3.2.2扩散的分子基础-分子动力学在线视频

同学们

上节课我们讲了

从宏观层面

讲了建立扩散通量

和浓度梯度的关联

就是菲克扩散定律

这个时候我们就想

这个菲克扩散定律的

它的微观的物理的基础是什么呢

这节课我们讲它的微观分子基础

从分子运动的层面来讲

考虑一个稳定的双组分的

混合物的平面层

很小的一个空间里

也就是说只有几个分子自由程的

咱们这个气体里面的

分子自由程的距离是多大吗

这个大概是有70纳米

所以真正的扩撒我们就要在一个

70纳米

这么小的距离里来考虑它的微观基础

来考虑在这么小的距离内

它的浓度的梯度

造成了扩散的本质

我们首先讲一下分子的

统计的物理性质参数

比如说我第一个要讲的

就是分子的平均运动的速度

我们都知道这个平面是静止的

但是呢你不能说是分子不运动的

其实在这个静止的平面上

每一个分子都是以一个

几百米每秒

甚至上千米每秒的速度在运动

这个速度的值大概是多少呢

我们学过物理的同学知道

它是根号下 除以

Kb 是玻尔兹曼常数

然后呢我们还要讲第二个要讲的是

分子的碰撞频率

分子的碰撞频率就是谁呢

在这个平面上

分子自由运动的时候

碰撞这个平面呢

这个频率到底是多少呢

学过物理

在物理上我们知道

它是四分之一

分子数密度乘以它的分子运动速度

还有自由层

我们强调了

还有自由程

分子的自由程是指

分子在上一次碰撞

经过下一次碰撞之间

走过的距离叫分子自由程

而扩散是沿着某一个梯度的

所以它和分子自由程的关系是

三分之二

也就是我们说的

分子沿着扩散的方向

分子两次碰撞之间的

平均距离是A

那下面我们就要开始讲

从分子运动论来推导

这几个重要的参数

我们都知道

分子运动论呢

推导最早是来自于我们专业的

热力学大师

路德维希玻尔兹曼

玻尔兹曼最早就提出来

在这个空气中的分子

它的运动速度不是唯一的

它是一个能量的分布率

这一类能量的

分子的概率

或者是其他的这个介质的概率

占总的能量的这个概率

这就是玻尔兹曼分布率

我们都知道能量分布率啊

它是很复杂的

我们在学物理上

有费米狄拉克

有玻色爱因斯坦分布率

在这里我们要讲的

是一种比较简单的

来自于就是麦克斯韦的分布率

首先我们注意几个参数

第一KB是玻尔兹曼常数

MA是单个分子的质量

NA是分子疏密度

∑西格玛 是分子之间的直径

我们都知道对分子而言

它和电子还有和光子不同

它是麦克斯韦玻尔兹曼分布

什么意思呢

这个时候指的是动能

是能量的主导

这个时候我们就可以看出来

在空间XYZ上

我们用vXvYvZ

这个时候呢我们又可以建立到

不同的分子的vXvYvZ是不一样的

它用一个指数exp

然后vXvYvZ的平方

除以KBT

然后建了个分布率

这个分布率它是属于一个

是笛卡儿坐标系的

XYZ只是速度空间

跟我们平常讲的长度空间是类似的

我们如果想知道

每一个绝对的速度

他所占的分布率

这个时候我们就要把笛卡儿坐标系

转换成球坐标系

也就是dvxdydz就变成了

四π速度的平方dv

这个时候是一个什么概念呢

就是某一个速度的量

它在整个分子的运动的分布率是多少

也就是说我们在这个空间里面的分子

它的速度都是不一样

的是700米每秒

有点200米每秒 300米每秒

它所占的这个比例

占的这个就是呢分布率

就可以通过麦克斯韦分布率来表示

这样的话呢

因为每一个速度的分布率是知道的

所以我们把这个V速度

乘以它的分布率Fvdv

然后除以它的这个分布率Fv

这样的话这个比值

我们就可以知道

在这个空间中虽然分子杂乱无章的运动

速度也不一样

它总有一个平均速度吧

这个平均速度最后

我们可以用麦克斯韦分布率

带动进去

下面我们推导过程是

我们要进入一个γ函数

我希望学生在下面

可以结合γ函数

自己能够推导一下

通过这个γ函数

然后我们就可以得出来

这个推导

我们最后就得到了

分子的平均速度

就是根号下8kt除以πM

k是玻尔兹曼常数

T是温度

M是分子的质量

同样呢我们这个时候就想

如果分子的能量它都能是主导的话

那个这个时候

分子的平均的能量是多少呢

我们进一步推导

然后因为每个分子的能量是

二分之一Mv方

乘以它的分布率FV

然后除以它最后的积分后的分布率

还是利用γ函数

这个时候我们就得到了

分子的平均的动能是

二分之三kbt

这个我们会留下作业

同学在下面会推导

然后下面我们就要讲第三个

分子的碰壁概率

分子的碰壁概率

假如说是这个平面

在这个平面上

所有的沿着X方向的一个平面

它Vx的速度分量

乘以它的分布率最后这个积分完之后

沿着xyz积分完之后

和单位面积单位时间的比值

就会值得到它单位时间的

单位面积的分子的碰壁概率

这个碰壁概率我们照样利用γ函数

我们积分完之后会得到

碰壁概率等于四分之一n除以个体积

乘以个分子的平均速度

也就是说分子平均速度

我再问一下同学们是什么呢

是根号下8KBT除以πM

它乘以分子的疏密度

然后四分之一就是我们的碰壁概率

这个是我提醒同学们

这个四分之一是怎么得来呢

是严格的按照麦克斯韦分布率

去进行积分

然后是四分之一这个参数

所以我们在物理上理解的是

这个分子的碰壁概率

跟哪些量有关呢

第一个量肯定是

空间内的分子的疏密度

而第二个量就是分子的平均速度

如果平均速度越大

就像这个平面我的平均速度越大

我碰壁的概率也会越高

所以这就是属于碰壁频率的

这个推导过程

下面我们还会讲这个

分子的自由层是

一个分子在上一次碰撞

到下一次碰撞所经过的平均的距离

那通过这个时候

我们就可以知道

就是在空间内我们讲了是一个二元的系统

有A分子和B分子

他们的碰撞频率

A和B的碰壁概率是多少呢

这个时候我们就想

以一个A分子为例

我画一个A分子

然后空间呢是无数个B的分子去碰它

B分子的分子数密度是NB

然后A分子呢和B分子

我们这里可以做了一个碰撞平面

就是它俩这个DA加DB

就是谁呢这个时候

我们有一个碰撞平面

大家可以看

同样这个碰撞平面

在这个碰撞平面上

就属于呢

也就是说我们的π

跟AB的平方

是一个它的碰撞平面

球形的A分子的面积

分子的平均速度是多少呢

是根号下8KBTπM

它乘以这个面积是什么呢

就是属于对一个A分子

空间的B分子去撞它的频率

也就是我们说的NB乘以AB的平方

乘一个V根号下8KBTπM

这是一个分子的A分子

B分子碰撞频率

如果空间的A分子是NA

它的疏密度再乘以NA

这个时候就是属于

我们说的任AB

也就是任意一个空间里

有两类组份A和B

它们之间的碰壁概率

A分子的∑AB

这个时候就是我们讲的

一个A分子空间的B分子

碰撞的这个频率

这两个单位是什么呢

我希望同学在下面会想

（任AB）是什么呢

是单位体积内单位时间

它的碰撞的个数

而∑AB呢

就是一个A分子的碰壁概率是什么呢

是属于单位时间内

碰它的B分子没有单位体积

对∑AB

如果我们这个时候知道了

分子的平均速度VA

是根号下8kbt除以πM

而我们又知道了

所有碰它的B分子的频率

就是谁呢

∑A

这个时候用速度除以个碰壁概率

就是什么呢

频率分之一是时间

V乘一个K就是位移

这个位移就是我们说的分子自由层γA

所以γA的话我们最后就得出来

它等于什么呢

它是属于

这个π乘以个A的疏密度

乘以分子的直径的∑A的平方

然后分之一

这就是分子的自由层

也就是说这个时候

我给大家一个提示

如果分子直径越大

那它的自由层是越大越小呢

肯定越小

如果分子越浓

它的自由层也会越低

这就真空的

我们在这个地表上

我们现在是70纳米的自由层

我给大家举一个很简单的例子

到了太空空间中

分子的自由层就不是70纳米了

就有可能是几米甚至更长

因为为什么呢

是因为它的分子疏密度比较低

这节课我们就讲到这儿