当前课程知识点:高等土力学 > 第6章 边坡稳定分析 > 6.2 边坡稳定分析方法 > 6.2.2 边坡稳定分析方法2
我们先复习瑞典条分法
在本科阶段我们已经学习过这部分内容
它是由瑞典Fellenius在1927年前后提出的
是边坡稳定分析的基本方法
它的基本假定为 圆弧滑动面
不考虑条间力的作用
而且
只满足整体力矩平衡条件
它的未知数 不考虑条间力
去掉2乘(n-1)个条间力
同时去掉的还有(n-1)个
条间力的作用点位置
这样一共是去掉了3(n-1)个未知数
未知数为2n+1个
方程数有4n个
大于未知数
可解
但是因为方程数太多
很多方程用不上
而且会造成彼此冲突
看瑞典条分法怎么求解
针对土条i
考虑Ni方向力的平衡
各个力向该方向投影
可以得到下面的等式
这样就可以求出土条底部的法向力Ni
下一步
考虑整体对圆心O的力矩平衡
并且求和
得到下面的等式
其中R为圆弧的半径
hei是水平力△Q作用点位置
到土条底部中点的距离
注意到Ni在其中没有出现
是因为它对圆心O的力臂为0
等式两边除以R 得到ΣTi
代入极限平衡条件Ti
=ce·△x·secαi
+Ni·tanφe
就可以进一步得到下面的等式
其中ce=c/F
tanφe=tanφ/F
利用ce φe与F的关系
我们可以把上述的等式写成关于F的显式公式
也就是下面的式子
其中Ni=(△Wi+q△x)cosαi-△Qisinαi
它是前面利用力的平衡关系求出来的
从公式上看
分子恰好是抗滑力矩的累加
分母是滑动力矩的累加
认为分子 分母是抗滑力
和滑动力的代数和其实是假象
它是力矩和
写成显式表达
在没有计算机
主要靠查表的时代还是非常有好处的
它能够大大提高计算效率
我们现在学习Bishop方法
它也是圆弧滑动假定
文献中通常称为简化Bishop方法
但它假定条间切向力为0
法向力Ei还是存在的
它的未知数
假定条间切向力为0
可以去掉n-1个未知数
这样
它的未知数就是4n-1个
方程数
4n个
可以求解
我们看Bishop法怎么求解
它要利用竖向力的平衡条件
条间的法向力在其中就不会出现
此外要利用极限平衡条件
两个方程联立
可以解两个未知数
或者说
有两个变量可以用其它变量来表达
对这个方程组求解
我们可以得到Ni和Ti
除安全系数F外
两式的右边都是已知数
然后再看整体力矩平衡
对圆心O求矩
并求和
得到下面的等式
符号Σ
指的是对每个土条的力矩平衡方程进行求和
这个与瑞典条分法的公式相同
这个方程中同样没有出现Ei
并不是因为它力矩为0
而是因为在求和中消掉了
土条之间的力是作用力
与反作用力的关系
一个是正 另一个就为负号
叠加时刚好抵消
因此条间力Ei在力矩平衡中不出现
两边除以半径R
得到下面的式子
上面是力矩平衡方程得到的公式
我们在前面根据力的平衡方程
得到了Ti的表达式
代入进去
可以得到下面的等式
在这个式子中
ce φe与安全系数F有关
一个方程
一个未知数
可解
但是
由于分子 分母中都有F
写不出显式的公式
因此只能迭代求F
比瑞典条分法麻烦些
这个迭代相当于求函数f(x)与x轴的交点
我们学过《数值分析》课程
有很多解这种方程的方法
包括不动点迭代法 牛顿迭代法等等
再说明一下
对于大多数情况
简化Bishop法是足够精确的
它计算的安全系数也比瑞典条分法为大
原因就在于它考虑了条间法向力的作用
比如在菜市场和厨房
零散的一堆菜或一堆筷子站不住
但是把菜或筷子用绳子捆起来
一捆一捆的
就能站得住
安全系数提高了
加上一个法向力
效果就这么明显
像这样结合日常生活感受
就容易理解Bishop法与瑞典条分法的关系
我们这里介绍Janbu方法
它假定的是条间力的作用点位置
假定这些作用点位置的连线
为光滑的连续曲线
称为“推力作用线”或“推力线”
右侧图是其中一个土条i的受力简图
大家注意看
我把Ei+1和Xi+1的位置画得比较高
这个不是笔误
是有意这样画的
这就使得从图上看hi+1比hi位置高
φhi为正号
公式推导中要注意这个细节
否则正负号就容易出错
假定了条间力作用点位置
这样未知数就去掉了n-1个
变为4n-1个
方程数 4n个
可解
注意它没有对滑动面形状进行假定
因此可以用于任意形状滑动面
同样
它的推导从力的平衡开始
这是y方向力的平衡方程
这是x方向力的平衡方程
再加上土条底部力的平衡条件
三个方程
可以解出三个未知数
或者说
可以挑出三个变量
使得用其它变量表达
解上面的方程组
得到Ni Ti 和△Ei
其中△Ei是我们需要的
其右边项中没有Ti、Ni
只含有未知数F
我们把每个土条的△Ei累加
即求Σ△Ei
它等于E2-E1加上E3-E2 等等
一直加到En+1-En
最终得到En+1-E1
也就是Eb-Ea
在两端点
土条侧面的力等于0
这样就得到Σ△Ei=0
把前面得到的△Ei代入进来
得到下面的等式
这个等式可以用来求解F
但里面含有未知数△Xi
怎么得到Xi
这就要用到力矩平衡
我们刚才只用了每个土条的力的平衡条件
力矩平衡条件还没有用上
我们需要利用每个土条的力矩平衡方程
来求解△Xi
对每个土条
针对土条底部中点求力矩
得到下面的式子
其中Xi+△Xi就是土条切向力Xi+1
它对中点的力臂为二分之一土条宽度
Xi的力臂也为△x/2
Ei+1和Ei的力臂
大家也可以很容易确定
这其中
Ti Ni △Q W由于过土条底部的中点
力臂都为0
因此
在力矩平衡方程中不出现
对上式进行化简
其中Ei+1=Ei+△Ei
可以得到下面的式子
前面括号内这一项
等于△hi
后面括号内这一项
近似于hi
现在可以看到计算简图中
我把Hi+1画在高处的原因了
否则
眼睛看上去△hi为负的
正负号就容易出错
进一步
可以简化为下面的式子
它就可以用来求解条间的切向力Xi
具体求解方法是这样的
先假定△Xi
一般假定为0
利用前面力的平衡
得到的等式求出安全系数
记为F1
进一步可以求出条间法向力Ei和△Ei
利用上面这个力矩平衡得到的等式
求出Xi和Xi
然后就可以求出新的安全系数
记为F2
重复这个迭代过程
直到收敛
大家可以回忆一下
在数值分析教材中
这种迭代方法叫什么
叫做“不动点迭代法”
Janbu法没有对滑动面形状作假定
因此可以用于任意形状滑动面
Janbu法的缺点是什么
就是不太容易收敛
有一些文献提出一些办法
说是能改善收敛性
效果也不见得好
其实原因也不难理解
4n个方程
4n-1个未知数
也就是说
用4n-1个方程就可以得到一个解
然后让这个解同时满足剩下的
那个没有利用的方程
是不是本身就得靠运气
所以不容易收敛也在情理之中
-0.1 岩土工程的学科特点与发展
-0.2 土力学学科的发展历史
-0.3 岩土工程实践的发展
-0.4 理论与工程的检验
-0.5 岩土工程的可持续发展
-第0章 绪论-作业
-1.0 概述
--1.0 概述
--1.0 概述-作业
-1.1 室内试验
--1.1 室内试验-作业
-1.2 模型试验
--1.2 模型试验
--1.2 模型试验-作业
-1.3 原位测试与现场观测
--1.3 原位测试与现场观测-作业
-1.4 试验的检验与验证
-2.1 概述
--2.1 概述
--2.1 概述-作业
-2.2 应力和应变
--2.2 应力和应变-作业
-2.3 土的应力变形特性
--2.3 土的应力变形特性-作业
-2.4 土的弹性模型
--2.4 土的弹性模型-作业
-2.5 土的弹塑性模型的一般原理
--2.5 土的弹塑性模型的一般原理-作业
-2.6 剑桥模型
--2.6 剑桥模型-习题
-2.7 其它典型弹塑性模型
--2.7 其它典型弹塑性模型-作业
-3.1 概述
--3.1 概述-作业
-3.2 土的抗剪强度的机理
--3.2 土的抗剪强度的机理-作业
-3.3 土的强度与土的物理性质
--3.3 土的强度与土的物理性质-作业
-3.4 影响土的强度的外部因素
--3.4 影响土的强度的外部因素-作业
-3.5 土的排水与不排水强度
--3.5 土的排水与不排水强度-作业
-3.6 土的强度理论
--3.6 土的强度理论-作业
-3.7 黏性土的抗拉强度
--3.7 黏性土的抗拉强度-作业
-4.1 概述
--4.1 概述
--4.1 概述-作业
-4.2 饱和土的渗透性和基本方程
--4.2 饱和土的渗透性和基本方程-作业
-4.3 饱和土二维渗流和流网
--4.3 饱和土二维渗流和流网-作业
-4.4 饱和渗流数值计算方法
--4.4 饱和渗流数值计算方法-作业
-4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力
--4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力-作业
-4.6 非饱和土土水特征曲线
--4.6 非饱和土土水特征曲线-作业
-4.7 非饱和土的渗透性和数值计算
--4.7 非饱和土的渗透性和数值计算-作业
-5.1 概述
--5.1 概述
-5.2 土的压缩与地基的沉降
--5.2 土的压缩与地基的沉降-作业
-5.3 地基沉降的计算方法
--5.3 地基沉降的计算方法-作业
-5.4 单向固结的普遍方程及一般问题
--5.4 单向固结普遍方程及一般问题-作业
-5.5 土的三维固结理论
--5.5 土的三维固结理论-作业
-5.6 关于土体固结的其他问题简介
--5.6 关于土体固结的其他问题简介-作业
-6.1 概述
--6.1 概述
-6.2 边坡稳定分析方法
-6.3 最小安全系数和潜在滑动面的搜索方法
-6.4 极限平衡法边坡稳定分析的一些结论
-6.5 塑性力学上下限定理简介
-6.6 基于有限单元法的边坡稳定分析
-6 边坡稳定分析-作业