2.2 应力和应变在线视频

同学们好

下面我们学习第2节“应力和应变”

这一节主要包括：1.应力张量及符号规定

2.主应力及应力不变量

3.八面体应力和主应力空间

以及4.应变共4个部分

我们首先来介绍应力张量及符号规定

土力学中一点的应力状态

可以用通过该点的

微小立方体上的应力分量来表示

在这个立方体的6个面上

作用着有9个应力分量

它们组成一个如图中所示的

二阶对称张量

在这9个分量中

由于剪应力是成对出现的

因此只有6个分量是独立的

所以也可以用这6个应力分量

组成的列矩阵或一个6维向量

来表示一点的应力状态

这种列矩阵的表示方法

常用于数值计算

下面介绍土力学中应力符号的规定

在土力学中

根据不同的用途

使用了两套不同的应力正负号的规定

在一般情况下

例如在进行应力计算时

采用相应于弹性力学的符号系统

但正负号相反

在土力学中

正应力规定以压为正

对于剪应力 在正面

也就是其外法线与坐标轴方向一致的面上

剪应力与坐标轴相反为正

反之在负面上剪应力与坐标方向一致为正

此时

如图中所示

在相互垂直的两个面上

各对剪应力的符号都是相同的

另一套符号系统是在绘制应力摩尔圆时

所采用的应力符号系统

这时

采用相应于材料力学的符号系统

但同样正负号

相反

正应力以压为正

剪应力以使微单元

产生逆时针方向的旋转为正

此时

如图中所示

在相互垂直的两个面上

各对剪应力的符号是相反的

同学们好

下面我们学习“主应力和应力不变量”

土体中一点的应力状态是客观存在

不随坐标轴的选取发生变化

但是和坐标轴垂直的3个面上

9个应力分量的大小

却是和坐标轴的选取有关的

这里它们满足张量坐标变换的规则

可表示成图中的这个式子

其中系数α为新坐标系轴

与老坐标系轴夹角的余弦

在应力场中一个点的某个斜截面上

如果只有法向应力而无剪应力时

这个斜截面就是主应力面

对应力场中的每个点

都存在着3个相互垂直的主应力面

分别称为大主应力、中主应力和小主应力面

根据力的平衡方程

可以推导

三个主应力应满足图中的这个三次方程

三个主应力是这个三次方程的三个根

由于三个主应力大小

与初始坐标系x、y、z的选择无关

因此这个方程的系数

I1、I2和I3是三个恒定的标量

亦称应力不变量

即不随坐标的选择而变化的量

三个应力不变量和具体坐标轴的选取无关

所以常常用于本构模型的研究

应力张量σij可分解为一个各方向

应力相等的球应力张量

和一个偏应力张量

其中第一项σm称为球应力分量

其物理意义代表作用于该点的平均正应力

其值为σm=I1/3

该分量在文献中也称静水压力分量

当我们将物体放在静水中某个深度时

物体承受的就是这种应力状态

此时物体承受的是各个方向

正应力相等

剪应力为零的这样一种状态

第二项记为Sij

称为偏应力分量

其物理意义代表作用于该点的

纯剪应力分量

在纯剪应力状态下

三个主应力之和为0

可以旋转到三个相互垂直的面

在这3个面上正应力都为0

只有剪应力存在

偏应力张量同样是一种应力张量

所以它也有三个应力不变量

分别记为J1、J2和J3

它们与主应力之间的关系

可分别用这3个式子来表示

请注意J2和J3表示式的特点

类似的表示形式

在之后分别会出现在表示广义剪应力

和洛德角大小的公式中

下面我们分别再总结一下球应力张量

和偏应力张量的物理意义

球应力张量分量

其物理意义代表作用于该点的平均正应力

或者静水压力分量

在经典弹性理论中

当受球应力作用时

物体只会产生体应变

也即物体只会发生体积变化

而不发生形状的变化

偏应力张量其物理意义代表作用于

该点的纯剪应力分量

在经典弹性理论中

当受偏应力张量作用时

物体将只产生剪应变

也即物体只会发生形状的变化

而不发生体积的变化

同学们好

下面我们学习“八面体应力和主应力空间”

下面首先介绍八面体应力的概念

首先

我们选取一个如图中所示的

应力主轴坐标系

所谓的应力主轴坐标系是指

将三个坐标轴

x

y和z的方向

分别取为三个主应力

σ1

σ2和σ3方向的这样有一个坐标系

在应力主轴坐标系中

如果取OA

等于OB等于OC

则斜截面ABC就是一个等倾面

在每一个象限都存在着这样一组等倾面

八个象限中的等倾面组成一个正八面体

所以

这样的等倾面被称作为八面体面

八面体应力指的就是

在这样的八面体面上的正应力和剪应力

对八面体面ABC

作用在该面上的正应力和剪应力

分别称为八面体正应力σoct

和八面体剪应力τoct

它们都可以由四面体的平衡条件求得

分别可用图中的这两个式子来表示

从这两个式子中可以看出

八面体正应力σoct

和八面体剪应力τoct

分别和应力不变量I1

以及偏应力不变量J2相关

在土力学中经常使用

另外两个十分相似的应力不变量

分别为平均主应力p与广义剪应力q

其中p等于σoct

q等于3/√2倍的τoct

文献中有学者

有时也将p、q

分别直接称作是八面体正应力

和八面体剪应力

实际上

p和q并不是某一个具体面上的应力

它只是为了在土力学中表述方便

而引入的一个表达式

在无侧限压缩试验中

q=σ1

在常规三轴压缩试验中

q=σ1-σ3

q的表达式均非常的简单

下面介绍主应力空间与π平面的概念

对于各向同性材料

其应力应变关系

与具体坐标系的选取方向无关

所以经常采用主应力空间

及其应力不变量来描述

所谓主应力空间就是以三个主应力σ1

σ2 σ3为坐标轴的这样一个空间

此空间中的一个点P

代表土单元的一个应力状态

（σ1，σ2，σ3）

此应力空间中的一条线

则表示一条应力路径

应力路径是指

当土体单元的应力状态

发生连续变化时

代表其应力状态的点

在应力空间运动所形成的轨迹

在主应力空间经常用到下面的概念

1：空间对角线OS

指与三个坐标轴夹角相等的射线

在OS上三个主应力相等

第2：π平面ABC

与空间对角线垂直的平面

显然在π平面上

各点的主应力之和是常数

π平面有无限多个

但通过已知应力点P的π平面则只有一个

假定其与空间对角线OS相交于Q

根据几何关系

可求得OQ和PQ的大小

分别为图中的这两式子

可见OQ的长度与八面体正应力σoct

或平均主应力p直接相关

QP的长度与八面体剪应力τoct

偏应力的第二不变量J2

或广义剪应力q直接相关

第3个概念:应力洛德角

为了完整描述一个应力点的位置

除了OQ和PQ之外

还需要另外一个变量

例如

在图中所示的π面上

以Q为圆心PQ为半径画圆

则该圆上所有的应力点

都具有相同的平均主应力p

和广义剪应力q

为了描述点P在平面上的确定的位置

还应引入另外一个参数

也就是π平面上的一个夹角

这个夹角就是应力洛德角

应力洛德角的定义如图中所示

首先规定在σ1与σ2轴之间

且和σ2轴的正方向夹角为90°的直线

QR为应力洛德角的起始线

连接PQ

则将PQ和QR之间的夹角

定义为应力洛德角θ

以逆时针方向为正

在土力学中和应力洛德角θ

相关的另外两个量

分别是洛德参数

μσ和毕肖普常数b

它们的表示式如图中所示

可见

应力洛德角是一个表征应力状态的参数

具体表达的是中主应力

和其它两个主应力间相对比例的大小

因此

在主应力空间平均主应力p

代表应力点所处的π平面的位置

OQ

剪应力q代表P到π平面中心的距离PQ

应力洛德角θ代表

应力点P在平面上的角度

可见

三个独立的应力参数p、q和θ

也可以确定应力点P

在主应力空间中的具体位置

在三轴应力状态下

如果我们定义σ1≥σ2≥σ3

如果我们定义σ1≥σ2≥σ3

则平均主应力p

剪应力q

和应力洛德角θ的具体表示式

如图中所示

此时应力洛德角

会在±30°的角域中变化

在三轴压缩试验中

σ1＞σ2=σ3

应力洛德角等于-30°

在三轴伸长试验中

σ3为轴向应力

且σ1=σ2＞σ3

应力洛德角等于+30°

本节的最后一个部分是“应变”

应力和应变的情况相似

相关的概念和公式请同学们自学《高等土力学》教材

第50页和第51页