当前课程知识点:高等土力学 > 第6章 边坡稳定分析 > 6.5 塑性力学上下限定理简介 > 6.5 塑性力学上下限定理简介
这一节简要介绍塑性力学的上下限定理
对于一个连续体
它要满足以下条件
平衡方程
边界条件
包括力的边界条件
和位移边界条件
几何方程
也就是应变与位移的关系
物理方程
也就是应变与应力的关系
另外它不能破坏
即满足屈服或破坏准则
土一般用基于莫尔-库仑强度理论的强度准则
先看上限定理
它是这样表述的
如果有一种机动许可的速度场存在
且外荷载所做的功等于内能的耗散率
则与其对应的外荷载比真实的极限荷载大
再看下限定理
如果有一满足平衡方程及边界条件
并且不违背塑性条件
屈服准则的静力许可应力场存在
则与静力许可应力场对应的荷载
比真实的极限荷载小
上限定理可以近似这样理解
一个桌子上放一个重物
500kg破坏了
那么它的承载力就不会超过500kg
300kg也破坏
那么它的承载力就不会超过300kg
一直减小
到100kg也坏了
那么它的承载力不会超过100kg
下限定理可以这样理解
桌子上放上重物10kg
没有坏
那么它的承载力就不会低于10kg
50kg也没有坏
那么它的承载力就不会低于50kg
一直增大
如果99kg也没有坏
那么它的承载力就不会低于99kg
上下限定理其实就是从上下限
逼近真实的临界荷载
从而回避本构关系
因为本构关系比较复杂
回避以后
只需要强度参数就可以把问题求解了
还是前面的例子
如果99kg下桌子没有破坏
而100kg破坏了
那么它的真实的临界荷载就在99~100kg之间
显然
上限解的最小值 下限解的最大值
就是临界荷载
看看什么叫机动许可的速度场
或者应变率场
它要求满足①在域Ω内满足几何条件
即应变率场能够由某一速度场导出
②在速度边界上满足边界条件
③满足外力功率大于0的要求
④满足体积不可压缩条件
其中体积不可压缩这个条件
可能意义不大
有些书上写了
有些没有写
另外
这里的速度场说的其实就是位移增量
应变率场也就是应变增量
关于静力许可的应力场
它要求满足
①在域Ω内满足平衡条件
②在域Ω内不违反屈服准则
③在力边界上满足边界条件
下面我们用一个具体算例来介绍上下限定理
看一个经典例子
求直立边坡的临界高度
首先
我们用上限定理来求解
假定一个直线滑动面
与水平面夹角为θ
它所形成的这个楔体
在自重W作用下向下滑动
滑动速率为v
滑动方向与破坏面夹角等于内摩擦角φ
把莫尔-库仑破坏准则当作流动规则
滑动方向与破坏面夹角刚好等于内摩擦角φ
这是可以推导出来的
推导方法是要建立直角坐标系
然后按流动规则推导它们方向之间的关系
看我们怎么计算
在滑动面上一点的内力功为
τ·v·cosφ-σn·v·sinφ
由于滑动面上土体处于极限平衡状态
τ=c+σn·tanφ
代入后 得到下面的式子
化简刚好消去了σn
得到c·v·cosφ
总的内力功
是一点的内力功沿滑动面的积分
也就是Win=c·v·cosφ·L=c·v·cosφ·H/sinθ
外力功
等于自重与楔体速度的点积
可以写成下面的式子
点积的概念大家可以复习一下微积分教材
外力功=内力功可以得到这个等式
化简可以得到H的表达式
对θ求极值
得到θ=45°+φ/2
以及H=4c/γ·1/tan(45°-φ/2)
等于4c除以γ根号Ka
这个就是上限解
我们再看怎么用下限定理来求解
对这个直立边坡取下面临近坡脚的一点
这种应力状态是存在的
也就是σ1=γH
σ3=0
处于极限平衡状态时 需要满足条件
σ1=σ3tan²(45°+φ/2)+2c·tan(45°+φ/2)
把σ1=γH
σ3=0代进去
可以得到H=2c/γ乘以根号Ka
这就是下限解
结合上限解 可以得到它的取值范围
也就是Hcr大于等于
2c/γ乘以根号Ka
小于等于4c/γ乘以根号Ka
如果选择的破坏面
或应力状态与实际更接近
会优化该结果
比如
如果破坏面取对数螺旋线
上面上限解的系数会由4c变为3.83c
区间更小些
也会更贴近真实解
一些说明是
1 极限平衡法不能归为上限解或下限解
这在陈惠发的书中有专门的论述
2关于极限分析方法的下限解有限元
和上限解有限元方法等
可参考相关文献以及Sloan的原文
基于上限原理还有很多方法
其中之一是斜条分法
可以看陈祖煜的相关论文
-0.1 岩土工程的学科特点与发展
-0.2 土力学学科的发展历史
-0.3 岩土工程实践的发展
-0.4 理论与工程的检验
-0.5 岩土工程的可持续发展
-第0章 绪论-作业
-1.0 概述
--1.0 概述
--1.0 概述-作业
-1.1 室内试验
--1.1 室内试验-作业
-1.2 模型试验
--1.2 模型试验
--1.2 模型试验-作业
-1.3 原位测试与现场观测
--1.3 原位测试与现场观测-作业
-1.4 试验的检验与验证
-2.1 概述
--2.1 概述
--2.1 概述-作业
-2.2 应力和应变
--2.2 应力和应变-作业
-2.3 土的应力变形特性
--2.3 土的应力变形特性-作业
-2.4 土的弹性模型
--2.4 土的弹性模型-作业
-2.5 土的弹塑性模型的一般原理
--2.5 土的弹塑性模型的一般原理-作业
-2.6 剑桥模型
--2.6 剑桥模型-习题
-2.7 其它典型弹塑性模型
--2.7 其它典型弹塑性模型-作业
-3.1 概述
--3.1 概述-作业
-3.2 土的抗剪强度的机理
--3.2 土的抗剪强度的机理-作业
-3.3 土的强度与土的物理性质
--3.3 土的强度与土的物理性质-作业
-3.4 影响土的强度的外部因素
--3.4 影响土的强度的外部因素-作业
-3.5 土的排水与不排水强度
--3.5 土的排水与不排水强度-作业
-3.6 土的强度理论
--3.6 土的强度理论-作业
-3.7 黏性土的抗拉强度
--3.7 黏性土的抗拉强度-作业
-4.1 概述
--4.1 概述
--4.1 概述-作业
-4.2 饱和土的渗透性和基本方程
--4.2 饱和土的渗透性和基本方程-作业
-4.3 饱和土二维渗流和流网
--4.3 饱和土二维渗流和流网-作业
-4.4 饱和渗流数值计算方法
--4.4 饱和渗流数值计算方法-作业
-4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力
--4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力-作业
-4.6 非饱和土土水特征曲线
--4.6 非饱和土土水特征曲线-作业
-4.7 非饱和土的渗透性和数值计算
--4.7 非饱和土的渗透性和数值计算-作业
-5.1 概述
--5.1 概述
-5.2 土的压缩与地基的沉降
--5.2 土的压缩与地基的沉降-作业
-5.3 地基沉降的计算方法
--5.3 地基沉降的计算方法-作业
-5.4 单向固结的普遍方程及一般问题
--5.4 单向固结普遍方程及一般问题-作业
-5.5 土的三维固结理论
--5.5 土的三维固结理论-作业
-5.6 关于土体固结的其他问题简介
--5.6 关于土体固结的其他问题简介-作业
-6.1 概述
--6.1 概述
-6.2 边坡稳定分析方法
-6.3 最小安全系数和潜在滑动面的搜索方法
-6.4 极限平衡法边坡稳定分析的一些结论
-6.5 塑性力学上下限定理简介
-6.6 基于有限单元法的边坡稳定分析
-6 边坡稳定分析-作业


