ss·h·∂h/∂t
这一和时间的导数相关的项
因此对于非稳定渗流
采用和前述稳定渗流
类似的推导过程和步骤
可以得到由图中（1）式
所表达的有限元方程
其中
h一点为结点水头对时间的导数
矩阵[C]称为渗透矩阵
矩阵[S]称为储水矩阵
列阵Q为方程右边项列阵
这3个矩阵的具体表达式如图中所示
通过比较可以发现
这个方程中的第1项和右边项
都和前面介绍的稳定渗流的
有限元方程中所对应的项是完全相同的
而有关储水矩阵[S]和结点水头的
导数的第2项是新增加的项
由于在这个新增加的项中
含有结点水头对时间的导数
因此这个方程还无法直接进行求解
为此可将时间过程按时间增量
△t=tn-1-tn进行离散
然后再通过采用数值积分的方法
进行逐步积分
图中给出了时间过程的
这种数值积分的方案
具体可用（2）式进行数值积分计算
可以看出这种方法实际上是采用
tn-1和tn时刻函数的值
进行一种加权的平均
图中分别给出了加权系数
λ=0、0.5和1时数值积分的效果
数值计算的精度同函数
f(t)的特性和加权系数λ的选取有关
Booker等在1975年证明当取0.5≤λ≤1时
该积分方案是数值稳定的
经验表明取λ=0.5时通常效果较好
采用上述的方法
对有限元方程（1）式进行积分
可得到图中的（3）式
通过进一步的整理
可得随时间△t
进行递推计算的公式（4）式
由公式（4）可以看出
己知前一时刻t的结点水头分布
即可求出下一时刻t+△t时刻的水头分布
因此只要知道t=0
初始条件下的渗流场水头分布
即可逐次计算
渗流场随边界条件变化时
后续时刻的渗流场水头的分布
下面讨论非稳定渗流有关初始
和边界条件的处理
对于初始条件
通常是对应着一个稳定场
这时可通过求解给定边界条件下的
稳定渗流有限元方程
得到渗流场内的水头分布
作为非稳定渗流在t=0时刻的初始条件
饱和非稳定渗流
常见的几类边界条件包括
已知水头或已知法向流速的边界条件
渗出面边界和自由水面边界等
对于已知水头 已知法向流速
和渗出面边界条件的处理方法
同稳定渗流的情况完全相同
只是在非稳定渗流情况下
其具体数值大小和位置
是可以随时间发生变化的
对于非稳定渗流的自由水面
我们在前面讨论过
它需满足如下两个条件
（1） 零水压力条件亦即h=z
（2） 自由水面位置的变化过程
伴随着土体中孔隙水的流入或排出
其法向流速vn不再等于零
而是可等价表示为
一种法向的流速条件 vn=μ∂h/∂tcosθ
总体看对于饱和非稳定渗流
自由水面的迭代计算
应主要包含如下的两个方面
第（1）是自由水面以上部分区域
所产生的误差校正
如图中所示
当存在自由水面时
实际的渗流域仅应包含
自由水面以下的区域
当采用固定网格法
并使用全断面进行计算时
在形成的有限元方程中
包含了自由水面以上的区域的影响
对此可采用和稳定渗流计算中
相同的迭代方法
如初始流量法等进行校正
第（2）个问题是
自由水面位置变化
所导致的孔隙水量变化的模拟
在自由水面位置发生变化时
相应部分土体孔隙中
水体的流入或排出
会对渗流的流量平衡产生影响
对这种影响的模拟
在文献中
我发现有下列的两种的方法可以使用
第1种方法
自由水面作为流量边界
引入泛函直接进行处理
在推导饱和非稳定渗流有限元方程
相应的泛函中
包括了对边界法向流速的积分项
而自由水面又可处理为
具有法向流速的流量边界
因此可将自由水面的法向流速条件
直接代入泛函进行积分
需要注意的是
这个积分是要沿自由水面来进行的
在三维计算中
会是一个二维的空间曲面的积分
且其位置也是随时间发生变化的
第2种方法
通过对自由水面单元
定义不同的单位储水量Ss来进行处理
具体方法为
对于饱和非稳定渗流的
非自由水面单元
通常忽略水密度
土颗粒及孔隙体积的变化
可取Ss=0
而对于自由水面单元
当水位也即自由水面的位置
发生变化时
会伴随着土体孔隙中
水体的流入或排出
也可用Ss来模拟这种水量的变化
因此对于自由水面单元可将Ss定义为
单元内下降或上升1个单位水头
所释放或吸收的储存水量
这样可以通过对自由水面单元
定义不同的Ss来实现
对自由水面位置变化的模拟
“饱和渗流数值计算方法”
这一节的内容就介绍到这里
谢谢大家
-0.1 岩土工程的学科特点与发展
-0.2 土力学学科的发展历史
-0.3 岩土工程实践的发展
-0.4 理论与工程的检验
-0.5 岩土工程的可持续发展
-第0章 绪论-作业
-1.0 概述
--1.0 概述
--1.0 概述-作业
-1.1 室内试验
--1.1 室内试验-作业
-1.2 模型试验
--1.2 模型试验
--1.2 模型试验-作业
-1.3 原位测试与现场观测
--1.3 原位测试与现场观测-作业
-1.4 试验的检验与验证
-2.1 概述
--2.1 概述
--2.1 概述-作业
-2.2 应力和应变
--2.2 应力和应变-作业
-2.3 土的应力变形特性
--2.3 土的应力变形特性-作业
-2.4 土的弹性模型
--2.4 土的弹性模型-作业
-2.5 土的弹塑性模型的一般原理
--2.5 土的弹塑性模型的一般原理-作业
-2.6 剑桥模型
--2.6 剑桥模型-习题
-2.7 其它典型弹塑性模型
--2.7 其它典型弹塑性模型-作业
-3.1 概述
--3.1 概述-作业
-3.2 土的抗剪强度的机理
--3.2 土的抗剪强度的机理-作业
-3.3 土的强度与土的物理性质
--3.3 土的强度与土的物理性质-作业
-3.4 影响土的强度的外部因素
--3.4 影响土的强度的外部因素-作业
-3.5 土的排水与不排水强度
--3.5 土的排水与不排水强度-作业
-3.6 土的强度理论
--3.6 土的强度理论-作业
-3.7 黏性土的抗拉强度
--3.7 黏性土的抗拉强度-作业
-4.1 概述
--4.1 概述
--4.1 概述-作业
-4.2 饱和土的渗透性和基本方程
--4.2 饱和土的渗透性和基本方程-作业
-4.3 饱和土二维渗流和流网
--4.3 饱和土二维渗流和流网-作业
-4.4 饱和渗流数值计算方法
--4.4 饱和渗流数值计算方法-作业
-4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力
--4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力-作业
-4.6 非饱和土土水特征曲线
--4.6 非饱和土土水特征曲线-作业
-4.7 非饱和土的渗透性和数值计算
--4.7 非饱和土的渗透性和数值计算-作业
-5.1 概述
--5.1 概述
-5.2 土的压缩与地基的沉降
--5.2 土的压缩与地基的沉降-作业
-5.3 地基沉降的计算方法
--5.3 地基沉降的计算方法-作业
-5.4 单向固结的普遍方程及一般问题
--5.4 单向固结普遍方程及一般问题-作业
-5.5 土的三维固结理论
--5.5 土的三维固结理论-作业
-5.6 关于土体固结的其他问题简介
--5.6 关于土体固结的其他问题简介-作业
-6.1 概述
--6.1 概述
-6.2 边坡稳定分析方法
-6.3 最小安全系数和潜在滑动面的搜索方法
-6.4 极限平衡法边坡稳定分析的一些结论
-6.5 塑性力学上下限定理简介
-6.6 基于有限单元法的边坡稳定分析
-6 边坡稳定分析-作业