当前课程知识点:高等土力学 > 第4章 土中渗流 > 4.3 饱和土二维渗流和流网 > 4.3.2 饱和土二维渗流和流网2
同学们好
下面我们学习
“流网的特性和画法”
根据我们前面介绍的
势函数和流函数的概念
渗流速度可表示为势函数
和流函数的偏导数的形式
具体为
(1)流速vx=∂φ/∂x
也等于∂ψ/∂z
(2)流速vz=∂φ/∂z
也等于-∂ψ/∂x
我们把上面的公式(1)
后面等号的两边都对x求偏导
再把下面的公式(2)
后面等号的两边对z求偏导
然后两者相加
可得到图中关于势函数φ的
拉普拉斯方程
类似的
我们再把上面的公式(1)
后面等号的两边都对z求偏导
再把下面的公式(2)
后面等号的两边对x求偏导
然后两式相减
可得到图中关于流函数ψ
的拉普拉斯方程
因此
可以得出如下的结论
势函数φ和流函数ψ
均满足拉普拉斯方程
实际上
根据高等数学的知识
势函数和流函数
两者互为共轭的调和函数
当求得其中一个时
就可以推求得到另外一个
从这个意义上讲
势函数和流函数均可以
独立和完备地描述一个渗流场
当我们求解一个渗流场
既可以求解关于
势函数φ的拉普拉斯方程
也可以求解关于
流函数ψ的拉普拉斯方程
所得到的解答是完全相同的
下面介绍流网的概念和特性
在渗流场中
由一组等势线
或者等水头线
和流线组成的网格称为流网
流网具有如下2个重要的特性
性质1
对各向同性土体
等势线
也就是等水头线
和流线处处垂直
故流网为正交的网格
这条特性可通过等势线
和流线的物理意义进行说明
如图所示
为渗流场中的一组等势线和流线
A点是等势线和流线的一个交点
v是A点的流速
根据等势线的特性可知
渗流场中一点的渗流速度方向
为等势线的梯度方向
这表明
渗流速度一定和等势线相垂直
而另一方面
根据流线的定义可知
渗流场中一点的渗流速度方向
又是流线的切线方向
同样一个流速
它既和等势线垂直
又要和流线相切
因此
等势线和流线必定相互垂直正交
性质2
在绘制流网时
如果取相邻等势线间的△φ
和相邻流线间的△ψ为不变的常数
则流网中每一个网格的边长比
也保持为常数
特别是当取△φ=△ψ时
流网中每一个网格的边长比为1
此时流网中的每一个网格
均为曲边正方形
对于该条特性
我们可简单证明如下
如图所示
为一个在△φ和△ψ
保持不变情况下画出的流网
3条等势线的势值分别为φ
φ+△φ和φ+2△φ
3条流线上的流函数的值分别为ψ
ψ+△ψ和ψ+2△ψ
设在流网中取出一个网格
相邻等势线的差值为△φ
间距为l
相邻流线的差值为△ψ
间距为s
设网格处的渗透流速为v
根据势函数的定义有
△φ=-k(△h/l)l=vl
流函数差值△ψ等于
相邻流线间的流量△q
△q=v·s
因此有△φ/△ψ=v·l/(v·s)=l/s
所以
当取△φ和△ψ不变时
流网网格的长宽比
也就是l/s为常数
特别地当取△φ=△ψ时
流网中每一个网格的
边长比l/s=1
此时流网中的每一网格
均为曲边正方形
下面介绍流网的画法
根据前面介绍的流网的特征可知
绘制流网时必须满足下列的几个条件
一 在边界上必须满足
流场的边界条件
以保证解的唯一性
第二 流线和等势线必须正交
三 为了绘图的方便
一般取流线与等势线构成的
各个网格的长和宽相等
也即l=s
此时每个网格都是曲边正方形
下面以图中所示
混凝土坝下透水地基的流网为例
说明绘制流网的主要步骤
第一步
首先根据渗流场的边界条件
确定边界流线和边界等势线
该例中假设混凝土坝体不透水
因而坝底轮廓线BCDE是第一条流线
其次
不透水层面GH也是一条边界流线
上下游透水地基表面AB
和EF则是两条边界等势线
第二步
初步绘制流线
首先
可按照日常经验和边界流线的趋势
先大致画出几条流线
如图中的②、③、④ 3条流线
彼此不能相交
且每条流线都要和上下游
透水地基表面的等势线正交
图中
包括BCDE和GH两条边界流线
共有5条流线
M=4个流道
第三步
初步绘制等势线
本流网上下游侧对称
因此
可自中央向两边逐步画等势线
在图中
可先绘中线处的等势线6
再绘5和7
如此依次向两侧推进
绘制时
要尽量使每根等势线与流线正交
并弯曲成曲线正方形
第四步
反复修改
一般初步绘制的流网
总是不能完全符合要求的
必须反复进行修改
直至大部分网格满足曲边正方形为止
有时需要调整流线
和等势线的位置甚至改变条数
应当指出
由于边界形状不规则
在边界突变处很难画成正方形
而可能是三角形或五边形
这是由于流网图中流线
和等势线的根数有限所造成的
一个精度较高的流网
往往都要经过多次反复的修改
才能最后完成
-0.1 岩土工程的学科特点与发展
-0.2 土力学学科的发展历史
-0.3 岩土工程实践的发展
-0.4 理论与工程的检验
-0.5 岩土工程的可持续发展
-第0章 绪论-作业
-1.0 概述
--1.0 概述
--1.0 概述-作业
-1.1 室内试验
--1.1 室内试验-作业
-1.2 模型试验
--1.2 模型试验
--1.2 模型试验-作业
-1.3 原位测试与现场观测
--1.3 原位测试与现场观测-作业
-1.4 试验的检验与验证
-2.1 概述
--2.1 概述
--2.1 概述-作业
-2.2 应力和应变
--2.2 应力和应变-作业
-2.3 土的应力变形特性
--2.3 土的应力变形特性-作业
-2.4 土的弹性模型
--2.4 土的弹性模型-作业
-2.5 土的弹塑性模型的一般原理
--2.5 土的弹塑性模型的一般原理-作业
-2.6 剑桥模型
--2.6 剑桥模型-习题
-2.7 其它典型弹塑性模型
--2.7 其它典型弹塑性模型-作业
-3.1 概述
--3.1 概述-作业
-3.2 土的抗剪强度的机理
--3.2 土的抗剪强度的机理-作业
-3.3 土的强度与土的物理性质
--3.3 土的强度与土的物理性质-作业
-3.4 影响土的强度的外部因素
--3.4 影响土的强度的外部因素-作业
-3.5 土的排水与不排水强度
--3.5 土的排水与不排水强度-作业
-3.6 土的强度理论
--3.6 土的强度理论-作业
-3.7 黏性土的抗拉强度
--3.7 黏性土的抗拉强度-作业
-4.1 概述
--4.1 概述
--4.1 概述-作业
-4.2 饱和土的渗透性和基本方程
--4.2 饱和土的渗透性和基本方程-作业
-4.3 饱和土二维渗流和流网
--4.3 饱和土二维渗流和流网-作业
-4.4 饱和渗流数值计算方法
--4.4 饱和渗流数值计算方法-作业
-4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力
--4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力-作业
-4.6 非饱和土土水特征曲线
--4.6 非饱和土土水特征曲线-作业
-4.7 非饱和土的渗透性和数值计算
--4.7 非饱和土的渗透性和数值计算-作业
-5.1 概述
--5.1 概述
-5.2 土的压缩与地基的沉降
--5.2 土的压缩与地基的沉降-作业
-5.3 地基沉降的计算方法
--5.3 地基沉降的计算方法-作业
-5.4 单向固结的普遍方程及一般问题
--5.4 单向固结普遍方程及一般问题-作业
-5.5 土的三维固结理论
--5.5 土的三维固结理论-作业
-5.6 关于土体固结的其他问题简介
--5.6 关于土体固结的其他问题简介-作业
-6.1 概述
--6.1 概述
-6.2 边坡稳定分析方法
-6.3 最小安全系数和潜在滑动面的搜索方法
-6.4 极限平衡法边坡稳定分析的一些结论
-6.5 塑性力学上下限定理简介
-6.6 基于有限单元法的边坡稳定分析
-6 边坡稳定分析-作业