6.2.2 边坡稳定分析方法2在线视频

我们先复习瑞典条分法

在本科阶段我们已经学习过这部分内容

它是由瑞典Fellenius在1927年前后提出的

是边坡稳定分析的基本方法

它的基本假定为 圆弧滑动面

不考虑条间力的作用

而且

只满足整体力矩平衡条件

它的未知数 不考虑条间力

去掉2乘(n-1)个条间力

同时去掉的还有(n-1)个

条间力的作用点位置

这样一共是去掉了3(n-1)个未知数

未知数为2n+1个

方程数有4n个

大于未知数

可解

但是因为方程数太多

很多方程用不上

而且会造成彼此冲突

看瑞典条分法怎么求解

针对土条i

考虑Ni方向力的平衡

各个力向该方向投影

可以得到下面的等式

这样就可以求出土条底部的法向力Ni

下一步

考虑整体对圆心O的力矩平衡

并且求和

得到下面的等式

其中R为圆弧的半径

hei是水平力△Q作用点位置

到土条底部中点的距离

注意到Ni在其中没有出现

是因为它对圆心O的力臂为0

等式两边除以R 得到ΣTi

代入极限平衡条件Ti

=ce·△x·secαi

+Ni·tanφe

就可以进一步得到下面的等式

其中ce=c/F

tanφe=tanφ/F

利用ce φe与F的关系

我们可以把上述的等式写成关于F的显式公式

也就是下面的式子

其中Ni=（△Wi+q△x）cosαi-△Qisinαi

它是前面利用力的平衡关系求出来的

从公式上看

分子恰好是抗滑力矩的累加

分母是滑动力矩的累加

认为分子 分母是抗滑力

和滑动力的代数和其实是假象

它是力矩和

写成显式表达

在没有计算机

主要靠查表的时代还是非常有好处的

它能够大大提高计算效率

我们现在学习Bishop方法

它也是圆弧滑动假定

文献中通常称为简化Bishop方法

但它假定条间切向力为0

法向力Ei还是存在的

它的未知数

假定条间切向力为0

可以去掉n-1个未知数

这样

它的未知数就是4n-1个

方程数

4n个

可以求解

我们看Bishop法怎么求解

它要利用竖向力的平衡条件

条间的法向力在其中就不会出现

此外要利用极限平衡条件

两个方程联立

可以解两个未知数

或者说

有两个变量可以用其它变量来表达

对这个方程组求解

我们可以得到Ni和Ti

除安全系数F外

两式的右边都是已知数

然后再看整体力矩平衡

对圆心O求矩

并求和

得到下面的等式

符号Σ

指的是对每个土条的力矩平衡方程进行求和

这个与瑞典条分法的公式相同

这个方程中同样没有出现Ei

并不是因为它力矩为0

而是因为在求和中消掉了

土条之间的力是作用力

与反作用力的关系

一个是正 另一个就为负号

叠加时刚好抵消

因此条间力Ei在力矩平衡中不出现

两边除以半径R

得到下面的式子

上面是力矩平衡方程得到的公式

我们在前面根据力的平衡方程

得到了Ti的表达式

代入进去

可以得到下面的等式

在这个式子中

ce φe与安全系数F有关

一个方程

一个未知数

可解

但是

由于分子 分母中都有F

写不出显式的公式

因此只能迭代求F

比瑞典条分法麻烦些

这个迭代相当于求函数f(x)与x轴的交点

我们学过《数值分析》课程

有很多解这种方程的方法

包括不动点迭代法 牛顿迭代法等等

再说明一下

对于大多数情况

简化Bishop法是足够精确的

它计算的安全系数也比瑞典条分法为大

原因就在于它考虑了条间法向力的作用

比如在菜市场和厨房

零散的一堆菜或一堆筷子站不住

但是把菜或筷子用绳子捆起来

一捆一捆的

就能站得住

安全系数提高了

加上一个法向力

效果就这么明显

像这样结合日常生活感受

就容易理解Bishop法与瑞典条分法的关系

我们这里介绍Janbu方法

它假定的是条间力的作用点位置

假定这些作用点位置的连线

为光滑的连续曲线

称为“推力作用线”或“推力线”

右侧图是其中一个土条i的受力简图

大家注意看

我把Ei+1和Xi+1的位置画得比较高

这个不是笔误

是有意这样画的

这就使得从图上看hi+1比hi位置高

φhi为正号

公式推导中要注意这个细节

否则正负号就容易出错

假定了条间力作用点位置

这样未知数就去掉了n-1个

变为4n-1个

方程数 4n个

可解

注意它没有对滑动面形状进行假定

因此可以用于任意形状滑动面

同样

它的推导从力的平衡开始

这是y方向力的平衡方程

这是x方向力的平衡方程

再加上土条底部力的平衡条件

三个方程

可以解出三个未知数

或者说

可以挑出三个变量

使得用其它变量表达

解上面的方程组

得到Ni Ti 和△Ei

其中△Ei是我们需要的

其右边项中没有Ti、Ni

只含有未知数F

我们把每个土条的△Ei累加

即求Σ△Ei

它等于E2-E1加上E3-E2 等等

一直加到En+1-En

最终得到En+1-E1

也就是Eb-Ea

在两端点

土条侧面的力等于0

这样就得到Σ△Ei=0

把前面得到的△Ei代入进来

得到下面的等式

这个等式可以用来求解F

但里面含有未知数△Xi

怎么得到Xi

这就要用到力矩平衡

我们刚才只用了每个土条的力的平衡条件

力矩平衡条件还没有用上

我们需要利用每个土条的力矩平衡方程

来求解△Xi

对每个土条

针对土条底部中点求力矩

得到下面的式子

其中Xi+△Xi就是土条切向力Xi+1

它对中点的力臂为二分之一土条宽度

Xi的力臂也为△x/2

Ei+1和Ei的力臂

大家也可以很容易确定

这其中

Ti Ni △Q W由于过土条底部的中点

力臂都为0

因此

在力矩平衡方程中不出现

对上式进行化简

其中Ei+1=Ei+△Ei

可以得到下面的式子

前面括号内这一项

等于△hi

后面括号内这一项

近似于hi

现在可以看到计算简图中

我把Hi+1画在高处的原因了

否则

眼睛看上去△hi为负的

正负号就容易出错

进一步

可以简化为下面的式子

它就可以用来求解条间的切向力Xi

具体求解方法是这样的

先假定△Xi

一般假定为0

利用前面力的平衡

得到的等式求出安全系数

记为F1

进一步可以求出条间法向力Ei和△Ei

利用上面这个力矩平衡得到的等式

求出Xi和Xi

然后就可以求出新的安全系数

记为F2

重复这个迭代过程

直到收敛

大家可以回忆一下

在数值分析教材中

这种迭代方法叫什么

叫做“不动点迭代法”

Janbu法没有对滑动面形状作假定

因此可以用于任意形状滑动面

Janbu法的缺点是什么

就是不太容易收敛

有一些文献提出一些办法

说是能改善收敛性

效果也不见得好

其实原因也不难理解

4n个方程

4n-1个未知数

也就是说

用4n-1个方程就可以得到一个解

然后让这个解同时满足剩下的

那个没有利用的方程

是不是本身就得靠运气

所以不容易收敛也在情理之中