当前课程知识点:数据结构(上) > 第五章 二叉树 > (e5)重构 > 05E5-2 (先序|后序)+中序
关于二叉树的重构
第一个结论是我们只需中序遍历序列
再加上先序与后序遍历序列之一
即可忠实地还原二叉树的完整拓扑结构
为此我们需要做数学归纳
假设对于规模小于大N的所有二叉树
这个规律都是成立的
接下来 考察规模恰好为N的二叉树
不失一般性
我们可以将这棵二叉树
画成这样的一个模式
于是它的先序遍历必然从根节点r开始
因此在这棵树的先序遍历序列中
首个节点也必然恰好就是根节点r
而紧随其后的必然是
左子树所对应的遍历序列
以及右子树所对应的遍历序列
类似地 在这棵树的中序遍历序列中
左子数所对应的遍历序列必然是前缀
右子树对应的遍历子序列必然是后缀
而根节点r呢 必然镶嵌于它们之间
因此根据先序遍历序列
可以明确树根节点究竟是谁
进而可以在中序遍历序列中
对这个节点进行定位
这个定位非常重要
它使我们得以确认左子树
所对应的中序遍历子序列
以及右子树所对应的中序遍历子序列
也就是说
我们可以知道左子树和右子树
分别是由哪些节点组成的
因此只要这两个遍历序列是合法的
反过来 我们在先序遍历序列中
就可以很容易地将左子树和右子树
所对应的遍历子序列切分开
这样我们就成功地将原来全树的重构问题
化解为两棵子树的重构问题
不难看出 这两棵子树在规模上
都符合归纳假设
也就是它们都严格地小于这里的大N
因此根据归纳假设
无论是左子树 还是右子树
的确都可以如此重构出来
当然你应该不难写出一个
递归式的重构算法
需要特别注意的是
无论是左子树 还是右子树
都有可能是空树
在这种情况下
树的规模应该是零
那么不借助中序遍历序列
而只凭借先序和后序遍历序列
是否也能保证
完成对左右子树的正确切分呢?
我们说这一点是不能保证的
其中的原因正是在于我们刚刚指出的
无论是L 还是R都有可能是空树
比如如果有一棵树右子树是空的
那么它对应的先序遍历序列应该是这样的
而它的后序遍历序列呢
应该是这样的
反过来 如果这棵树的左子树是空的
那么它的先序遍历序列应该是这样的
而它的后序遍历序列应该是这样的
可以看到 这里出现了歧义
我们无法根据先序遍历序列
以及后序遍历序列
来区分在这种情况下
除去根节点之后的部分
究竟是左子树 还是右子树
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