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7.4 动量守恒方程(选修)在线视频

7.4 动量守恒方程(选修)

下一节:7.5 能量守恒方程-质量通量表达形式

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7.4 动量守恒方程(选修)课程教案、知识点、字幕

在讲完了总质量守恒

和组分质量守恒方程后

我们接下来讲动量守恒方程

而动量守恒方程呢

我们可以用这样讲的思路

先讲一维的 比较简单

然后再把它拓展到二维

同学们以后

对三维啊

也就很容易去拓展了

一维稳态稳定流动

也就是steady state steady flow

它的动量传递方程

物理意义是什么呢

它就讲了在同一个方向上

控制容积体

就是control volume

它所受的力的总和

作用力∑F等于

它动量的净变化率

这个∑F呢

在一维上呢我们可以看这张图

一维只有压力

没有切应力

和黏性应力

这个根据流体力学我们都知道

所以它的方程比较好写

请看这个式子

它是在x位置的压力

乘以面积

减去x+Δx处的

这是为什么呢

我们对控制容积体

给一个方向指向

我们可以发现

压力对于

任何一种形状的物体

指向都是往内指的

所以根据这个方向

就是正好x处呢

x处压力是正的方向

x+Δx处

我们可以看这个细节

它是负的方向

所以是P压力乘面积

x减x+Δx

这就是

红框里面方程的左边

然后呢右边的话呢

根据x指向是

x+Δx减去x处的m点

就是质量流率乘以它的速度

同学们问

m乘v是动量

m点和m什么关系 m是质量

m点是质量流率

右边其实就是指的动量净变化率

动量变化率

这样的话呢

我们把这个式子

做一个微分

式子的左边就是

负的dP/dx

右边呢就是

m点两撇 A都约掉了

dvx/dx

m点两撇 我问同学们是什么呢

就是ρvx

质量通量除以密度

就是它的速度

速度就是体积通量

这个方程这时同学们问

它是什么方程呢

压力项

和速度项的这个方程啊

它是欧拉方程

我们可以把它写成

ρvx dvx/dx这个形式

莱昂哈德 欧拉这个人

他在十八世纪的时候

提出来这个式子

我们都知道欧拉方程

它的作用是什么呢

我们在第六章讲过

柱塞流反应器没有

是不是用这个方程

大家回答一下

还有一个在我们生活中的例子

比较好的

假如说

我们在一个炉膛旁边

开了一个口

炉膛是负压

这里漏风量能预测吗

根据压差

dp/dx

我们就可以求出它的速度

然后乘以面积

再乘以密度就是它的漏风量

同学以后

就可以活学活用

此外呢在第八章中的

这个一维层流

预混火焰里面

还有第九章的

液滴燃烧里面

我们都假设

火焰区内的动量变化

动能变化很小

也就是说ρvx dv/dx

vx dvx/dx这一项十分小

那说明呢

这时我问大家

火焰区的压力呢

那当然了

欧拉方程在这摆着呢

ρvx dvx/dx小的话

那压力当然梯度也很小

所以压力也基本上恒定

在讲完一维的时候

下面我们就讲二维的

动量守恒方程

为什么

我们对二维这么重视呢

请看这张图

这是一个火焰的

燃烧的图

从喷管内喷出来流体

形成了火焰

几乎所有的圆管射流火焰都是二维的

它在燃烧工程中

是有更广泛的应用

因此呢我们对二维的形式感兴趣

特别是它是一个轴对称的方程

但是我们都知道

我们学过微积分

轴对称它比较难理解

它不如笛卡尔直角坐标

直角坐标比较简单

所以呢我们先用一个

笛卡尔的直角坐标系来推导

把这个方程通过坐标转换

换到柱坐标方程里

这是我们教学的思路

同学们要注意到这一点

下面我们就开始讲一个

直角坐标系 我们都知道

速度是三个方向

虽然我们的授课

只讲了x方向

大家也知道

它可以推广到y z 是一样的

只是最后速度那一项

变化一下而已

所以呢在教学中

我们只以x方向

来作为一个我们讲授的要点

下面对二维的

动量守恒方程

它也是要有受力

还要有动量变化率

受力请看这个

受力示意图

这个受力示意图

跟一维的

只有压力

两边都往内指的压力图啊

比起来复杂多了

为什么呢

压力是一种push

就是对这个物体

压迫的力

而黏性力是一个阻止的力

就是我这个微元有粘性

流体的黏性

让你那个微元不那么容易的

对我作用

就是一个反抗的力

我们都知道

在这里面呢

它的应力

就是黏性应力

来自于流体的黏性

它用τ来表示

我们都知道

它既有τxx

也有τyx

也有τyy

这个τxx是什么意思呢

对于这种应力

我给同学一个小窍门

这个xx或者yx下标

第一个下标指的是什么呢

第一个下标是指的应力作用面的法向

比如说就作用在这个面上

这个面的法向量

比如这个面

那它的法向就是x嘛

如果这个面是这样的呢

那这个法向就是y

所以这个面是这样的话

法向就是y

大家可以看

然后x是平行于我们的左右这个方向

τyx顾名思义就是什么呢

是作用在

以y为法向的面上的

应力

是沿着x方向的应力

它肯定就是个切应力

τyy呢 就是作用在

这个面上

沿着y方向的应力

那就是个正应力

所以我们现在只讲x方向的

因为

第一个角标是面

第二个是力的指向

所以我们可以看

在x向的受力上

只有τxx τyx

这样的话呢

没有τyy

它是y方向的

因为第二个角标是y

是y方向的

所以看方程的这个红色的左边

τxx x+Δx减x处

乘以Δy 控制容积体的长度

1是什么 1是它的厚度

是垂直于这个面方向的厚度

然后呢它加上什么呢

还有一个切应力

τyx

在y+Δy处

和y处的差

乘以Δx

这是正应力 侧切应力

它都是一个黏性力的两个分量

这点同学们要记住

它还有压力

就是px减px+Δx

乘以Δy乘以

它的单位厚度1

还有呢它有体积力

体积力就是

Δx乘以Δy乘以1 ρ

再乘以体积力的表示形式

gx g就是它的表示形式

这是全部的受力

前面我们把受力图分析完了

我们再看动量变化率的

这张图

大家可以看

在读这个图的时候

我们一定要想

ρvx vx 这是什么意思呢

第一个ρvx是质量通量

它不是速度

它是质量通量

它指的是物质的质量

第二个vx呢

是它的速度

它俩合到一起就是

m点两撇

乘以vx 就是单位面积的

它的动量变化率

然后呢乘以面积

就是它的动量变化率

所以再看 这时

x方向

两个比较容易理解

ρvx vx

ρvx vx在x+Δx处减去x处

减去x处

这个都容易理解

但是第二项有的同学就不理解

他说老师怎么还有ρvy

然后再乘以vx呢

是的

因为这个控制容积体是方的

还有一部分是从y的方向

流到控制容积体的

质量流

但是呢 它的速度既有y向

也有x向

所以这个地方ρvy是它的质量

再乘以它的速度分量vx

所以这一项是十分重要的

是至关重要的

在动量传递方程内

很多同学理解不了这一项

所以希望大家可以看到

这个方程内

这两项的贡献

它是两个差值

对于上述方程

细节我就不再给大家推导

我们对它微分之后

就得到了

稳态稳定流动的x方向

和y方向的两个方程

x方向的方程是什么呢

我们可以看是

ρvx vx 偏x

ρvy vx 偏y

这是它的动量变化率

然后等于后面的

切应力和压力的总和

然后切应力

它是由两项

就是偏τxx是偏x的

偏τyx是偏y的

这个时候大家一定要知道

为什么第一个角标是x 和x对应求偏导

第一个角标是y 和y对应求偏导

这里面是流体力学的技巧

压力大家都知道

它是各向同性的

它不像应力是一个张量

同样地y方向也是一样

我们可以看

x方向和y方向

是有技巧的

动量变化率

y方向它肯定vy是放在后面

因为它是速度

ρvx ρvy

都是进了控制容积体内的

质量通量

我这样一说大家就理解了

就是把ρvx ρvy

看成第一项 是当做质量通量是m

就是m点两撇

应力也是一样的

然后我们就得到y方向的方程

把二维

拓展到三维呢

那它的切应力比较复杂

τij等于什么呢

流体力学你们学过吗

有些同学还记得吗

上面是它的表达式

λ减去三分之二μ

λ是什么

体相黏度

μ是咱们说的动力黏度

动力黏度除以密度是什么

运动黏度

所以这是它的张量的

表达式的细节

第二项是切应力

同学背这个方程就很难

但是我们从二维的来说

这个东西

它的物理意义是什么

首先τxx

它的第二项是

二倍的μ偏vx 偏x

就是什么

x方向速度沿着x求偏导

是normal正应力

这个很容易理解

就是它的正应力

它不是切应力它是正应力

而第一项这个时候

就是τxx是什么呢

这是如果流体是可压的时候

流体是可压的

它带来的那一项

多的一项

但流体不可压的时候

像水 这一项就等于0

大家思考一下为什么

可压的时候在这里就

多了这一项

τxy就很简单了

它就是速度vx偏y vy 偏x

这就是我们讲的shear stress

切应力

shear rate shear stress

特别是shear stress 有这个概念

只要一求shear 就是什么呢

正好两个速度

就是x方向对y求偏导

y方向对x求偏导

这是以后

理解任何shear的根本

这个时候同学就问

老师你讲传质的时候

有对流项 有扩散项

那流体是对应的什么呢

这个问题很好

ρvx vx 偏x这一部分

就是它的对流项

而这个τ切应力和正应力

这个τxx τyx

带来的就恰恰是它的

扩散项 为什么

我们推导一下

假如说体相黏度等于0

没有λ 只有动力黏度

τxx 这一项给出来了

τyx这一项也给出来了

所以我们把它给代进去

只有当它是

不可压缩流体的时候

什么意思呢

就是第一项

三分之二μ乘以散度v

散度v就等于零了

τxx就是二倍的μ

就是动力黏度

乘以它的

x方向速度偏x导数

就是最简单的正应力

把这个代进去之后

我们就得到

一个特别有意思的式子

左边可以把ρvx当作一项

vx是一项 两次微分

微分完之后

就有一个很有意思的东西

就是一个vx乘以

一个连续性方程

连续性方程消掉

第二项留下来就是

ρvx偏vx偏x

ρvy偏vx偏y

ρvz偏vx偏z 这个方程

这是在左边

这就是它的对流项 简化了

右边就更有意思了

就得到了一个黏度的

所有的

vx的对xyz的

二阶导数它们的和

所以就得到了一个

偏vx在xyz三个方向的

二阶导数的

的和还有压力

所以后面这一项

我们就觉得很有意思

因为什么呢

它跟我们过去学的传热的

温度偏xyz的导数

还有Yi质量分数

是十分相似的

而这个只有在

不可压缩流体里面

才能假设这个

我们对简化的对流项

左边简化了

右边的黏性项

已经变成了黏度

和关于位置的

二阶导数

也就是它的散度

这样的话

它比我们的

组分方程

我问一下同学多了什么呢

多了压力项和

ρg的体相力

但其它的那两项都有

还少了什么呢

跟组分守恒方程比

少了化学反应项

这个很有意思

然后我们还是对它

做一个无量纲分析

像组分守恒方程一样

我们做动量守恒方程的

无量纲

这个量纲其实说白了

就是直接比值

比如说对流项

也就是流体的惯性项

ρvx偏vx偏x这一项

它和扩散项

就是黏度那一项

直接去比值

然后把它的

量纲取出来

把不是量纲的

无量纲的因数消掉

约掉 只留量纲

比如举个例子

我们可以在这儿具体聊一下

就是惯性项的量纲

除了ρ之外

就是V0方除以L0

这个V方提出来

而扩散项的量纲是V0方

乘以运动黏度

也就是动力黏度

除以一个ρ

再除以L0平方

当然这里也可以乘一个ρ

都乘一个ρ

这就更可以 多一项

最后我们这样除出来

大家可以知道惯性项

除以黏性项

也就是对流项除以扩散项

动量方程内

最后是什么数呢

这就是咱们学习的雷诺数

所以雷诺数

是和贝克利数可以比拟的

无非贝克利数分母

是用的扩散系数D

而雷诺数它用的是

是运动黏度μ

所以这一部分是这样的

另外一个呢

我们还可以再比一个值

就是重力项

和惯性项比

重力项是g

惯性项

速度的平方除以L0

和重力项的比值

这就是Froude Number

还有一个比较意思的东西

静压用ΔP

除以ρV0方

就是属于这里乘个ρV0方

因为这个ΔP这一块

也有一个P除以一个L

一约掉

就是ΔP除以一个ρV0方

是什么

Euler Number

所以无量纲的推导

是很有意思的

它就能在量上比出来

这一项还有这一项哪个小

假如说它们的量级

都差一千倍

那方程怎么再演变

也补不回来

所以说高雷诺数的时候

这个方程的意义是什么

高雷诺数就是

黏度这一项就可以不要

那低雷诺数呢

就前面这三项

惯性项比较小

不值得一谈

那么就只有

压力项和黏度项

就是右边的

第一项那三个

和压力第二项

我问一下同学

这个方程叫什么呢

流体力学你们学过吗

这个就是所谓的

poiseuille 流型

大家回去

有兴趣可以查查流体力学

前面我们讲完了

笛卡尔坐标系下的

动量守恒方程

通过一个坐标转换

我们把它转到柱坐标系下

这个也不是很难

就是在括号里面

都把那个r给乘上就可以了

上面是一个

关于x方向的方程

它的x方向就是

沿着这个火焰

往上的那个方向

是喷口管口喷出方向

还有一个R方向的

下面这个方程

这两个守恒方程

分别是

前面的是惯性项

也就是对流项

右面第一项

是它的黏性项

同样的在柱坐标系下

我们也可以

用矢量的方法

把τxx τrr和τrx分别给求出来

这个τrx切应力

发现不受坐标系的影响

就是偏x偏r

没有括号里面的二分之一

这是动量传递方程的一个

很有意思的地方

然后τxx和τrr

我们也可以看

都是2倍的

x方向的速度

求x方向的梯度

R方向的速度

求R方向的梯度

然后减去三分之二倍的

这个别忘了

这个是三分之二倍的

这个倒三角点乘V就是

它的散度

这个时候它的divergence

就是散度的英文

它是什么意思呢

当它是不可压缩流体的时候

这一项

还用考虑吗

不可压缩流体

散度就等于零

可压缩流体 这一项

不能忽略

然后这样的话

我们就把它代到

上面的方程里面

但是我们为了求

我们火焰所用的方程

我们有两个小技巧

这两个小技巧

也就是这个法门

就是代到这个式子用的

我希望大家能记住

第一个就是不论什么

偏r的导数

都远远大于偏x的导数

为什么呢

这个喷管就限制了

r很短l很长

所以偏r方向

就远远大于偏x

所以通过这一点

我们就可以知道

就是第一项 黏性力的项

就是r乘以一个τrx偏r

要远远大于第二项

就是τxx偏x

那一项

就是τxx偏x那一项

所以第二项就可以约掉

但第一项呢

它展开之后

还是有两项

为什么呢

τrx是有两项

是速度r偏x

速度x偏r

那这两项里面

我们明显的可以看出来

就是偏r的那一项很大

它两个方面使它大

所以至少是两个量纲

这样的话

我们就可以把这一项

就是黏性应力

可以简化到

只有

偏vx偏r那一项

所以看到这一个方程内

左边比较简单

那个我们就不说了

右边就是一个

偏vx偏r的二阶导数

这个跟我们的

笛卡尔坐标系很像

而对于射流中的

任意轴向位置的压力

它等于同样的

轴向位置上

环境流体的压力

这样我们就可以认为

轴向动量的那个方程中的

压差

就等于环境流体的

流体动力学的压力梯度

所以偏P偏x

最后等于

负的ρ无穷

乘以一个g

这是一个近似

这个近似在燃料学

也十分的重要

通过这个近似

代进去之后

我们就得到了

下面这个方程

我们把

体相力写成是ρ无穷

减去ρ再乘以g这一项

再来关注一下这个方程

左边两项

是它的惯性项

也就是它的对流项

右面是一个偏vx偏r的

二阶导数

和一个折合的

体相力

就是无穷远处的

环境的密度

和实际的密度差

乘以一个g

这个式子是火焰学中

常用的一个式子

最后谢谢大家

燃烧理论课程列表:

第一章 导论

-1.1 我们为什么要学习燃烧理论

--1-1:我们为什么要学习燃烧理论

-1.2 什么是燃烧:定义与现象

--1.2 什么是燃烧:定义与现象

-1.3 燃烧科学发展简史

--1.3 燃烧科学发展简史

-1.4 燃烧科学的研究方法

--1.4 燃烧科学的研究方法

-1.5 课程的结构

--1.5 课程的结构

第二章 燃烧与热化学

-2.1 概述

--概述

-2.2 状态参数复习

--状态参数复习

-2.3 热力学第一定律

--热力学第一定律

-2.4 反应物和生成物的混合物

--反应物与生成物的组成

--绝对(或标准)焓和生成焓

--燃烧焓与热值

--例题

-2.5 绝热燃烧温度

--定压绝热燃烧温度

--定容绝热燃烧温度

-2.6 化学平衡

--第二定律的讨论

--吉布斯函数

--复杂系统(选修)

-2.7 燃烧的平衡产物

--全平衡(选修)

--水煤气反应的平衡

--压力影响

-2.8 应用

--回热式和蓄热式交换器

--例题

--烟气再循环

-2.9 小结

--小结

-第二章 燃烧与热化学--第二章作业

第三章 传质引论

-3.1 传质概述

--3.1.1传质概述

-3.2 传质理论基础

--3.2.1菲克扩散定律

--3.2.2扩散的分子基础-分子动力学

--3.2.3扩散系数的微观推导(选修)

--3.2.4组分守恒方程推导

-3.3 传质应用实例

--3.3.1应用实例一:液面蒸发

--3.3.2蒸汽界面边界条件

--3.3.3液滴蒸发

-3.4 小结

--3.4.1液滴质量守恒+小结

-第三章 传质引论--第三章作业

第四章 化学动力学

-4.1 概述

--概述

-4.2 总包反应与基元反应

--总包反应与基元反应

-4.3 基元反应速率

--双分子反应和碰撞理论

--其他基元反应

-4.4 多步反应机理的反应速率

--净生成率

--反应速率常数与平衡常数关系

--稳态近似

--单分子反应机理

--链式反应和链式分支反应(一)

--链式反应和链式分支反应(二)

--化学时间尺度(一)

--化学时间尺度(二)

--部分平衡

-4.5 简化机理(选修)

--简化机理(选修)

-4.6 催化和非均相反应(选修)

--催化和非均相反应(选修)

-4.7 小结

--小结

-第四章 化学动力学--第四章作业

第五章 一些重要的化学机理

-5.1 概述

--概述

-5.2 H2-O2系统

--H2-O2系统

--H2-O2系统爆炸特性

-5.3 一氧化碳的氧化

--一氧化碳的氧化

-5.4 高链烷烃的氧化

--三步机理

--八步机理

--总包反应和准总包机理

-5.5 甲烷燃烧

--复杂机理和起源

--甲烷燃烧动力学

--高温反应途径分析

--低温反应途径分析

-5.6 氮氧化物

--氮氧化物的形成(一)

--氮氧化物的形成(二)

--氮氧化物的危害

-5.7 小结

--小结

-第五章 一些重要的化学机理--第五章作业

第六章 反应系统化学与热分析的耦合

-6.1 概述

--6.1 概述

-6.2 定压-定质量反应器

--6.2 定压-定质量反应器

-6.3 定容-定质量反应器

--6.3 定容-定质量反应器

-6.4 全混流反应器

--6.4 全混流反应器

-6.5 柱塞流反应器

--6.5 柱塞流反应器

-6.6 燃烧系统建模中的应用及小结

--6.6 燃烧系统建模中的应用及小结

-第六章 反应系统化学与热分析的耦合--第六章作业

第七章 反应流的简化守恒方程

-7.1 概述和总质量守恒

--7.1 概述和总质量守恒

-7.2 组分质量守恒

--7.2 组分质量守恒

-7.3 多组分扩散(选修)

--7.3 多组分扩散(选修)

-7.4 动量守恒方程(选修)

--7.4 动量守恒方程(选修)

-7.5 能量守恒方程-质量通量表达形式

--7.5 能量守恒方程-质量通量表达形式

-7.6 守恒标量的概念-混合物分数定义

--7.6 守恒标量的概念-混合物分数定义

-第七章 反应流的简化守恒方程--第七章作业

第八章 层流预混火焰

-8.1 概述及物理描述

--8.1 定义及重要特征与实验室典型火焰

-8.2 层流火焰分析

--8.2.1 简化分析

--8.2.1 简化分析(续)

--8.2.2 详细分析

-8.3 影响火焰速度和火焰厚度的因素

--8.3.1 温度、压力和当量比,燃料选型及火焰速度选型

--8.3.2 火焰速度测量

-8.4 熄火、可燃性和点火

--8.4.1 冷壁熄火

--8.4.2 可燃极限和点火

-8.5 火焰稳定及小结

--8.5 火焰稳定及小结

-第八章 层流预混火焰--第八章作业

第九章 层流非预混火焰

-9.1 概述

--概述

-9.2 无反应的恒定密度层流射流

--物理描述

--求解

--两个例子

-9.3 射流火焰的物理描述

--射流火焰的物理描述

-9.4 简化理论描述

--概述

--守恒标量

--状态关系式

--各种不同的解法(一)(选修)

--9.4.5 各种不同的解法(二)(选修)

-9.5 不同几何形状燃烧器的火焰长度

--圆口和槽型口燃烧器火焰长度

--火焰长度的影响因素

--两个例子

-9.6 碳烟的形成和分解

--碳烟的形成和分解

-9.7 对冲火焰(选修)

--对冲火焰(选修)

-9.8 小结

--小结

-第九章 层流非预混火焰--第九章作业

第十章 液滴的蒸发与燃烧

-10.1 概述

--概述

-10.2 液滴蒸发的简单模型

--基本假设

--气相分析

--气液界面能量平衡

--液滴寿命

-10.3 液滴燃烧的简化模型

--假设

--质量守恒和组分守恒

--温度分布

--液滴表面能量守恒

--火焰面处能量守恒

--液气平衡 总结和求解

--燃烧速率常数和液滴寿命

--例题

--扩展到对流条件

-10.4 一维蒸发控制燃烧

--物理模型和假设

--液滴数目和液滴相守恒

--总守恒方程

--气相成分和气相能量守恒

--液滴动量守恒 模型总结

--例题

-10.5 小结

--小结

-第十章 液滴的蒸发与燃烧--第十章作业

第十一章 固体燃烧

-11.1 概述及燃煤锅炉

--11.1.1 概述

--11.1.2 燃煤锅炉

-11.2 非均相反应

--11.2.1 非均相反应及表面化学反应

--11.2.2 碳反应的半总包机理反应

-11.3 单颗粒碳的燃烧-单膜模型

--11.3.1 模型建立

--11.3.2 质量与组分守恒与表面化学动力学

--11.3.3 电路比拟与碳燃烧控制

--11.3.4 能量守恒

-11.4 单颗粒碳的燃烧-双膜模型

--11.4.1 模型建立

--11.4.2 组分守恒、封闭性和表面化学反应

-11.5 颗粒燃烧速度

--11.5 颗粒燃烧速度

-11.6 煤的热解及燃烧

--11.6 煤的热解及燃烧

-第十一章 固体燃烧--第十一章作业

第十二章 湍流燃烧入门(选修)

-12.1 概述

--概述

-12.2 湍流现象与描述

--湍流的现象与描述

-12.3 湍流尺度

--湍流尺度

-12.4 湍流模型

--湍流模型方法(1)

--湍流模型方法(2)

-12.5 湍流预混火焰

--湍流火焰速度

--湍流火焰结构与模式

--12.5.3 例题

--层流火焰折皱模式

--分布式反应区模式和漩涡小火焰模式

--火焰稳定

-12.6 湍流非预混火焰

--射流火焰

--火焰长度

-12.7 湍流燃烧小结

--湍流燃烧小结

课程总结

-课程总结

--课程总结

7.4 动量守恒方程(选修)笔记与讨论

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