当前课程知识点:数据结构(上) > 第一章 绪论(下) > (d)算法分析 > 01d-2: 级数
首先来复习级数方面的一些知识
并且做一归纳
最基本的形式 莫过于算术级数
也就是说 从某一个数开始
以固定的间隔为单位 不断地线性递增
它们的总和 称作算术级数
第一个等号 是我们在中学时代就非常熟悉的
第二个等号 则是在引入了大O记号之后所得出的结论
那么 这个结论我们归纳一下可以说
所谓算术级数 在阶次上讲
应该是和它的末项
也就是在这里讲n的平方 同阶的
这是我们需要记住的第一个规律
再来考察在幂方的意义下对算术级数的推广
具体来说对于任何一个幂方次
无论是2、3、4还是5
我们都在算术级数原来的基础上
使得每一项都统一地变成
2次方、3次方、4次方
或者是5次方 诸如此类
那么这种类似的级数
运用此前所学过的一些基本的数学知识
实际上是不难得出一些对应的通项公式
比如这个 以及这个 以及这个
这里最重要的是 在大O意义下
我们可以将这些等式的主要脉络归纳出来
我们可以看到分别是3次方 4次方和5次方
所以从归纳的角度
我们大致可以得出这么一个结论
幂方这种级数的总和
应该是比这个幂的方次
其实也是这个级数的末项
要恰好高出一阶
当然我们这里是不完全的归纳
如果要严格地证明
我们需要借助这样一个准确的分析
而这个准确的分析的最关键的一步
主要是这样 将幂方级数求和转化为
0到n之间x d次方的这么样一个积分
这样一个近似的估计是最重要的一环
而后面的这个求解
都是我们在微积分课程中
所应该已经学会的概念和方法
我们看到 确实对于幂次为d的幂方级数而言
它的总和 确实是比这个d要恰好高出一阶
这也是我们需要总结并且记忆下的一个规律
几何级数也是算法复杂度的一种重要形式
也就是从某一个常数开始
不断地以固定的倍数
呈现几何式的增长
这样一种级数的总和 我们在中学时代
应该都已经得到过它的通项公式
就是这个
在这里我们同样运用大O记号
可以将这个总和 从数量级上简化为a^n
也包括这里最常用的一种特例
就是从1开始以2为倍数的这么样一个几何级数
我们说结论是类似的
概括而言 这类几何级数的规模
在大O记号渐近意义下
是与这个级数最后一项同阶的
因为这里的a^n既是总和
也可以理解为是这个级数的末项
2的n次方 同样对应于2的n次方
再来考察所谓的收敛级数
也就是说 级数中的各项会逐次递减
而且这种递减的速度足够快
以至于尽管每一项都是保持正数
但是他们的总和 不会超过某一个上界
这个上界虽然数值不同
但是从渐近意义上讲 都可以视作是常数
因此从大O记号的角度来看
它们都可以记作是O(1)
那么有同学很自然地就会问这个问题
这样一类每一项都可能是分数的级数
在我们这里 有必要讨论和应用吗
他们的理由非常自然
因为我们这里考察的是基本操作的次数
以及存储单元的数目
这种数目 怎么可能是分数或者小数呢
很有意思的是 在某种意义上讲
的确如此
考察这样一个实例
假设某段代码的迭代循环
可以等效地描述为硬币的投掷过程
这枚硬币投中正面的概率是λ
介于0和1之间
当然反过来 投中反面的概率就是1减掉λ
现在这个程序可能运行的效果是等效于
不断地投掷这枚硬币
直到第一次出现反面
而算法的复杂度呢
取决于你在整个这样的过程中
总共投掷了多少次硬币
那么可能有不同的情况
有投一次即命中的情况
有投两次即命中的情况 以及投三、投四
理论上讲投任何多次都有可能
那么有概率基础的同学就能回想起来
这是一个典型的几何分布
它的数学期望
也就是说我们从期望的意义上讲
这个过程需要投掷多少次
可以表示为这样一个表达式
而它的解恰好就是1减掉λ分之一
λ既然是常数 所以这个确实也是常数
当然还有另一类级数
它虽然未必是收敛的
但是它的长度是有限的
以至于它的界也是我们经常用到
而且是需要记下的
典型的有两个
一个是1/1 加上1/2 加1/3
一直累计到1/n
这是典型的调和级数
它的界可以估计为logn 这是个确界
另外一个呢 是所谓的对数级数
也就是log1 其实是0
log2、log3一直加到logn
我们说了 所有对数的和等于乘积的对数
所以这相当于是n的阶乘 再去取对数
通过Stirling逼近可以得到这么样一个结论
也就是说n的阶乘log
实际上是和nlogn在渐近的意义上讲等阶的
这两个级数 都是在我们后面的课程中要经常用到的
也是希望大家能够熟练掌握的
更多的级数呢?
我们这个课程里没有时间去逐一地介绍
有兴趣的同学 我们推荐大家去读
有一本书叫《Concrete Mathematics》
也就是《具体数学》
在那里头呢 有相当多的篇幅
就是介绍这方面的内容
当然 也包括很多与我们的课程相关的内容
-选课之前
--写在选课之前
--宣传片
-考核方式
--考核方式
-OJ系统说明
--关于OJ
--1-注册与登录
--2-界面与选课
--3-提交测试
-关于课程教材与讲义
--课程教材与讲义
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--关于讨论区
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-PA晋级申请
--PA晋级
-(a)计算
--演示
--(a)计算--作业
-(b)计算模型
-(b)计算模型--作业
-(c)大O记号
-(c)大O记号--作业
-(d)算法分析
-(d)算法分析--作业
-(e)迭代与递归
-(e)迭代与递归--作业
-(xc)动态规划
-- 演示
-(xc)动态规划--作业
-本章测验--作业
-(a)接口与实现
--02A-5 复制
-(a)接口与实现--作业
-(b)可扩充向量
-(b)可扩充向量--作业
-(c)无序向量
--02C-1 概述
--02C-3 插入
--02C-6 查找
--02C-8 遍历
-(c)无序向量--作业
-(d1)有序向量:唯一化
-(d1)有序向量:唯一化--作业
-(d2)有序向量:二分查找
-(d2)有序向量:二分查找--作业
-(d3)有序向量:Fibonacci查找
-(d3)有序向量:Fibonacci查找--作业
-(d4)有序向量:二分查找(改进)
-(d4)有序向量:二分查找(改进)--作业
-(d5)有序向量:插值查找
-第二章 向量(下)--(d5)有序向量:插值查找
-(e)起泡排序
--02E-2 改进
--02E-3 反例
-(e)起泡排序--作业
-(f)归并排序
-(f)归并排序--作业
-本章测验--作业
-(a)接口与实现
--03A-4 实现
-(a)接口与实现--作业
-(b)无序列表
--03B-2 查找
-(b)无序列表--作业
-(c)有序列表
--03C-3 查找
-(c)有序列表--作业
-(d)选择排序
--03D-1 构思
--03D-2 实例
--03D-3 实现
--03D-4 推敲
--03D-6 性能
-(d)选择排序--作业
-(e)插入排序
--03E-1 经验
--03E-2 构思
--03E-3 对比
--03E-4 实例
--03E-5 实现
-(e)插入排序--作业
-(xd)习题辅导:LightHouse
-本章测验--作业
- (a)栈接口与实现
--04A-1 栈
--04A-2 实例
--04A-3 实现
- (a)栈接口与实现--作业
-(c1)栈应用:进制转换
-第四章 栈与队列--(c1)栈应用:进制转换
-(c2)栈应用:括号匹配
-(c2)栈应用:括号匹配--作业
-(c3)栈应用:栈混洗
-第四章 栈与队列--(c3)栈应用:栈混洗
-(c4)栈应用:中缀表达式求值
-(c4)栈应用:中缀表达式求值--作业
-(c5)栈应用:逆波兰表达式
-第四章 栈与队列--(c5)栈应用:逆波兰表达式
-(d)队列接口与实现
--04D-1 接口
--04D-2 实例
--04D-3 实现
-第四章 栈与队列--本章测验
-(a)树
--05A-1 动机
--05A-2 应用
-(a)树--作业
-(b)树的表示
--05B-2 父亲
--05B-3 孩子
-第五章 二叉树--(b)树的表示
-(c)二叉树
-(c)二叉树--作业
-(d)二叉树实现
-(d)二叉树实现--作业
-(e1)先序遍历
-(e1)先序遍历--作业
-(e2)中序遍历
-第五章 二叉树--(e2)中序遍历
-(e4)层次遍历
-第五章 二叉树--(e4)层次遍历
-(e5)重构
-(e5)重构--作业
-本章测验--作业
-(a)概述
-(a)概述--作业
-(b1)邻接矩阵
-(b1)邻接矩阵--作业
-(c)广度优先搜索
--06C-2 策略
--06C-3 实现
--06C-5 实例
-(c)广度优先搜索--作业
-(d)深度优先搜索
--06D-1 算法
--06D-2 框架
--06D-3 细节
-(d)深度优先搜索--作业
-第六章 图--本章测验