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6.5 塑性力学上下限定理简介在线视频

下一节:6.6 基于有限单元法的边坡稳定分析

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6.5 塑性力学上下限定理简介课程教案、知识点、字幕

这一节简要介绍塑性力学的上下限定理

对于一个连续体

它要满足以下条件

平衡方程

边界条件

包括力的边界条件

和位移边界条件

几何方程

也就是应变与位移的关系

物理方程

也就是应变与应力的关系

另外它不能破坏

即满足屈服或破坏准则

土一般用基于莫尔-库仑强度理论的强度准则

先看上限定理

它是这样表述的

如果有一种机动许可的速度场存在

且外荷载所做的功等于内能的耗散率

则与其对应的外荷载比真实的极限荷载大

再看下限定理

如果有一满足平衡方程及边界条件

并且不违背塑性条件

屈服准则的静力许可应力场存在

则与静力许可应力场对应的荷载

比真实的极限荷载小

上限定理可以近似这样理解

一个桌子上放一个重物

500kg破坏了

那么它的承载力就不会超过500kg

300kg也破坏

那么它的承载力就不会超过300kg

一直减小

到100kg也坏了

那么它的承载力不会超过100kg

下限定理可以这样理解

桌子上放上重物10kg

没有坏

那么它的承载力就不会低于10kg

50kg也没有坏

那么它的承载力就不会低于50kg

一直增大

如果99kg也没有坏

那么它的承载力就不会低于99kg

上下限定理其实就是从上下限

逼近真实的临界荷载

从而回避本构关系

因为本构关系比较复杂

回避以后

只需要强度参数就可以把问题求解了

还是前面的例子

如果99kg下桌子没有破坏

而100kg破坏了

那么它的真实的临界荷载就在99~100kg之间

显然

上限解的最小值 下限解的最大值

就是临界荷载

看看什么叫机动许可的速度场

或者应变率场

它要求满足①在域Ω内满足几何条件

即应变率场能够由某一速度场导出

②在速度边界上满足边界条件

③满足外力功率大于0的要求

④满足体积不可压缩条件

其中体积不可压缩这个条件

可能意义不大

有些书上写了

有些没有写

另外

这里的速度场说的其实就是位移增量

应变率场也就是应变增量

关于静力许可的应力场

它要求满足

①在域Ω内满足平衡条件

②在域Ω内不违反屈服准则

③在力边界上满足边界条件

下面我们用一个具体算例来介绍上下限定理

看一个经典例子

求直立边坡的临界高度

首先

我们用上限定理来求解

假定一个直线滑动面

与水平面夹角为θ

它所形成的这个楔体

在自重W作用下向下滑动

滑动速率为v

滑动方向与破坏面夹角等于内摩擦角φ

把莫尔-库仑破坏准则当作流动规则

滑动方向与破坏面夹角刚好等于内摩擦角φ

这是可以推导出来的

推导方法是要建立直角坐标系

然后按流动规则推导它们方向之间的关系

看我们怎么计算

在滑动面上一点的内力功为

τ·v·cosφ-σn·v·sinφ

由于滑动面上土体处于极限平衡状态

τ=c+σn·tanφ

代入后 得到下面的式子

化简刚好消去了σn

得到c·v·cosφ

总的内力功

是一点的内力功沿滑动面的积分

也就是Win=c·v·cosφ·L=c·v·cosφ·H/sinθ

外力功

等于自重与楔体速度的点积

可以写成下面的式子

点积的概念大家可以复习一下微积分教材

外力功=内力功可以得到这个等式

化简可以得到H的表达式

对θ求极值

得到θ=45°+φ/2

以及H=4c/γ·1/tan(45°-φ/2)

等于4c除以γ根号Ka

这个就是上限解

我们再看怎么用下限定理来求解

对这个直立边坡取下面临近坡脚的一点

这种应力状态是存在的

也就是σ1=γH

σ3=0

处于极限平衡状态时 需要满足条件

σ1=σ3tan²(45°+φ/2)+2c·tan(45°+φ/2)

把σ1=γH

σ3=0代进去

可以得到H=2c/γ乘以根号Ka

这就是下限解

结合上限解 可以得到它的取值范围

也就是Hcr大于等于

2c/γ乘以根号Ka

小于等于4c/γ乘以根号Ka

如果选择的破坏面

或应力状态与实际更接近

会优化该结果

比如

如果破坏面取对数螺旋线

上面上限解的系数会由4c变为3.83c

区间更小些

也会更贴近真实解

一些说明是

1 极限平衡法不能归为上限解或下限解

这在陈惠发的书中有专门的论述

2关于极限分析方法的下限解有限元

和上限解有限元方法等

可参考相关文献以及Sloan的原文

基于上限原理还有很多方法

其中之一是斜条分法

可以看陈祖煜的相关论文

高等土力学课程列表:

第0章 绪论

-0.1 岩土工程的学科特点与发展

--0.1.1 岩土工程的学科特点与发展1

--0.1.2 岩土工程的学科特点与发展2

--0.1.3 岩土工程的学科特点与发展3

-0.2 土力学学科的发展历史

--0.2.1 土力学学科的发展历史1

--0.2.2 土力学学科的发展历史2

-0.3 岩土工程实践的发展

--0.3.1 岩土工程实践的发展1

--0.3.2 岩土工程实践的发展2

-0.4 理论与工程的检验

--0.4 理论与工程的检验

-0.5 岩土工程的可持续发展

--0.5 岩土工程的可持续发展

-第0章 绪论-作业

第1章 土工试验及测试

-1.0 概述

--1.0 概述

--1.0 概述-作业

-1.1 室内试验

--1.1.1 室内试验1

--1.1.2 室内试验2

--1.1.3 室内试验3

--1.1.4 室内试验4

--1.1.5 室内试验5

--1.1.6 室内试验6

--1.1 室内试验-作业

-1.2 模型试验

--1.2 模型试验

--1.2 模型试验-作业

-1.3 原位测试与现场观测

--1.3 原位测试与现场观测

--1.3 原位测试与现场观测-作业

-1.4 试验的检验与验证

--1.4 试验的检验与验证

第2章 土的本构关系

-2.1 概述

--2.1 概述

--2.1 概述-作业

-2.2 应力和应变

--2.2 应力和应变

--2.2 应力和应变-作业

-2.3 土的应力变形特性

--2.3.1 土的应力变形特性1

--2.3.2 土的应力变形特性2

--2.3.3 土的应力变形特性3

--2.3.4 土的应力变形特性4

--2.3 土的应力变形特性-作业

-2.4 土的弹性模型

--2.4.1 土的弹性模型1

--2.4.2 土的弹性模型2

--2.4.3 土的弹性模型3

--2.4.4 土的弹性模型4

--2.4.5 土的弹性模型5

--2.4 土的弹性模型-作业

-2.5 土的弹塑性模型的一般原理

--2.5.1 土的弹塑性模型的一般原理1

--2.5.2 土的弹塑性模型的一般原理2

--2.5.3 土的弹塑性模型的一般原理3

--2.5.4 土的弹塑性模型的一般原理4

--2.5 土的弹塑性模型的一般原理-作业

-2.6 剑桥模型

--2.6.1 剑桥模型1

--2.6.2 剑桥模型2

--2.6.3 剑桥模型3

--2.6.4 剑桥模型4

--2.6 剑桥模型-习题

-2.7 其它典型弹塑性模型

--2.7.1 其它典型弹塑性模型1

--2.7.2 其它典型弹塑性模型2

--2.7.3 其它典型弹塑性模型3

--2.7 其它典型弹塑性模型-作业

第3章 土的强度

-3.1 概述

--3.1.1 概述1

--3.1.2 概述2

--3.1 概述-作业

-3.2 土的抗剪强度的机理

--3.2.1 土的抗剪强度的机理1

--3.2.2 土的抗剪强度的机理2

--3.2.3 土的抗剪强度的机理3

--3.2 土的抗剪强度的机理-作业

-3.3 土的强度与土的物理性质

--3.3.1 土的强度与土的物理性质1

--3.3.2 土的强度与土的物理性质2

--3.3 土的强度与土的物理性质-作业

-3.4 影响土的强度的外部因素

--3.4.1 影响土的强度的外部因素1

--3.4.2 影响土的强度的外部因素2

--3.4.3 影响土的强度的外部因素3

--3.4 影响土的强度的外部因素-作业

-3.5 土的排水与不排水强度

--3.5.1 土的排水与不排水强度1

--3.5.2 土的排水与不排水强度2

--3.5.3 土的排水与不排水强度3

--3.5.4 土的排水与不排水强度4

--3.5 土的排水与不排水强度-作业

-3.6 土的强度理论

--3.6.1 土的强度理论1

--3.6.2 土的强度理论2

--3.6.3 土的强度理论3

--3.6.4 土的强度理论4

--3.6 土的强度理论-作业

-3.7 黏性土的抗拉强度

--3.7 黏性土的抗拉强度

--3.7 黏性土的抗拉强度-作业

第4章 土中渗流

-4.1 概述

--4.1 概述

--4.1 概述-作业

-4.2 饱和土的渗透性和基本方程

--4.2.1 饱和土的渗透性和基本方程1

--4.2.2 饱和土的渗透性和基本方程2

--4.2.3 饱和土的渗透性和基本方程3

--4.2.4 饱和土的渗透性和基本方程4

--4.2.5 饱和土的渗透性和基本方程5

--4.2 饱和土的渗透性和基本方程-作业

-4.3 饱和土二维渗流和流网

--4.3.1 饱和土二维渗流和流网1

--4.3.2 饱和土二维渗流和流网2

--4.3.3 饱和土二维渗流和流网3

--4.3 饱和土二维渗流和流网-作业

-4.4 饱和渗流数值计算方法

--4.4.1 饱和渗流数值计算方法1

--4.4.2 饱和渗流数值计算方法2

--4.4.3 饱和渗流数值计算方法3

--4.4.4 饱和渗流数值计算方法4

--4.4 饱和渗流数值计算方法-作业

-4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力

--4.5.1 非饱和土中水的形态和基质吸力1

--4.5.2 非饱和土中水的形态和基质吸力2

--4.5 非饱和土中水的形态和基质吸力-作业

-4.6 非饱和土土水特征曲线

--4.6.1 非饱和土土水特征曲线1

--4.6.2 非饱和土土水特征曲线2

--4.6.3 非饱和土土水特征曲线3

--4.6 非饱和土土水特征曲线-作业

-4.7 非饱和土的渗透性和数值计算

--4.7.1 非饱和土的渗透性和数值计算1

--4.7.2 非饱和土的渗透性和数值计算2

--4.7.3 非饱和土的渗透性和数值计算3

--4.7 非饱和土的渗透性和数值计算-作业

第5章 土的压缩与固结

-5.1 概述

--5.1 概述

-5.2 土的压缩与地基的沉降

--5.2.1 土的压缩与地基的沉降1

--5.2.2 土的压缩与地基的沉降2

--5.2 土的压缩与地基的沉降-作业

-5.3 地基沉降的计算方法

--5.3.1 地基沉降的计算方法1

--5.3.2 地基沉降的计算方法2

--5.3.3 地基沉降的计算方法3

--5.3 地基沉降的计算方法-作业

-5.4 单向固结的普遍方程及一般问题

--5.4.1 单向固结的普遍方程及一般问题1

--5.4.2 单向固结的普遍方程及一般问题2

--5.4.3 单向固结的普遍方程及一般问题3

--5.4 单向固结普遍方程及一般问题-作业

-5.5 土的三维固结理论

--5.5.1 土的三维固结理论1

--5.5.2 土的三维固结理论2

--5.5.3 土的三维固结理论3

--5.5.4 土的三维固结理论4

--5.5.5 土的三维固结理论5

--5.5.6 土的三维固结问题6

--5.5 土的三维固结理论-作业

-5.6 关于土体固结的其他问题简介

--5.6 关于土体固结的其他问题简介

--5.6 关于土体固结的其他问题简介-作业

第6章 边坡稳定分析

-6.1 概述

--6.1 概述

-6.2 边坡稳定分析方法

--6.2.1 边坡稳定分析方法1

--6.2.2 边坡稳定分析方法2

--6.2.3 边坡稳定分析方法3

--6.2.4 边坡稳定分析方法4

-6.3 最小安全系数和潜在滑动面的搜索方法

--6.3 最小安全系数和潜在滑动面的搜索方法

-6.4 极限平衡法边坡稳定分析的一些结论

--6.4 极限平衡法边坡稳定分析的一些结论

-6.5 塑性力学上下限定理简介

--6.5 塑性力学上下限定理简介

-6.6 基于有限单元法的边坡稳定分析

--6.6 基于有限单元法的边坡稳定分析

-6 边坡稳定分析-作业

6.5 塑性力学上下限定理简介笔记与讨论

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