当前课程知识点:高等土力学 > 第4章 土中渗流 > 4.3 饱和土二维渗流和流网 > 4.3.1 饱和土二维渗流和流网1
同学们好
下面我们学习第3节
“饱和土二维渗流和流网”
这一节主要包括
势函数和流函数的概念
流网的特性及画法
以及流网的应用
共3个部分
下面我们首先来介绍
势函数及流函数的概念
首先来看势函数
为了研究的方便
我们在渗流场中引进一个
标量函数φ
令φ=-kh
式中
k为土体的渗透系数
h为测管水头
根据广义达西定律可得
vx=∂φ/∂x
vz=∂φ/∂z
也就是
流速矢量v等于标量函数φ的梯度
由上式可见
渗流流速矢量v是标量函数φ的梯度
一般说来
当流动的速度正比于
一个标量函数的梯度时
这种流动被称为有势流动
这个标量函数被称为
势函数或者叫流速势
由此可见
满足达西定律的渗流问题
是一个势流问题
由渗流势函数φ的定义可知
势函数和测管水头呈比例关系
等势线也是等水头线
两条等势线的势值差
也同相应的水头差成正比
它们两者之间完全可以互换
因此
在流网的绘制过程中
一般直接使用等水头线
下面介绍流函数的定义和特性
为此
我们首先从流线的方程开始讨论
我们知道
流线是流场中的曲线
在这条曲线上所有点的流速矢量
都和该曲线相切
对于不随时间变化的稳定渗流场
流线也是水质点的运动轨迹
根据流线的上述定义
如图所示
我们可以写出流线所应满足的
微分方程为
dz/dx=vz/vx
展开可得流线的微分方程为
-vzdx+vxdz=0
现在我们来研究一下
这个流线方程的左边
看看是否可以把它写成
某个函数的全微分
根据高等数学的理论
我们可以这样做的充分必要条件是
式子中
dz前面的系数vx
对x的偏导数
是否等于
dx前面的系数(-vz)
对z的偏导数
也就是看看是否
∂vx/∂x等于∂(-vz)/∂z
将这个条件进行整理
我们可以发现这个条件
实际上就是渗流的连续性方程
而在渗流场中
渗流的连续性方程是恒定成立的
也就是说这个充分必要条件
总是可以满足的
因此
我们可以推定
必然存在某个函数ψ
我们称之为流函数
可以将流线方程的左边
写成这个流函数ψ的全微分的形式
也就是下面这个式子成立
根据这个式子两端dx和dz前面
系数的对应关系
可得流函数的偏导数和流速的关系为
∂ψ/∂x=-vz
∂ψ/∂z=vx
流函数ψ具有如下的
两条重要特性
特性(1)
不同的流线互不相交
在同一条流线上
流函数的值为一常数
流线间互不相交
是由流线的物理意义所决定的
关于在同一条流线上
流函数的值为一常数
可简单证明如下
根据我们前面讨论的流函数
和流线方程的关系
流函数的增量dψ等于
流线方程的左边项
而在同一条流线上
又满足流线的微分方程
vxdz-vzdx=0
所以
在同一条流线上dψ=0
流函数的这条性质表明
在一条流线上
流函数的值为一常数
在渗流场中
流线也就是流函数的等值线
流函数的第(2)条性质为
两条流线上流函数的差值等于
穿过该两条流线间的渗流量
如图所示的两条流线
流线上流函数的值分别为
ψ和ψ+dψ
两条流线间通过的流量为dq
流函数的这条性质是指
此时应有dψ=dq
下面对流函数的这个性质进行证明
取两流线间的过水断面ab
a点的坐标为
(x,z)
b的坐标为(x-dx,z+dz)
那么
dq就是穿过ab断面的流量
可分解为x方向的流量
和z方向的流量之和
前者等于vx乘ac
后者等于vz乘cb
注意到
ac=dz
cb=-dx
所以有
dq=vxdz-vzdx
注意到vxdz-vzdx也等于
流函数ψ的全微分
所以
有dq=dψ
-0.1 岩土工程的学科特点与发展
-0.2 土力学学科的发展历史
-0.3 岩土工程实践的发展
-0.4 理论与工程的检验
-0.5 岩土工程的可持续发展
-第0章 绪论-作业
-1.0 概述
--1.0 概述
--1.0 概述-作业
-1.1 室内试验
--1.1 室内试验-作业
-1.2 模型试验
--1.2 模型试验
--1.2 模型试验-作业
-1.3 原位测试与现场观测
--1.3 原位测试与现场观测-作业
-1.4 试验的检验与验证
-2.1 概述
--2.1 概述
--2.1 概述-作业
-2.2 应力和应变
--2.2 应力和应变-作业
-2.3 土的应力变形特性
--2.3 土的应力变形特性-作业
-2.4 土的弹性模型
--2.4 土的弹性模型-作业
-2.5 土的弹塑性模型的一般原理
--2.5 土的弹塑性模型的一般原理-作业
-2.6 剑桥模型
--2.6 剑桥模型-习题
-2.7 其它典型弹塑性模型
--2.7 其它典型弹塑性模型-作业
-3.1 概述
--3.1 概述-作业
-3.2 土的抗剪强度的机理
--3.2 土的抗剪强度的机理-作业
-3.3 土的强度与土的物理性质
--3.3 土的强度与土的物理性质-作业
-3.4 影响土的强度的外部因素
--3.4 影响土的强度的外部因素-作业
-3.5 土的排水与不排水强度
--3.5 土的排水与不排水强度-作业
-3.6 土的强度理论
--3.6 土的强度理论-作业
-3.7 黏性土的抗拉强度
--3.7 黏性土的抗拉强度-作业
-4.1 概述
--4.1 概述
--4.1 概述-作业
-4.2 饱和土的渗透性和基本方程
--4.2 饱和土的渗透性和基本方程-作业
-4.3 饱和土二维渗流和流网
--4.3 饱和土二维渗流和流网-作业
-4.4 饱和渗流数值计算方法
--4.4 饱和渗流数值计算方法-作业
-4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力
--4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力-作业
-4.6 非饱和土土水特征曲线
--4.6 非饱和土土水特征曲线-作业
-4.7 非饱和土的渗透性和数值计算
--4.7 非饱和土的渗透性和数值计算-作业
-5.1 概述
--5.1 概述
-5.2 土的压缩与地基的沉降
--5.2 土的压缩与地基的沉降-作业
-5.3 地基沉降的计算方法
--5.3 地基沉降的计算方法-作业
-5.4 单向固结的普遍方程及一般问题
--5.4 单向固结普遍方程及一般问题-作业
-5.5 土的三维固结理论
--5.5 土的三维固结理论-作业
-5.6 关于土体固结的其他问题简介
--5.6 关于土体固结的其他问题简介-作业
-6.1 概述
--6.1 概述
-6.2 边坡稳定分析方法
-6.3 最小安全系数和潜在滑动面的搜索方法
-6.4 极限平衡法边坡稳定分析的一些结论
-6.5 塑性力学上下限定理简介
-6.6 基于有限单元法的边坡稳定分析
-6 边坡稳定分析-作业