8.2.1 简化分析（续）在线视频

我们上节课讲到

火焰是什么

火焰是

在亚音速下

可自维持传播的

一个局部区域

什么意思

一个本生灯火焰

大家可以看到这是一个

本生灯火焰

近似于三角形

但其实是一个复杂的形状

上节课我们求了

就是它如果没有火焰

向着未燃来流的

法向传播

火焰就被风吹跑了

随着流体就跑了

所以正因为有火焰传播速度

在法向上和

未燃来流速度是相当的

所以火焰面就停在那了

就驻定在那了

这是火焰传播的

最重要的一个点

所以呢对所有的火焰研究

找出来层流火焰的

速度 就是SL

它的简化的表达形式

这是很重要的

为了找到它呢

在很早的时候

1883年的时候

Mallard和Le Chaterlier他们

Chaterlier

做这部分内容

我们这本书是用了

比较简单的一个理论

是用了帝国理工的

Brian Spalding

我们专业的一个大师

Spalding的理论

当然我个人最喜欢的

还是推荐同学在课下

去看Zeldovich和Frank-kamenetskii的理论

就是ZFk

ZFk是所有的简化理论中

对火焰理解比较透彻的

在Irvin Glassman的Combustion

这本书里面

也有很详细的表述

当然了C. k. Law的书里面也有

大家可以去看

总而言之我们就用传热

传质化学动力学和热力学的

方法去简化

在简化之前我们先想想

大家对火焰的理解研究

层次的变化

最早的时候对火焰的研究

是

Hydrodynamic 就是流体动力学的层次

什么意思呢

火焰面就像

一个面一样很薄

剖开就是在一条线上

就是这里是未燃物

然后紧挨着就突然变成了

产物

温度突然跳变上去

这时候我们看

在一个位置出现了跳变

后来大家发现这个简化太粗糙

就逐渐提到了输运的层次

就是我们讲的扩散

既包括传质的也包括热量的

就是能量和质量的扩散

就是组分方程和能量守恒方程

我们可以看它就是一个区域

未燃物的质量分数

是渐变的 温度逐渐升上去

大概是有一毫米多的厚度

慢慢的大家就开始

在区域里面

又分出来一个后面的

很窄的一个快速反应区

我们不考虑拖尾

拖尾在燃烧里不是那么重要

就有快速反应区

是一个很窄的反应区

又给加进来

到了Reaction level

就是从Transport输运层次

到反应的

层次 具体大家可以看

Law和Sung在

PECS上

咱们专业最高的期刊上

2000年发表的论文

同学们可以试着去查一下

我们都理解到目前为止

各种简化理论

都没有一个精确的

对火焰速度的表述

在其中呢

ZFk理论我认为是

物理意义最明确的之一

当然这本书上Spalding的理论

因为比较简单

作为咱们本科的教学比较好

前面火焰的物理表述我就不说了

就是火焰速度是什么

对吧

是火焰面向未燃物的

传播速度

这个传播是什么呢

数值上等于来流的法向速度

方向相反

为了求得SL

就是火焰速度的表达式

我们要有很多假设

假设后还要建立它的守恒方程

然后去求解

这就是我们下面要做的工作

首先我们要大胆的假设

第一它是一维的

同学就问 老师

火焰面是近似于

三角形的形状

你怎么说是一维的

对 我们就只要研究

在三角形上

垂直于火焰面的一个

小微元体 后面会讲

所以它是一个稳态的流动

我们就固定一小块面积

来研究

它的动能、势能和外力的

就是惯性力

外力的做功都可以忽略

第三点就是火焰面

前后微小的压力差

也是可以忽略的

什么意思呢 就是压力恒定

这时我就问同学们

压力恒定代表一个什么概念呢

压力恒定代表

它的速度

如果密度不变的话

速度是不变的

如果密度变了 当然

只要建它的动量方程就可以

所以欧拉方程的压力项没了

热扩散和质量扩散

是由傅立叶定律

和我们第三章学的

菲克扩散定律来决定的

而且假设它是二元扩散

第五个假设比较重要

是什么

刘易斯数等于1

在前面我们讲到刘易斯数

刘易斯数等于什么呢

同学们还记得吗

刘易斯数等于

α除以D 是什么 热扩散率

和传质的扩散系数的比值

再可以等于

k 导热系数

除以ρcp 就是α

然后再除以D

就是质量扩散系数

为什么要刘易斯系数等于1

它有什么便利呢

刘易斯数等于1

组分守恒的传质方程

和能量守恒的方程

二者就可以归一了

在施凡伯谢尔多维奇那一节

关联式 就是施凡伯谢尔多维奇表达式上

我们当时知道

热通量等于什么呢

等于负的kdT/dx

减去ρDdh/dx

第一项是热传导 导热引起的

显焓变化

第二项是组分扩散引起的

绝对焓变化

第三项是什么

组分扩散引起的显焓变化

也就是说组分扩散引起的

显焓变化和导热引起的显焓变化

这时就可以抵消了

这是刘易斯数等于1的好处

也就是说热通量就等于

ρDdh/dx

对方程的归一很重要

希望同学课下可以

对照方程仔细推一下

第六个是混合物的比热

还有热容 不受温度和

组分的控制

这时我们都知道

其实火焰前后温度变化很大

比热是有变化的

但是我们假设它是常数

第七个假设

燃料与氧化剂是一步放热反应

就是我们第四章第五章

学了那么多反应式

用这里不行 简化分析

分析不了那么多 多反应式那得详细分析

后面会讲

还有呢氧化剂和燃料

是在当量比

小于一的时候反应

就是过量空气的时候

是完全氧化的过程

前面我们这七个假设讲完了

这时就是我跟大家说的

虽然我们看到火焰

是类似于锥形的三角形的结构

但是它其实不是三角形

它很复杂我们前面求了

我们就在其中取一个

小的微元体

红色虚线的框

我们就在这个微元体里面

沿着

箭头指的方向

我们当做是x方向

然后我们把它取出来

我们就分析小的微元体里面的

温度的还有组分的变化

温度跃升 组分

反应物的组分是减少

变成了产物这个过程

这就是我们建模的对象

紧接着我们对这个对象呢

可以去建立它的组分

和能量的守恒方程

首先在所有的守恒方程里

我们都知道连续性方程

什么叫连续性方程

就是总质量守恒方程

就是ρvx 它是一个稳态的嘛

就没有时间导数项

ρvx是什么

是质量通量 偏x 它的导数

等于什么呢 等于0

也就是说什么呢

就是m点两撇就是总质量通量

ρvx等于一个恒定量

随着燃烧的历程发展

温度越来越高

根据理想气体状态方程

热力学的PρT三个量 温度越来越高

密度就会越来越小

但是它总质量通量不变

这个很有意思

ρ是会逐渐减小的

组分守恒方程

大家都知道也是稳态的

组分i它可以是反应物

也可以是产物

它的质量通量就是偏x

导数等于什么呢

等于mi三撇就是化学反应生成率

就是mw乘以ωi

根据菲克扩散定律

就是mi两撇dx它可以写成两项

对吧

第一项是它的对流项

就是m点两撇总通量乘以

一个Yi 对流项

然后减去ρDdYi/dx

浓度差那一项 就是

分子扩散那一项

所以这样我们把它

展开成两项

这样的话呢我们就可以写出来

一公斤的

就是一千克的燃料

ν千克的氧化剂

ν加1千克的产物

对于这些组分

我们就可以列三个方程

燃料的还是一样

第一项对流项

然后分子扩散的项

和它的化学反应项

同样对于氧化剂

也可以写

只不过是乘以ν

再乘以mf三撇

都是用mf

燃料的消耗量来当做基准

产物就是负的ν加1mf三撇

就这三个方程

但这三个方程其实是一个方程

为什么

它们是可以归一的

因为知道了mf的话

其它的那两个都可以

解出来

我们再看一下能量方程

能量方程我们在上一章呢

就取了一个积分式

积分式是什么呢

说明热容

和导热系数是

随着温度变化的

但是我们前面已经大胆的假设

近似一个恒定值

这时候我们就可以

把它

积分式去掉

第一项是什么呢

是对流的导热项

第二项是

是通过扩散的

就是导热项

和化学反应生成项

把化学反应生成项

写成mf三撇燃料那一项

乘以热值

然后第一项就是

对流

就是m点两撇

就是ρvxdT/dx对流项

减去kdT/dx

二阶导数

就等于

mf三撇乘以Δhc

那cp当然是从左边移过来的

这是能量方程

对于方程我们发现

它和前面的组分守恒方程

它们如果归一 条件是什么

我问一下同学

刘易斯数

刘易斯数等于什么

等于α除以D

就是k除以ρcp除以D

所以大家在学火焰的时候

一定要知道

α和D如果不一致

在火焰里面的学问就很大了

就说明什么呢

传热和传质的谁快谁慢的问题

对于一个火焰

我这时候给大家一个小的提示

如果传质快传热慢

那说明什么

在火焰区域的热散不出去

火焰那是高温区

组分就是氧化剂和燃料

又能传进来

在物理上去想

这种火焰好 稳定

如果它散热快

α大然后D小

就是组分

在火焰区

氧化剂和燃料还没有过来

热量就散出去了

那这种火焰就维持不住

所以这就能解释在生活中为什么

有的火焰很稳定

有的火焰就不稳定

就是α和D相对大小

所以刘易斯数很关键

这是我们去解释的物理理解

同时解释方程也一样

刘易斯数

一旦等于1

能量方程和

组分守恒的方程就归一了

就这一个方程

解了它就知道另一个

因为这两个方程的曲线

只要归一化之后

沿着x方向的变化的规律

是一样的

我相信大家在学流体力学

和传热学的时候都懂得这种归一

在这里我就不多讲了

当然了它也叫相似性

就是similarity

就是说两个方程是相似的

可以归成一个方程

我们的任务呢不要忘了

找到层流火焰速度

也就是火焰速度

火焰传播速度SL

我们都知道

火焰通量 在火焰面上

经过火焰面的质量通量

就是m点两撇等于ρu乘以SL

大家说对不对

如果时候火焰是驻定的

就是火焰面不移动

等号

就是成立的

火焰通量等于ρu乘以SL

所以这时候我们就可以得到

火焰速度乘以

未燃物密度之后

就是火焰通量

进一步我们就连立方程

既然能量方程和三个

组分方程是归一的

我们就只要用一个能量方程

就可以了

我们知道连立能量方程

和连续性方程

我们就可以求解

这个过程了

连续性方程

就是m点两撇

等于ρu未燃物的密度

ρu乘以SL

这是连续性方程的

一个等式

能量方程我们可以看到

如果对它的对流项 扩散项

和它的化学反应项进行求解

我们必须要给边界条件

在火焰区域

我们可以知道

在左边界

T就等于Tu unburned温度

dT/dx假设约等于0

右边也是

后面的温度

是接近于

绝热燃烧温度

dT/dx等于零

这样的话

我们

把这四个边界条件

就给确定了

当然了前面一部分

相对于火焰面

虽然火焰区域是有限的

但是相对于火焰面大小

可以把这边写成负无穷和正无穷

这也是相对值

这也是理解火焰的时候

一个很重要的点

下面再讲能量方程求解的时候

我们就想

能量方程我们对它进行积分

对吧

积分一下

积分左边就得到

对流项 就是

m点两撇ρuSL

就是unburned组分密度乘以速度

乘以T

T积分了之后呢

等于Tb然后减去

unburned组分温度

未燃的组分温度

然后第二项呢

原来是二阶导数

积分之后变成一阶导数

等于燃后的和燃前的作差

这两个我们都知道是等于零的

就是在δ处和0处

这两个梯度是等于零的

然后第三个呢

是它在过程中

发生的化学反应项的积分

就是把mf三撇沿着dx进行积分

这样的话

就可以得到一个值

我们可以把前面的式子代入

因为在0到δ区域积分的时候

这个总过程

0处和火焰厚度δ处梯度都等于零

这样话呢

就对于m点两撇Tb

减去Tu 就是燃后减去燃前的温度

后面就是负的Δhc除以cp

乘以负无穷到正无穷

就是从燃烧前到燃烧后的区域里边呢

mf三撇对dx积分

这个积分也很有学问

我们不妨想一想

dT/dx还等于什么

就是dT/dx呢

我们假设T是一个线性的分布

就是燃后温度减去燃前温度

除以火焰的区域厚度δ

这个斜率分布也是成立的

因为在这么高的温度内

可以近似成线性的

这样的话呢

dx就等于dT乘以δ

除以Tb减去Tu

就是把dx化成dT代进去了

我们这时候可以看到

原来的方程

在右边

是负的Δhcp

乘以δ除以后两个温度的差

转成了dT的

积分

这样的话

mf三撇的积分

是从未燃到燃后

Tu到Tb的积分的

这个积分我们在区间里

可以做一个平均值

就是积分完之后

除以Tb减Tu不就等于平均值吗

这样的话

可以用mf3撇的平均值来表示

所以0到δ区域

我们就得到这么一个方程

m点两撇

乘以Tb减Tu

这样0到δ区域

我们得到一个方程

左边是对流项

m点两撇Tb减Tu

等于什么呢

负的Δhc除以cp

乘以δ区域厚度

乘以mf三撇的

在整个区域的平均值

前面我们在0到δ区域

得到一个关联式

我们对火焰还是要想物理原理

才能建立模型

就是

我们发现化学反应是阿雷尼乌斯定律

阿雷尼乌斯定律是什么概念呢

它是跟温度相关

它跟温度是指数关系也就是温度

到后面越来越高

越来越高 反应越来越剧烈

就是真正的化学反应

发生在高温区

因为低温区比如常温

燃烧不起来

只有在高温的时候

才能燃烧起来

这是什么概念呢

真正的火焰区域的反应

是发生在后边

当年Spalding进行了大胆假设

在零到二分之一δ

就是前一半的区域内没有反应

在后一半的区域内

由于温度比较高发生反应

这个假设其实是挺有意义的

但它有近似性

真正的火焰

它还不能把

假设成这样

真正的反应区更小

有可能是在四分之三δ

到δ区域

因为后面温度越来越高

大部分反应是发生在那个段

所以Spalding

他无论如何做了一个很有意思的尝试

有了这个尝试我们就可以对

前面的方程进行积分

第一项还是我们讲的

对流项

就等于二分之一温度

Tb加Tu减去Tu

就是从二分之一处的温度去减

第二项

我们可以看

就不可以取消了

因为什么呢

在0处dT/dx等于0

但二分之一处的可不是

二分之一处的dT/dx

等于Tb减Tu除以δ

是这个值

但是0到二分之一δ区域

没有化学反应

温度太低反应可以忽略不计

所以只要把前两项

代进去

这两个式子代进去

就可以得到了

就是m点乘以二分之一δ

减去个k除以cp等于0

所以和第一个式子我们知道的

化学反应和对流项的关联

这样合在一起

我们再去想这两个式子

0到δ区域是什么呢

是对流项和反应的一个结合

而

0到二分之δ区域是什么呢

是对流项和扩散项的平衡

一个结合

所以这两个式子呢

把它们联合起来

约掉什么呢

先约掉δ

我们就能得到火焰通量

就是m点两撇

我们知道火焰通量

就知道了火焰速度

因为除以unburned组分的密度

就是ρu 就得到火焰速度

所以就得到了就是

火焰通量也就是火焰速度的

表达式

就这样一个式子

k除以cp方

负的Δhc除以Tb减Tu

然后在反应区域内的平均的

燃料

化学反应速率

我们还可以把火焰厚度

给求出来

进一步的Δhc

因为是1公斤燃料

ν公斤的空气

合起来是ν加1的产物

所以它最后是用在ν加1cp

去得到Tb的温度

就是所有的反应焓

都用来做什么呢

都用来得到的是

加热产物的显焓

就是化学能变成热能

然后把Δhc替换

最后我们就得到了

这么一个式子

就是火焰速度SL的表达式

就等于负的二α

然后乘以ν加1

mf三撇

就是燃料的化学反应消耗率

为什么有负号

因为mf三撇是负的

它是消耗的

就是化学反应的消耗率是质量的

就是mwf乘以ωf

除以unburned组分密度

最后二分之一次幂

同样的我们还可以把

δ求出来

因为知道了

火焰速度

有这两个式子

还可以把δ给求出来

火焰速度和火焰厚度

关联式还是挺有意思的

就是δ等于二α

除以SL 大家要理解这个式子

α是什么

α就是λ或者是

k

k除以ρcp

这里面有学问了

ρ是用的ρu unburned

k是用什么

cp用什么

它俩是用的平均数的温度下的值

所以这里面

也有很多学问

但是呢

从这个式子我们可以看到什么呢

假如说把SL移到δ那一边

α移过去

我们又得到了什么呢

火焰区域的贝克利数

贝克利数等于什么呢

速度乘以长度尺度

特征长度除以热的耗散率

这个贝克利数不是关于D(扩散）的

是关于热的

热贝克利数

等于二

它为什么等于二

这是因为Spalding

这个大师

他在当年

认为反应只发生在

二分之δ到δ的区域

就是后一半区域

但其实呢

这个比例

它可能会更小

就是也可能

在后四分之一

乃至后十分之一的区域

如果更高温高压反应就是这样的

那这时

贝克利数是多少呢

同学们底下可以推

这时贝克利数

就会越来越接近于1

越往后 区域越小的话

贝克利数就会越来越接近于1

所以这一点呢

告诉大家

贝克利数

通过详细分析能得到是多少

这时我们去理解

火焰贝克利数

贝克利数的物理意义是什么

我再问一下同学们

是对流的率

对流的通量除以扩散的通量

反过来 扩散的时间尺度

除以对流的时间尺度

它等于2或者接近于1

这最后说明什么呢

它都说明对火焰

不论是2还是1

它的数值都是在1的量纲上

这说明什么

火焰区域

是一个对流与扩散相当的区域

这是火焰厚度

定义中的一点

大家要在物理上

在大脑里理解它的关键

火焰区域是对流和扩散相当的

就是它们两个

无论谁和化学反应去比都没有问题

因为它们两个是相当的

所以有的同学就问

后面我们在理解火焰的时候

就讲火焰邓克尔数

就是化学反应项比上对流项

还有的是比上扩散项

在别的化学反应里

如果它俩不相当的时候

是以

时间小的

就是扩散和对流

谁的时间小

谁就可以跟化学反应去比

而它俩相当的时候

谁去比都是一样的

这是从物理上理解

反应流的根本

我们这节课就讲到这里