5.5.1 土的三维固结理论1在线视频

现在我们学习第五节

土的三维固节理论

第五节包括四部分内容

一 三向压缩比奥固结理论

二 太沙基伦杜里克准三维固结理论

也称扩散方程

三

两种固结理论的比较包括原理和条件

四 三向固结的轴对称问题

砂井预压固结计算

先学习三向压缩比奥固结理论

这个图给出了

按三向固结理论计算得到的

圆形基础均布荷载作用下

黏土层的固结曲线

圆的半径为a 地基的厚度为H

底面不排水 顶面排水

v'=0图中的数字为a/H的数值

从a/H等于0.1 1.0 10

和无穷大相应曲线的关系可以看出

它们的固节速率差别很大

以Tv=0.1为例

固节度分别为93%

40% 19% 19%

基础的半径相对越小

即a/H愈小 固结速率越快

可见水平向的排水效应明显

也就是说存在明显的三维效应

在前面提到的关于

关西国际机场人工岛工程实例中

二期岛的填筑施工导致一期岛下

地基中的超静孔压升高 原因之一是

二期岛地基中产生的较高的超静孔压

通过沙土层向一期岛的地基中传递

即水枕现象

显然 这些现象已不能

用一维渗流固结理论来解释

下面我们推导三向压缩比奥固结方程

基本思路是

利用平衡条件和连续性条件

这两个基本条件

同时利用几何条件

土骨架应力应变关系

有效应力原理和达西定律

可以推导出三向压缩比奥固结方程

该方程实际上是描述

某些基本未知量的

时空分布规律的微分方程

选用的基本未知量是

孔隙水压力或超静孔隙水压力u

土骨架在x y z方向的位移

us vs ws先分析平衡方程

在图示的坐标系中

取dx·dy·dz的饱和土体单元

土单元的平衡条件的基本方程是

σij,j=fi fi为体积力

如以其中的土骨架为隔离体

则需要用到有效应力原理

σz=σ'+u

以竖直向应力为例

有σz=σz'+u

可得到一组三个平衡方程

如式1所示

式中 u为超静水压力时

γ为浮重度 γ'

u为总水压力 即包括静水压力时

γ为饱和重度γsat

以下按u为超静孔压来推导

三个方向上的渗透力为

ix·γw·iv·γw

iz·γw

分别对应于负的∂u∂x

负的∂u∂y 负的∂u∂z

下面分析几何关系

它是指应变-位移关系

这里的一组六个方程

给出了六个应变分量

与位移微分的关系

us vs ws

表示土骨架

在x y z 三个方向上的位移

土骨架的应力应变关系

采用线弹性广义胡克定律

这里给出的一组六个方程

是用弹性参数E'和ν'表示的形式

土骨架的线弹性应力应变关系

也可以用弹性参数G'和λ'表示为

形如式3''形式

这里还给出了G'和λ'

与E'和ν'的关系

事实上任意两个弹性参数

都可以用其它两个参数表示

大家可根据情况灵活选用

将平衡条件 变形协调条件

及本构关系耦合起来

可以得到形如式4的三个方程

下面还给出了拉普拉斯算子

Nabla平方的表达式

在这个方程组里面有四个未知数即

us vs ws

为土骨架三个方向的位移

u为孔隙水压力

四个未知数只有三个方程

还需要一个条件才能求解

在分析饱和土体的连续性方程

连续性条件的基本关系是

该土体单元在dt时段内

孔隙水的净流出量

等于土体体积的变化量

根据这个条件

可以得到式a

根据达西定理

三个方向的流速可用式b表示

把式b带入到式a

可得连续性方程式c

k比γw▽平方u等于负的∂εv∂t

根据弹性理论体应变

εv=P'/k'

=1-2v'/E'(θ-3u)

其中大Θ为总应力的三个正应力之和

即Θ=

σx+σy+σz

把εv的表达式带入到式c可得

∂εv/∂t=

1-2v'/E'·∂/∂t(Θ-3u)

或改写为

Cv3▽平方u=

∂u/∂t-1/3∂Θ/∂t

其中Cv3=kE'/3γw

乘以(1-2v')

Cv3是三维固结系数

大Θ是时间的函数

与太沙基单向渗流固结方程

Cv3▽平方u=∂u/∂t

有两个差别 一固结系数不同

二太沙基单向渗流固结方程中

不含大Θ

前面得到的方程组4

和刚刚得到的方程5

联立共四个方程这就构成了

比奥三维固结理论的基本微分方程组

里面有四个未知数

即us vs ws

为土骨架三个方向的位移

u为孔隙水压力

理论上是可以求解的

下面我们讨论比奥固结理

论在二维和一维条件下的形式

在平面应变条件下结合弹性理论

前面得到的连续性方程变为

Cv2▽平方u

=∂u/∂t-1/2∂Θ2/∂t

其中的Cv2与前面的

Cv3不同Nabla平方只有两项

大Θ2=σx+σz

比奥固结理论在一维条件下的形式

就是单向渗流固结问题

结合弹性理论

前面得到的连续性方程变为

Cv1▽平方u=∂u/∂t-∂Θ1/∂t

其中的Cv1与前面的Cv3

和Cv2不同

Nabla平方只有一项

Θ1=σz

对于荷载一次瞬时施加

并且保持不变的情况

∂Θ1/∂t=0

连续性方程变为

Cv1▽平方u=∂u/∂t

可见此时比奥固结理论

与太沙基单向固结理论一致

下面我们简单地小结下

比奥固结理论的原理

及其在数值计算中的应用

根据上述推导过程

在有限元数值计算中常选用的

结点上的四个基本未知量是

土骨架在x y z 方向的位移

us vs ws和孔隙水压力u

利用平衡条件和连续性条件

这两个基本条件

同时利用有效应力原理 达西定律

几何条件和变形协调条件

以及土骨架应力应变关系

可以推导出包括四个方程式的

比奥三向固结方程组

在推导过程中

土骨架的应力应变关系采用了

线弹性广义虎克定律

这与土的实际力学特性差别很大

在数值计算中

可采用非线性和弹塑性模型

可按时间顺序按增量法逐步计算

从t=0开始每次增加Δt

对于应力应变的非线性和弹塑性

在不同时刻相应的参数

随有效应力或状态参数变化

在推导过程中

渗透系数也是假定为常数

实际上它随物理

和剪切状态的变化而变化

表现出明显的非线性和耦合效应

也要进行精确的计算

需要在逐步计算的过程中进行修正

本段结束