当前课程知识点:数据结构(上) > 第二章 向量(下) > (d4)有序向量:二分查找(改进) > 02D4-5 正确性
我们首先通过这幅图
来具体地了解一下
这个版本C的工作过程
其实最主要的是,它的每次迭代的过程
每次迭代的场景都是类似的
由这个a图来表示
也就是说,在整个这个向量的区间内
我们关注的是某一个特定的
从lo到hi的一个查找区间
在每次在这个区间里
我们都考虑这个middle point,这个x
我们以它为界,经过一次比较以后
有可能会发现目标元素更小
所以就深入到如图b所示的
左侧的这个子区间
或者对称地,因为目标元素更大
我们深入到右侧的这个区间
正如我们刚才已经看到的
左侧子区间和右侧的子区间
都没有覆盖这个middle point
而且对这个middle point
我们也没有做显式地判断
所以这也是为什么我们刚才
有理由怀疑
它有可能是这个算法的一个疏忽
我们来证明这样一个模式
实际上是安全的
为此同样用我们的两种技巧
第一就是给出这个算法的不变性
其次我们要给出它的一个单调性
好在这里头,单调性一目了然
我们就不再说明
我们更主要的是来说明它的不变性
我们断言按照刚才这个版本C
如果我们查找的目标关键码是e
那么在算法的任何一次迭代中
零到lo区间内的所有的元素
都不大于e
而hi到n区间内的所有的元素
都是严格地大于e
我们说这是这个算法的一个不变性
当然后一半的这个条件
也就等效于
就是秩为hi的这个元素
如果它存在的话,包括它也是哨兵
它总是在所有的严格大于e的
那些元素中的最小者
或者最靠左侧者
这个不变性为什么是成立的呢?
我们先来看在初始的时候
lo是等于整个区间的左端点,也就是零的
而hi呢
是等于右侧的界桩
也就是这个哨兵n的
这个时候无论是0、lo
还是hi、n这两个区间其实都是空的
对于空的对象而言
任何命题都是成立的
再看一般的情况
也就是说,根据数学归纳法
我们可以假设这个不变性
一直保持到如图a所示的这样一个情况
也就是说
零到lo这个区间确实是不大于e的
而hi到n这个区间
确实是严格大于e的
而中间这段区间呢
都是未定的
但是我们说
通过一次迭代之后
这个性质依然能保持
因为无非就是两种情况
第一种情况,也就是深入左侧这个分支的情况
我们说,如果真的是深入这个左侧分支的话
那么必然,此前的那一句判断
也就是,e小于这个a中的mi
这个元素肯定返回的是True
那么这说明什么呢?
说明在此后我们将hi
更新为mi
从而使得右侧的这段区间
向左拓展是安全的
因为确实可以断定
这个整个区间内的这些元素
都是严格地大于e的
因为它们其中最小的那个元素
也就是这个mi
经过刚才地判断,都大于e
更不用说其它的了
单调序列的特点
而零到lo呢,保持不变
所以我们说,这种情况是没有问题的
我们再来看第二种情况
也就是这样一个测试是以False返回的
那么这个时候
对应地,也就是否命题
我们也可以说
按照我们这里习惯
把小的和大的尽可能地用
小于和小于等于号来表示
也跟左右吻合
也可以断定就是说
这个时候的e实际上是不小于mi的
那么换而言之,mi这个元素
和此前的零到Lo之间的元素都是一样的
它们都不大于e
既然它作为从零
一直到mi这个整个区间中的
最大的元素
它都不大于e
换而言之,整个这样一个区间
都是不大于e的
而我们在这种情况下,做的事情是什么呢?
我们做的情况是
使得左侧的边界等于mi+1
实际上就相当于将未定的区间范围
缩小到了这样一个范围
我们可以看到
这样一个左侧区间向右拓展的动作
在刚才不变性的意义上讲,依然是安全的
因为它使得不变性得到了延续
所以换而言之
经过一次迭代以后
无论是向左还是向右的深入
我们这里断言的这个不变性都是成立的
而单调性是显而易见的
直到最后会出现一个情况
什么情况呢?
就是整个区间的宽度变成零
这个时候的图景
我们如果画出来的话
应该是这样的
这是整个的原始的搜索空间
我们经过不断地压缩、压缩、压缩之后
将搜索的范围缩小到一个
宽度为零的一个区间
而这样一个宽度为零的区间
与其说是个区间
不如说是一个分界
它严格地将整个区间分为了左右两部分
我们刚才说了,由不变性
左侧这部分依然是不大于e
而右侧这部分是严格地大于e
所以这个时候我们只需要返回
从命中的角度讲
左侧这个区间的
最右端的那个元素就可以了
这个元素是多少呢?
这个元素实际上在最后那个瞬间
应该是等于lo-1
因为它的邻居才是这个时候的lo
这也就是为什么
我们在算法的最终返回之前
要做一次减减lo的操作
所以这样的话
我们就得到了一个
从功能上、从语义上、从性能上
都近乎完美的算法
我们称它是版本C
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