当前课程知识点:燃烧理论 > 第七章 反应流的简化守恒方程 > 7.4 动量守恒方程(选修) > 7.4 动量守恒方程(选修)
在讲完了总质量守恒
和组分质量守恒方程后
我们接下来讲动量守恒方程
而动量守恒方程呢
我们可以用这样讲的思路
先讲一维的 比较简单
然后再把它拓展到二维
同学们以后
对三维啊
也就很容易去拓展了
一维稳态稳定流动
也就是steady state steady flow
它的动量传递方程
物理意义是什么呢
它就讲了在同一个方向上
控制容积体
就是control volume
它所受的力的总和
作用力∑F等于
它动量的净变化率
这个∑F呢
在一维上呢我们可以看这张图
一维只有压力
没有切应力
和黏性应力
这个根据流体力学我们都知道
所以它的方程比较好写
请看这个式子
它是在x位置的压力
乘以面积
减去x+Δx处的
这是为什么呢
我们对控制容积体
给一个方向指向
我们可以发现
压力对于
任何一种形状的物体
指向都是往内指的
所以根据这个方向
就是正好x处呢
x处压力是正的方向
x+Δx处
我们可以看这个细节
它是负的方向
所以是P压力乘面积
x减x+Δx
这就是
红框里面方程的左边
然后呢右边的话呢
根据x指向是
x+Δx减去x处的m点
就是质量流率乘以它的速度
同学们问
m乘v是动量
m点和m什么关系 m是质量
m点是质量流率
右边其实就是指的动量净变化率
动量变化率
这样的话呢
我们把这个式子
做一个微分
式子的左边就是
负的dP/dx
右边呢就是
m点两撇 A都约掉了
dvx/dx
m点两撇 我问同学们是什么呢
就是ρvx
质量通量除以密度
就是它的速度
速度就是体积通量
这个方程这时同学们问
它是什么方程呢
压力项
和速度项的这个方程啊
它是欧拉方程
我们可以把它写成
ρvx dvx/dx这个形式
莱昂哈德 欧拉这个人
他在十八世纪的时候
提出来这个式子
我们都知道欧拉方程
它的作用是什么呢
我们在第六章讲过
柱塞流反应器没有
是不是用这个方程
大家回答一下
还有一个在我们生活中的例子
比较好的
假如说
我们在一个炉膛旁边
开了一个口
炉膛是负压
这里漏风量能预测吗
根据压差
dp/dx
我们就可以求出它的速度
然后乘以面积
再乘以密度就是它的漏风量
同学以后
就可以活学活用
此外呢在第八章中的
这个一维层流
预混火焰里面
还有第九章的
液滴燃烧里面
我们都假设
火焰区内的动量变化
动能变化很小
也就是说ρvx dv/dx
vx dvx/dx这一项十分小
那说明呢
这时我问大家
火焰区的压力呢
那当然了
欧拉方程在这摆着呢
ρvx dvx/dx小的话
那压力当然梯度也很小
所以压力也基本上恒定
在讲完一维的时候
下面我们就讲二维的
动量守恒方程
为什么
我们对二维这么重视呢
请看这张图
这是一个火焰的
燃烧的图
从喷管内喷出来流体
形成了火焰
几乎所有的圆管射流火焰都是二维的
它在燃烧工程中
是有更广泛的应用
因此呢我们对二维的形式感兴趣
特别是它是一个轴对称的方程
但是我们都知道
我们学过微积分
轴对称它比较难理解
它不如笛卡尔直角坐标
直角坐标比较简单
所以呢我们先用一个
笛卡尔的直角坐标系来推导
把这个方程通过坐标转换
换到柱坐标方程里
这是我们教学的思路
同学们要注意到这一点
下面我们就开始讲一个
直角坐标系 我们都知道
速度是三个方向
虽然我们的授课
只讲了x方向
大家也知道
它可以推广到y z 是一样的
只是最后速度那一项
变化一下而已
所以呢在教学中
我们只以x方向
来作为一个我们讲授的要点
下面对二维的
动量守恒方程
它也是要有受力
还要有动量变化率
受力请看这个
受力示意图
这个受力示意图
跟一维的
只有压力
两边都往内指的压力图啊
比起来复杂多了
为什么呢
压力是一种push
就是对这个物体
压迫的力
而黏性力是一个阻止的力
就是我这个微元有粘性
流体的黏性
让你那个微元不那么容易的
对我作用
就是一个反抗的力
我们都知道
在这里面呢
它的应力
就是黏性应力
来自于流体的黏性
它用τ来表示
我们都知道
它既有τxx
也有τyx
也有τyy
这个τxx是什么意思呢
对于这种应力
我给同学一个小窍门
这个xx或者yx下标
第一个下标指的是什么呢
第一个下标是指的应力作用面的法向
比如说就作用在这个面上
这个面的法向量
比如这个面
那它的法向就是x嘛
如果这个面是这样的呢
那这个法向就是y
所以这个面是这样的话
法向就是y
大家可以看
然后x是平行于我们的左右这个方向
τyx顾名思义就是什么呢
是作用在
以y为法向的面上的
应力
是沿着x方向的应力
它肯定就是个切应力
τyy呢 就是作用在
这个面上
沿着y方向的应力
那就是个正应力
所以我们现在只讲x方向的
因为
第一个角标是面
第二个是力的指向
所以我们可以看
在x向的受力上
只有τxx τyx
这样的话呢
没有τyy
它是y方向的
因为第二个角标是y
是y方向的
所以看方程的这个红色的左边
τxx x+Δx减x处
乘以Δy 控制容积体的长度
1是什么 1是它的厚度
是垂直于这个面方向的厚度
然后呢它加上什么呢
还有一个切应力
τyx
在y+Δy处
和y处的差
乘以Δx
这是正应力 侧切应力
它都是一个黏性力的两个分量
这点同学们要记住
它还有压力
就是px减px+Δx
乘以Δy乘以
它的单位厚度1
还有呢它有体积力
体积力就是
Δx乘以Δy乘以1 ρ
再乘以体积力的表示形式
gx g就是它的表示形式
这是全部的受力
前面我们把受力图分析完了
我们再看动量变化率的
这张图
大家可以看
在读这个图的时候
我们一定要想
ρvx vx 这是什么意思呢
第一个ρvx是质量通量
它不是速度
它是质量通量
它指的是物质的质量
第二个vx呢
是它的速度
它俩合到一起就是
m点两撇
乘以vx 就是单位面积的
它的动量变化率
然后呢乘以面积
就是它的动量变化率
所以再看 这时
x方向
两个比较容易理解
ρvx vx
ρvx vx在x+Δx处减去x处
减去x处
这个都容易理解
但是第二项有的同学就不理解
他说老师怎么还有ρvy
然后再乘以vx呢
是的
因为这个控制容积体是方的
还有一部分是从y的方向
流到控制容积体的
质量流
但是呢 它的速度既有y向
也有x向
所以这个地方ρvy是它的质量
再乘以它的速度分量vx
所以这一项是十分重要的
是至关重要的
在动量传递方程内
很多同学理解不了这一项
所以希望大家可以看到
这个方程内
这两项的贡献
它是两个差值
对于上述方程
细节我就不再给大家推导
我们对它微分之后
就得到了
稳态稳定流动的x方向
和y方向的两个方程
x方向的方程是什么呢
我们可以看是
ρvx vx 偏x
ρvy vx 偏y
这是它的动量变化率
然后等于后面的
切应力和压力的总和
然后切应力
它是由两项
就是偏τxx是偏x的
偏τyx是偏y的
这个时候大家一定要知道
为什么第一个角标是x 和x对应求偏导
第一个角标是y 和y对应求偏导
这里面是流体力学的技巧
压力大家都知道
它是各向同性的
它不像应力是一个张量
同样地y方向也是一样
我们可以看
x方向和y方向
是有技巧的
动量变化率
y方向它肯定vy是放在后面
因为它是速度
ρvx ρvy
都是进了控制容积体内的
质量通量
我这样一说大家就理解了
就是把ρvx ρvy
看成第一项 是当做质量通量是m
就是m点两撇
应力也是一样的
然后我们就得到y方向的方程
把二维
拓展到三维呢
那它的切应力比较复杂
τij等于什么呢
流体力学你们学过吗
有些同学还记得吗
上面是它的表达式
λ减去三分之二μ
λ是什么
体相黏度
μ是咱们说的动力黏度
动力黏度除以密度是什么
运动黏度
所以这是它的张量的
表达式的细节
第二项是切应力
同学背这个方程就很难
但是我们从二维的来说
这个东西
它的物理意义是什么
首先τxx
它的第二项是
二倍的μ偏vx 偏x
就是什么
x方向速度沿着x求偏导
是normal正应力
这个很容易理解
就是它的正应力
它不是切应力它是正应力
而第一项这个时候
就是τxx是什么呢
这是如果流体是可压的时候
流体是可压的
它带来的那一项
多的一项
但流体不可压的时候
像水 这一项就等于0
大家思考一下为什么
可压的时候在这里就
多了这一项
τxy就很简单了
它就是速度vx偏y vy 偏x
这就是我们讲的shear stress
切应力
shear rate shear stress
特别是shear stress 有这个概念
只要一求shear 就是什么呢
正好两个速度
就是x方向对y求偏导
y方向对x求偏导
这是以后
理解任何shear的根本
这个时候同学就问
老师你讲传质的时候
有对流项 有扩散项
那流体是对应的什么呢
这个问题很好
ρvx vx 偏x这一部分
就是它的对流项
而这个τ切应力和正应力
这个τxx τyx
带来的就恰恰是它的
扩散项 为什么
我们推导一下
假如说体相黏度等于0
没有λ 只有动力黏度
τxx 这一项给出来了
τyx这一项也给出来了
所以我们把它给代进去
只有当它是
不可压缩流体的时候
什么意思呢
就是第一项
三分之二μ乘以散度v
散度v就等于零了
τxx就是二倍的μ
就是动力黏度
乘以它的
x方向速度偏x导数
就是最简单的正应力
把这个代进去之后
我们就得到
一个特别有意思的式子
左边可以把ρvx当作一项
vx是一项 两次微分
微分完之后
就有一个很有意思的东西
就是一个vx乘以
一个连续性方程
连续性方程消掉
第二项留下来就是
ρvx偏vx偏x
ρvy偏vx偏y
ρvz偏vx偏z 这个方程
这是在左边
这就是它的对流项 简化了
右边就更有意思了
就得到了一个黏度的
所有的
vx的对xyz的
二阶导数它们的和
所以就得到了一个
偏vx在xyz三个方向的
二阶导数的
的和还有压力
所以后面这一项
我们就觉得很有意思
因为什么呢
它跟我们过去学的传热的
温度偏xyz的导数
还有Yi质量分数
是十分相似的
而这个只有在
不可压缩流体里面
才能假设这个
我们对简化的对流项
左边简化了
右边的黏性项
已经变成了黏度
和关于位置的
二阶导数
也就是它的散度
这样的话
它比我们的
组分方程
我问一下同学多了什么呢
多了压力项和
ρg的体相力
但其它的那两项都有
还少了什么呢
跟组分守恒方程比
少了化学反应项
这个很有意思
然后我们还是对它
做一个无量纲分析
像组分守恒方程一样
我们做动量守恒方程的
无量纲
这个量纲其实说白了
就是直接比值
比如说对流项
也就是流体的惯性项
ρvx偏vx偏x这一项
它和扩散项
就是黏度那一项
直接去比值
然后把它的
量纲取出来
把不是量纲的
无量纲的因数消掉
约掉 只留量纲
比如举个例子
我们可以在这儿具体聊一下
就是惯性项的量纲
除了ρ之外
就是V0方除以L0
这个V方提出来
而扩散项的量纲是V0方
乘以运动黏度
也就是动力黏度
除以一个ρ
再除以L0平方
当然这里也可以乘一个ρ
都乘一个ρ
这就更可以 多一项
最后我们这样除出来
大家可以知道惯性项
除以黏性项
也就是对流项除以扩散项
动量方程内
最后是什么数呢
这就是咱们学习的雷诺数
所以雷诺数
是和贝克利数可以比拟的
无非贝克利数分母
是用的扩散系数D
而雷诺数它用的是
是运动黏度μ
所以这一部分是这样的
另外一个呢
我们还可以再比一个值
就是重力项
和惯性项比
重力项是g
惯性项
速度的平方除以L0
和重力项的比值
这就是Froude Number
还有一个比较意思的东西
静压用ΔP
除以ρV0方
就是属于这里乘个ρV0方
因为这个ΔP这一块
也有一个P除以一个L
一约掉
就是ΔP除以一个ρV0方
是什么
Euler Number
所以无量纲的推导
是很有意思的
它就能在量上比出来
这一项还有这一项哪个小
假如说它们的量级
都差一千倍
那方程怎么再演变
也补不回来
所以说高雷诺数的时候
这个方程的意义是什么
高雷诺数就是
黏度这一项就可以不要
那低雷诺数呢
就前面这三项
惯性项比较小
不值得一谈
那么就只有
压力项和黏度项
就是右边的
第一项那三个
和压力第二项
我问一下同学
这个方程叫什么呢
流体力学你们学过吗
这个就是所谓的
poiseuille 流型
大家回去
有兴趣可以查查流体力学
前面我们讲完了
笛卡尔坐标系下的
动量守恒方程
通过一个坐标转换
我们把它转到柱坐标系下
这个也不是很难
就是在括号里面
都把那个r给乘上就可以了
上面是一个
关于x方向的方程
它的x方向就是
沿着这个火焰
往上的那个方向
是喷口管口喷出方向
还有一个R方向的
下面这个方程
这两个守恒方程
分别是
前面的是惯性项
也就是对流项
右面第一项
是它的黏性项
同样的在柱坐标系下
我们也可以
用矢量的方法
把τxx τrr和τrx分别给求出来
这个τrx切应力
发现不受坐标系的影响
就是偏x偏r
没有括号里面的二分之一
这是动量传递方程的一个
很有意思的地方
然后τxx和τrr
我们也可以看
都是2倍的
x方向的速度
求x方向的梯度
R方向的速度
求R方向的梯度
然后减去三分之二倍的
这个别忘了
这个是三分之二倍的
这个倒三角点乘V就是
它的散度
这个时候它的divergence
就是散度的英文
它是什么意思呢
当它是不可压缩流体的时候
这一项
还用考虑吗
不可压缩流体
散度就等于零
可压缩流体 这一项
不能忽略
然后这样的话
我们就把它代到
上面的方程里面
但是我们为了求
我们火焰所用的方程
我们有两个小技巧
这两个小技巧
也就是这个法门
就是代到这个式子用的
我希望大家能记住
第一个就是不论什么
偏r的导数
都远远大于偏x的导数
为什么呢
这个喷管就限制了
r很短l很长
所以偏r方向
就远远大于偏x
所以通过这一点
我们就可以知道
就是第一项 黏性力的项
就是r乘以一个τrx偏r
要远远大于第二项
就是τxx偏x
那一项
就是τxx偏x那一项
所以第二项就可以约掉
但第一项呢
它展开之后
还是有两项
为什么呢
τrx是有两项
是速度r偏x
速度x偏r
那这两项里面
我们明显的可以看出来
就是偏r的那一项很大
它两个方面使它大
所以至少是两个量纲
这样的话
我们就可以把这一项
就是黏性应力
可以简化到
只有
偏vx偏r那一项
所以看到这一个方程内
左边比较简单
那个我们就不说了
右边就是一个
偏vx偏r的二阶导数
这个跟我们的
笛卡尔坐标系很像
而对于射流中的
任意轴向位置的压力
它等于同样的
轴向位置上
环境流体的压力
这样我们就可以认为
轴向动量的那个方程中的
压差
就等于环境流体的
流体动力学的压力梯度
所以偏P偏x
最后等于
负的ρ无穷
乘以一个g
这是一个近似
这个近似在燃料学
也十分的重要
通过这个近似
代进去之后
我们就得到了
下面这个方程
我们把
体相力写成是ρ无穷
减去ρ再乘以g这一项
再来关注一下这个方程
左边两项
是它的惯性项
也就是它的对流项
右面是一个偏vx偏r的
二阶导数
和一个折合的
体相力
就是无穷远处的
环境的密度
和实际的密度差
乘以一个g
这个式子是火焰学中
常用的一个式子
最后谢谢大家
-1.1 我们为什么要学习燃烧理论
-1.2 什么是燃烧:定义与现象
-1.3 燃烧科学发展简史
-1.4 燃烧科学的研究方法
-1.5 课程的结构
-2.1 概述
--概述
-2.2 状态参数复习
--状态参数复习
-2.3 热力学第一定律
--热力学第一定律
-2.4 反应物和生成物的混合物
--燃烧焓与热值
--例题
-2.5 绝热燃烧温度
--定压绝热燃烧温度
--定容绝热燃烧温度
-2.6 化学平衡
--第二定律的讨论
--吉布斯函数
--复杂系统(选修)
-2.7 燃烧的平衡产物
--全平衡(选修)
--水煤气反应的平衡
--压力影响
-2.8 应用
--例题
--烟气再循环
-2.9 小结
--小结
-第二章 燃烧与热化学--第二章作业
-3.1 传质概述
-3.2 传质理论基础
-3.3 传质应用实例
-3.4 小结
-第三章 传质引论--第三章作业
-4.1 概述
--概述
-4.2 总包反应与基元反应
-4.3 基元反应速率
--其他基元反应
-4.4 多步反应机理的反应速率
--净生成率
--稳态近似
--单分子反应机理
--部分平衡
-4.5 简化机理(选修)
--简化机理(选修)
-4.6 催化和非均相反应(选修)
-4.7 小结
--小结
-第四章 化学动力学--第四章作业
-5.1 概述
--概述
-5.2 H2-O2系统
--H2-O2系统
-5.3 一氧化碳的氧化
--一氧化碳的氧化
-5.4 高链烷烃的氧化
--三步机理
--八步机理
-5.5 甲烷燃烧
--复杂机理和起源
--甲烷燃烧动力学
--高温反应途径分析
--低温反应途径分析
-5.6 氮氧化物
--氮氧化物的危害
-5.7 小结
--小结
-第五章 一些重要的化学机理--第五章作业
-6.1 概述
--6.1 概述
-6.2 定压-定质量反应器
-6.3 定容-定质量反应器
-6.4 全混流反应器
-6.5 柱塞流反应器
-6.6 燃烧系统建模中的应用及小结
-第六章 反应系统化学与热分析的耦合--第六章作业
-7.1 概述和总质量守恒
-7.2 组分质量守恒
-7.3 多组分扩散(选修)
-7.4 动量守恒方程(选修)
-7.5 能量守恒方程-质量通量表达形式
-7.6 守恒标量的概念-混合物分数定义
-第七章 反应流的简化守恒方程--第七章作业
-8.1 概述及物理描述
-8.2 层流火焰分析
-8.3 影响火焰速度和火焰厚度的因素
-8.4 熄火、可燃性和点火
-8.5 火焰稳定及小结
-第八章 层流预混火焰--第八章作业
-9.1 概述
--概述
-9.2 无反应的恒定密度层流射流
--物理描述
--求解
--两个例子
-9.3 射流火焰的物理描述
-9.4 简化理论描述
--概述
--守恒标量
--状态关系式
-9.5 不同几何形状燃烧器的火焰长度
--两个例子
-9.6 碳烟的形成和分解
--碳烟的形成和分解
-9.7 对冲火焰(选修)
--对冲火焰(选修)
-9.8 小结
--小结
-第九章 层流非预混火焰--第九章作业
-10.1 概述
--概述
-10.2 液滴蒸发的简单模型
--基本假设
--气相分析
--气液界面能量平衡
--液滴寿命
-10.3 液滴燃烧的简化模型
--假设
--温度分布
--液滴表面能量守恒
--火焰面处能量守恒
--例题
--扩展到对流条件
-10.4 一维蒸发控制燃烧
--物理模型和假设
--总守恒方程
--例题
-10.5 小结
--小结
-第十章 液滴的蒸发与燃烧--第十章作业
-11.1 概述及燃煤锅炉
-11.2 非均相反应
-11.3 单颗粒碳的燃烧-单膜模型
-11.4 单颗粒碳的燃烧-双膜模型
-11.5 颗粒燃烧速度
-11.6 煤的热解及燃烧
-第十一章 固体燃烧--第十一章作业
-12.1 概述
--概述
-12.2 湍流现象与描述
--湍流的现象与描述
-12.3 湍流尺度
--湍流尺度
-12.4 湍流模型
-12.5 湍流预混火焰
--湍流火焰速度
--层流火焰折皱模式
--火焰稳定
-12.6 湍流非预混火焰
--射流火焰
--火焰长度
-12.7 湍流燃烧小结
--湍流燃烧小结
-课程总结
--课程总结