当前课程知识点:数据结构(上) > 第一章 绪论(下) > (d)算法分析 > 01d-3: 循环
借助上述关于级数的一些结论
如何来具体分析代码段中所涉及的
循环操作的复杂度呢?
我们来看几个实例
这是一个典型的二重循环
外循环 控制变量i 是从0到n不断的累加
内循环 控制变量j 从0到n不断的累加
这是一个比较简单的二重循环
具体的就体现为
两个控制变量 相互之间没有耦合
内循环 每一次执行的 都是长度为n的一个循环
而外循环 要求内循环也反复地要迭代n趟
从数值上看 它是n个n累加起来
可以理解成 是一个常数的数列
它的数值就是n平方
当然 我们可以记下这种计算的结果
但是 在今后要将这个
变成自己的一个直观的反馈
在这里 我们推荐给大家看这样一个图
这是一个二维的矩形
i 外循环的控制变量
和j 也就是内循环的控制变量
构成对应的两个维度
这个矩形中的每一个点
都对应于内部这个O(1)的 操作的一次执行
而整个这个二重循环
其实就等效于 这个矩形被填充的过程
因此 我们可以建立这么样一个联系
也就是 整个这段代码体的时间复杂度
就等于这个矩形的面积
从这个意义上讲 我们可以很清楚的看出来
确实它是平方量级的
我们再来看一个 略微有点变化的例子
这个对应于一个算术级数
我们刚刚讲过 作为算术级数
它的总和 取决于它的末项的平方:O(n^2)
我们也可以注意到 尽管在形式上
相对于上例 有一些变化
但是 就复杂度而言
二者在渐近意义上讲 是完全相同的
这样一个典型的循环模式
也希望同学们 在头脑中形成这样一个图景
使得你以后能够不仅很好的理解最终的结果
甚至可以把它强记下来
我们来看一下 整个这个过程
依然是可以表述为一个二维图形
外循环的控制变量i 依然是从0一直变化到n
而内循环的控制变量j 将是像我们刚才所分析的那样
呈一个算术级数 不断线性递增的规律
所以总体而言
刚才我们的结论依然是成立的
这段代码所需要执行的时间
应该等于这个被填充的三角形总体的面积
从图形可以很清楚地看的出来
相对于上例
这个图形的面积 虽然只有一半
但是 从渐近的阶次而言
二者是完全相等 都是平方的量级
下一个实例 是在上一个实例的基础上
继续做了一些变化
我们看到 内部循环的控制变量j
增长的步长 将不再是简单的1
而是一个更大的数 比如说两千左右
这样的一个变化 对整体的算法复杂度
在渐近的意义而言 又有多少影响呢?
不难理解 整个这个过程
对于内循环各趟的长度而言
依然会构成一个算术级数
我们固然可以沿用刚才的那些方法
但是我们说 现在 也许你不必再这样做了
因为 我们可以在头脑里参照刚才那种方法
画出这样一个二维的图景 可以看到
外部循环的控制变量i 依然是从0变化到n
这就意味着 内循环必然执行n趟
而每一趟的长度呢 不再是简单的从0到i
因为 现在它的步长更大了
等效于每一趟内循环的累计长度
都相对于上面那个例子
缩减到固定的2013分之一
这也相当于把坐标轴做了这样一个压缩
从这里 我们可以看的出来 这个面积
确实依然可以用来度量整体这段代码的复杂度
而这段的面积 虽然貌似缩小了
但这只是一个常系数的缩小
这个两千左右分之一 一个常系数
并不足以影响整个这段代码的渐近时间复杂度
它依然是n平方
进一步 再来看这样一个例子
我们看到 在以上实例的基础上做了一些调整
那么 最重要的就是在这儿
我们看到 外循环的控制变量i
不再是按刚才那样 是线性的增长
而是每次都做了一个左移移位的操作
这等效于乘以2
也就是说它每次都是加倍
换而言之 内循环的长度i 将以2为倍数
呈现出一个几何级数的形式
当然 它的最大值是由n决定的
我们固然 也可以用代数的形式 对它进行估算
但是 我们也推荐大家
用刚才那种直观的几何的方式
把这样的一个复杂度的图景 给它绘制出来
当它在你头脑里浮现的时候
你已经知道 它的复杂度是多少了
你可以很快的得出结论
这个更为复杂一些的实例
我们留给大家
请大家在课后 对照这里所给的直观图示
以及代数推导过程 对结果进行验证
实际上 在我们的习题解析中
还有更多的实例
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-第二章 向量(下)--(d5)有序向量:插值查找
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-(f)归并排序--作业
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- (a)栈接口与实现--作业
-(c1)栈应用:进制转换
-第四章 栈与队列--(c1)栈应用:进制转换
-(c2)栈应用:括号匹配
-(c2)栈应用:括号匹配--作业
-(c3)栈应用:栈混洗
-第四章 栈与队列--(c3)栈应用:栈混洗
-(c4)栈应用:中缀表达式求值
-(c4)栈应用:中缀表达式求值--作业
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-第四章 栈与队列--(c5)栈应用:逆波兰表达式
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-第四章 栈与队列--本章测验
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-(b)树的表示
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-(c)二叉树
-(c)二叉树--作业
-(d)二叉树实现
-(d)二叉树实现--作业
-(e1)先序遍历
-(e1)先序遍历--作业
-(e2)中序遍历
-第五章 二叉树--(e2)中序遍历
-(e4)层次遍历
-第五章 二叉树--(e4)层次遍历
-(e5)重构
-(e5)重构--作业
-本章测验--作业
-(a)概述
-(a)概述--作业
-(b1)邻接矩阵
-(b1)邻接矩阵--作业
-(c)广度优先搜索
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--06C-3 实现
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-(c)广度优先搜索--作业
-(d)深度优先搜索
--06D-1 算法
--06D-2 框架
--06D-3 细节
-(d)深度优先搜索--作业
-第六章 图--本章测验